第一换元积分法

课题:换元积分法（一）

指导思想:

第一换元积分法是积分学中的重要方法之一,占有相当重要的地位.第一换元积分法是计算积分的基础,第一换元积分法掌握的熟练程度不仅影响着定积分的计算和应用,而且还影响到今后将要学习的多元函数的积分的计算,以及微分方程的求解。因此，必须重视。

在教学的过程中,考虑到学生的实际情况,结合第一换元积分法的基础性和灵活性,通过比较,分析,作出了一些归纳。然后通过大量的练习，积累经验，熟悉技巧，熟练掌握第一换元积分法。

教学目标：

（一）知识目标：

熟练掌握第一换元积分法

（二）能力目标：

1.通过第一换元积分法的学习,能够做到举一反三;

2.培养学生分析问题,解决问题的能力;

3.提高学生自主学习的能力。

（三）情感目标：

通过这节课的学习让学生增强自信心,面对数学学习时不再害怕,提高学习数学的兴趣

教学重点:第一换元积分法

教学难点:凑微分

教学课时:2课时

教学过程: 一.复习引入

引例:计算下列不定积分: 1.223

24(21)(441)23

x dx x x dx x x x c +=++=

+++⎰⎰

2.10(21)x dx +⎰

=? 二.新课讲解

第一换元积分法: 凑微分

1

()dx d ax b a =+ x x e dx de =

111x dx dx ααα+=

+ 1

ln dx d x x

= sin cos xdx xdx =- cos sin xdx d x =

三.例题与练习

例1.计算 10(21)x dx +⎰

解:原积分= 10

1011211(2111(21)22)22

x t x x d t dt t c +=+=++⎰⎰令

=

111

(21)22

x c ++ 练习1：1）cos3xdx ⎰ 2）x e dx -⎰

3）

21

14dx x +⎰

例2.计算2

1x

dx x

+⎰ 解:原积分=

122

2()111d x x

++⎰(令21x t +=) =112dt t

⎰=1ln 2t c +=21

ln(1)2x c ++

练习2: 1)2

x xe dx ⎰

2) 2sin x x dx ⎰

例3.计算21x

x

e dx e

+⎰ 解:原积分=211()x x de e +⎰(令x e t =)=211dt t +⎰=arctan x

e c + 练习3: 1) 1x x e dx e

+⎰ 2) cos x x e e dx ⎰ 例4.计算

ln x

dx x ⎰

解:原积分=ln ln xd x ⎰(令ln x t =)=tdt ⎰=212t c +=21

(ln )2x c +

练习4: 1) 1

ln dx x x

⎰ 2) 2

1(ln )dx x x ⎰ 例5.1)计算2(sin )cos x xdx ⎰

2) tan xdx ⎰

解:1)原积分=2

(sin )sin x d x ⎰(令sin x t =)=2

t dt ⎰

=313t c +=31(sin )3

x c +

2)原积分=sin cos x dx x

⎰=1

cos cos d x x -⎰

(令cos x t =) =1

dt t -

⎰=ln t c -+=ln cos x c -+

练习5: 1) 2(cos )sin x xdx ⎰ 2) cot xdx ⎰

四.课堂小结:

1.第一换元积分法的关键:凑微分和基本积分公式 3.凑微分的五大类型:

1).1

()()()f ax b dx f ax b d ax b a

+=++⎰⎰

2).111

1()()()1x f x dx f x d x ααααα+++=

+⎰

⎰ 3).()()x x x x e f e dx f e de =

⎰⎰

4).

(ln )

(ln )ln f x dx f x d x x

=⎰

⎰ 5).sin (cos )(cos )cos xf x dx f x d x =-⎰⎰

cos (sin )(sin )sin xf x dx f x d x =⎰⎰

五.巩固练习 求下列不定积分

1) sin 2

x

dx ⎰ 2) 5x e dx -⎰

3)

1

32dx x -⎰ 4) 22

x xe

dx -⎰

5) 4ln x dx x

-⎰ 6) 3(cos )sin x xdx ⎰

7) sin x x e e dx ⎰ 8) 3()cosx dx ⎰

六．P149.A2 七.板书设计

1. 第一换元积分法: 凑微分 例 1

2.五大类型 2 1) 3 2) 4 3) 5

4) 练习 1, 2,3,4.5 5) 小结