椭球面的几何特征与测量计算
椭球面参数方程
椭球面参数方程
椭球面参数方程是一种描述椭球面的数学表达式，这种方程通常用于工程和测量科学中，也应用于地理学、天文学、航海科学等科学领域中。
椭球面参数方程同样可以用于地图制作。
椭球面参数方程一般以如下形式给出：
\begin{equation}F(X,Y,Z)={X^2 \over a^2}+{Y^2 \over b^2}+{Z^2 \over c^2}-1\end{equation}
其中，a，b，c分别指椭球半长轴，半短轴，半高轴。
椭球面参数方程可以用来描述椭球面几何形状。
通常情况下，椭球面的半长轴比半短轴长，而半高轴比半短轴短，故椭球面参数方程可以表示出椭球面的高程变化，从而更精确地描述出椭球面的几何特征。
使用椭球面参数方程的主要好处是，它能够更精确地反映出一个零维空间中的经纬度变化，因此可以用于地图制图工具中，例如 ArcGIS 和谷歌地图。
椭球面参数方程还用于地球拉伸模型，模拟地球表面变形过程。
此外，椭球面参数方程还可用于测量科学中，特别是在航海科学中。
它用于确定船舶行进的位置和航线，以及根据船只的航行路程构建航海图。
椭球面参数方程还可以用于地图制作，例如进行地形测量以制作地形图和地形模型。
椭球面参数方程是一种高精度的空间几何表达式，它对于工程和测量科学具有重要意义，可用于确定两个位置之间的距离，有助于更精准地制图和模拟地球表面变形，从而更好地理解地球的地形特征。
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
参考椭球体的概念
参考椭球体的概念参考椭球体是地球形状的一种理想化模型，用于描述地球形状的基本特征，由它的椭率、长半轴和短半轴等参数来定义。
参考椭球体的概念是基于观测数据和测量技术而建立的。
地球的形状是不规则的，而参考椭球体是一种在整个地球表面都近似成立的假设模型。
它可以通过大量观测数据和数学计算得到。
参考椭球体的参数包括：- 长半轴（a）：参考椭球体的赤道半径，即椭球体的最长轴。
- 短半轴（b）：参考椭球体极半径，即椭球体的最短轴。
- 扁率（f）：椭球体的扁平程度，定义为 (a-b)/a，即赤道半径和极半径的差值与赤道半径的比值。
- 椭率（e）：椭球体离心率，定义为√(a^2-b^2)/a，即长半轴和短半轴的差值与长半轴的比值。
参考椭球体的使用方便了地球测量和地图制图的工作，因为它可以作为一个统一的基准来描述地球的形状。
其中常用的参考椭球体包括WGS84、GRS80等。
不同的参考椭球体会在形状和大小上有所差异，所以在地理坐标系统的定义中需要指定使用的参考椭球体。
椭球体是一种几何体，它由一个椭圆围绕其短轴旋转形成。
椭球体具有三个主要参数：长轴（a），短轴（b）和极半径（c）。
每个椭球体都可以通过这些参数来描述。
椭球体在地理学中被广泛应用，特别是在描述地球形状和测量地球表面上。
根据椭球体的参数，可以确定地球的大小和形状。
这些参数是根据测量数据和观测结果得出的。
椭球体的概念也应用于地理信息系统（GIS）和全球定位系统（GPS）等技术中。
这些技术使用椭球体模型来计算地球上的位置和测量距离。
不同的椭球体模型适用于不同的地区和特定的应用。
总之，椭球体是用来描述地球形状的几何体，它在地理学和地理信息系统中具有重要的应用。
椭球参数方程
椭球参数方程椭球参数方程是一种应用广泛的几何方程。
它可以表示一个椭球，借此可以描述椭球的各个特征，如长轴、短轴、扁率、位置参数等。
椭球参数方程的应用非常广泛，可以用来描述宇宙的形状，计算所有已知星体的距离，改变物体的相位等。
椭球参数方程可以使用以下公式表示，给出椭球的空间坐标（x，y，z）$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$ 其中，a，b，c分别为椭球长轴、短轴和扁率，其中长轴a一般大于短轴b，而扁率c一般小于a。
由于椭球参数方程可以表示复杂的几何形状，可以用于许多不同的应用，如天文、地球物理学、航空航天、机械设计等。
在天文学中，椭球参数方程可以用来描述宇宙的形状，提供宇宙中的行星距离和其他物体的位置信息。
在地球物理学中，它可以用来直接测量地球的形状及表面的强度，从而确定磁力场的分布情况。
在航空航天技术中，它可以用来改变物体的相位，进行高精度的航迹计算，地球轨道解算，以及预测地球环境要素，如气温、湿度、大气压等。
在机械设计领域，它可以用来设计和制造椭球形的零件，即圆柱形的零件加上一个椭球形的轴承，可以增加零件的稳定性和耐久性。
此外，椭球参数方程还可以用于测量地球空间，如测量地球上某物体离地球中心的距离，计算某地空间围成实体的表面积，将坐标转换为空间坐标，以及测算行星等其他天体的位置等等。
椭球参数方程有多种变体，但主要变体是以上述方程为基础，在此基础上添加椭球的位置参数。
下面的公式是其最常用的变体：$(frac{x-x_0}{a})^2 + (frac{y-y_0}{b})^2 +(frac{z-z_0}{c})^2 = 1$其中，(x0,y0,z0)代表椭球的中心点，a，b，c分别为椭球的长轴、短轴和扁率，其中长轴a一般大于短轴b，而扁率c一般小于a。
总之，椭球参数方程是一个重要的几何方程，它可以描述椭球空间中任何一个点的位置。
《测绘学概论》课程笔记
《测绘学概论》课程笔记第一章：测绘学总论1.1 测绘学的基本概念测绘学是一门研究地球形状、大小、重力场、表面形态及其空间位置的科学。
它的主要任务是对地球表面进行测量，获取地球表面的空间信息，并对其进行处理、分析和应用。
测绘学的研究对象包括地球的形状、大小、重力场、表面形态等自然属性，以及人类活动产生的各种地理现象和空间信息。
1.2 测绘学的研究内容测绘学的研究内容主要包括以下几个方面：（1）大地测量学：研究地球的形状、大小和重力场，建立地球的数学模型，为各种测量提供基准。
（2）摄影测量学：利用航空或卫星摄影技术，获取地球表面的空间信息，并通过图像处理技术对其进行解析和应用。
（3）全球卫星导航定位技术：利用卫星导航系统，如GPS、GLONASS、北斗等，进行地球表面空间位置的测量和定位。
（4）遥感科学与技术：利用遥感技术，如卫星遥感、航空遥感等，获取地球表面和大气的物理、化学和生物信息，并进行处理和应用。
（5）地理信息系统：利用计算机技术，对地理空间信息进行采集、存储、管理、分析和可视化，为地理研究和决策提供支持。
1.3 测绘学的现代发展随着科技的发展，测绘学进入了一个新的发展阶段。
现代测绘技术主要包括卫星大地测量、数字摄影测量、激光扫描、遥感技术、地理信息系统等。
这些技术的发展，使得测绘工作更加高效、精确和全面，为地球科学、资源调查、环境保护、城市规划等领域提供了强大的支持。
1.4 测绘学的科学地位和作用测绘学在科学体系中占有重要地位，它是地球科学的基础学科之一，为其他学科提供了重要的数据支持。
同时，测绘学在国民经济和国防建设中发挥着重要作用，如土地管理、城市规划、环境监测、资源调查、灾害预警等，都离不开测绘学的支持。
第二章：大地测量学2.1 概述大地测量学是测绘学的一个重要分支，主要研究地球的形状、大小、重力场及其变化，建立地球的数学模型，为各种测量提供基准。
大地测量学具有广泛的应用，如地球科学研究、资源调查、环境保护、城市规划等。
参考椭球实例贝塞尔椭球1841年,克拉克椭球1866-
6
大地测量参考框架( 郭际明)
8/28/2019
总地球椭球实例：WGS84, GRS80
WGS84(GPS)
GRS80(ITRS)
a
6378137
6378137
f
1/298.257223563
1262.999·10-8
108263·10-8
ω(rad/s) 7292115·10-11
·1996年，WGS84坐标框架再次进行更新， 得到了WGS84(G873)
25
大地测量参考框架( 郭际明)
8/28/2019
3.7 地方坐标系
1 目的
➢ 减小图上距离或坐标反算距离与实测距离的 差值；
➢ 工程建设的急需；
➢ 满足特定工程的精度要求；
➢ 满足工程特定的使用习惯。
2）依据：长度归化从观测表面到投影面，当投 影面低于观测表面时变短，反之变长；高斯 投影的长度比大于1，并且离中央子午线越远， 长度比越大。在城市或工程建设地区要求归 化变形和投影变形的代数和不超过1:40000(相 当于每公里2.5cm)
地原点）
2
大地测量参考框架( 郭际明)
8/28/2019
椭球定向
3
大地测量参考框架( 郭际明)
8/28/2019
大地原点和大地起算数据
大地原点也叫大地基准点或大地起算点， 参考椭球参数和大地原点上的起算数据构 成经典大地测量基准。
4
大地测量参考框架( 郭际明)
8/28/2019
· 现代大地测量基准/卫星大地测量基准
高斯投影长度改化
y(km)
11.6 1:600000
36.8 1:60000
当观测点位离中央子午线小 45.0
(椭球、投影、变形)PPT课件
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
5-椭球面的几何特征与测量计算解析
2
0
1
MN
2
M NtgA
M1 N co2sAdA
设 t M tgA N
则
dt
M N
1 cos2
dA A
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0；A
2
时，t 。
照此换元后，经积分得到下式，
R2
MN
dt
2
0 1t2
MNarctg 0 t
第三节 椭球面上弧长计算 大地测量学基础
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
1、计算B=0到B的子午圈弧长X
由M=dX/dB得X：
B
dX
B
MdB
0
0
将
代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。
大地测量学基础
第三节 椭球面上弧长计算
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
11 (11)(2 s A ic n2 o A )s 11
RR A 90 MN
MN
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
1 n
R ni1
RAi
(n)
R 2 10 2 R A d A 2 10 2 N c o s 2A M N M s in 2A d A
R2
dyta9 n0 (B)coBt dx
yx(1e2)tanB
x
a
coBs
1e2sinB2
N a c WV
VW1e2 WV1e2bVaV,ca2 ac b
W1e2si2nB V1e'2co2B s12
椭球型体积计算公式
椭球型体积计算公式椭球是一种形状介于球和椭圆之间的几何体，其体积的计算公式可以通过计算椭球的长半轴、短半轴和极轴之间的关系得到。
椭球的公式如下：V = (4/3)πabc其中，V表示椭球的体积，a、b和c分别表示椭球的三个轴的长度。
为了理解这个公式，我们可以先来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
如果我们把一个椭圆绕其长轴旋转一周，就可以得到一个椭球。
椭球的体积可以通过先将其切割为无数个薄的圆盘，然后对这些圆盘的体积进行求和来计算。
每个圆盘都可以看作是一个半径不断变小的圆柱体，其体积可以通过将其底面积乘以高度来计算。
因为椭球是由无数个这样的圆柱体组成的，所以我们可以通过对所有这些圆柱体的体积进行求和，来获得椭球的体积。
为了计算椭球的体积，我们需要先确定椭球的三个轴的长度：a、b和c。
其中，a和b分别代表椭圆的两个半轴的长度，c则代表椭圆的极轴的长度。
通过上述的计算公式，我们可以得到一个椭球的体积，而如果我们已知椭球的体积，也可以根据这个公式来计算椭球的长半轴、短半轴和极轴的长度。
椭球的体积计算公式在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在工程上，通过计算椭球的体积可以帮助我们确定椭球的尺寸和容量，从而进行设计和建模。
在天文学中，椭球体积的计算可以用来推算行星、卫星和恒星的质量和密度。
在地理学和地球科学中，椭球的体积计算可以帮助我们研究地球的形状和内部结构。
总之，椭球的体积计算公式是一种重要的数学工具，通过它我们可以计算椭球的体积，进而研究和应用椭球的属性和特征。
计算椭球面积公式
计算椭球面积公式椭球是几何学中的一个重要概念，它是一个具有两个焦点的闭合曲面。
椭球的形状在数学上由两个参数确定，即长半轴和短半轴的长度。
椭球的面积计算公式可以通过积分来推导，这是一个常见的数学问题。
为了计算椭球的面积，首先需要了解椭球的基本形状特征。
椭球与球体有些相似，但其形状更为扁平。
想象一个绕着短半轴旋转的椭圆，其形成的曲面即为椭球。
这个几何体在许多领域中都有广泛应用，例如天文学、地质学和工程学等。
为了计算椭球的面积，我们可以使用曲面面积元素的定积分方法。
假设椭球的长半轴为a，短半轴为b。
为了推导出椭球的面积公式，我们对椭球进行切割，将其分为许多小块。
然后，通过计算每个小块的面积并将其相加，就可以得到整个椭球的表面积。
如果我们将椭球放在坐标系中，其长轴沿着x轴，短轴沿着y轴，那么我们可以用参数方程来描述椭球的形状。
对于一个椭球面上的点P，其位置可以用参数u和v来表示，其中u的取值范围为[0, 2π]，v的取值范围为[0, π]。
椭球的参数方程可以写为：x = a * cos(u) * sin(v)y = b * sin(u) * sin(v)z = c * cos(v)接下来，我们可以计算参数方程对应的椭球面积元素。
通过对参数u和v的微小变化，椭球面积元素可以表示为：dS = |(∂r/∂u) × (∂r/∂v)|其中∂r/∂u和∂r/∂v是对参数u和v的偏导数。
对椭球参数方程进行求导，并进行一些简化后，可以得到：dS = ab * cos(v) dudv然后，我们对整个曲面进行积分，范围为u从0到2π，v从0到π。
这样，我们就可以得到椭球的表面积公式：S = ∫∫ ab * cos(v) dudv计算这个二重积分可以得到椭球的表面积。
当然，这可能需要使用一些数值计算方法，或者借助计算机进行处理。
不过，通过这样的计算，我们可以准确地获得椭球的表面积。
了解椭球的面积计算公式对于许多应用场景都是十分有用的。
椭球体表面积公式
椭球体表面积公式
椭球体：让生活更有趣的几何形体
椭球体是几何中常见的一种形状，它是一种由三轴组成的双曲线
形状，又称为卵形。
十分可爱，而且具有符号性的存在，让这个世界
变的更加好玩儿。
对于椭球体最常见的定义是：它是一种具有三维空
间的实体，其形状为由两个一致曲面所组成的实体，曲面称为椭球面，椭球半径由两个正交轴线之积决定。
当然，它也可以有不同的体积大小，形状和体积相关。
在我们的生活中，往往会发现许多椭球体，比如气球、足球等，
这些东西在节日里是必不可少的玩具，而且还可以用作装饰，我们节
日的祝福以及生活中的焦点，当然它们的形状也非常的可爱。
并且，
在科学中，椭球体也有重要的意义，比如用于定义引力场、太阳系的
模型。
而今，椭球体已经成为一种必须考虑的几何形体，它的几何关
系引起了极大的兴趣。
椭球体表面积计算是一个复杂的计算问题，它包含了复杂的几何
计算，需要用到两个定义参数，即椭球体的长轴a、短轴b，根据这两
个参数，椭球表面积的计算公式为：S=4πa^2+4π(a^2-b^2)^1/2。
通
过这一方程，就可以计算出椭球的表面积，在物理和数学中，该公式
很有用。
椭球体有着特殊的形状特征和几何特征，在此基础上，开发出了
椭球体表面积计算公式，使得在物理和数学中使用起来非常方便，而
且可以更加自然的包含椭球体的特性，给它以巧妙的一笔。
虽然有着
复杂的数学背景，但是通过对公式的运用，我们能够更加深入的了解
椭球体，特别是在几何形体里，椭球体的形状可以让生活更有趣，相信大家都能够喜欢上椭球体的迷人之处。
椭球型体积计算公式
椭球型体积计算公式椭球是一种几何形状，它与我们日常生活密切相关。
无论是花园中优美的椭球形雕塑，还是体育馆中的椭球形跑道，都展示了椭球的优雅和实用性。
本文将探讨椭球的几何特性，并介绍如何计算椭球的体积。
椭球是一个三维空间中的曲面，由一个旋转椭圆绕其长轴旋转形成。
椭球的形状特点是在两个主轴上具有不同的半径。
长轴被称为长半径，短轴被称为短半径。
对于任意椭球而言，椭圆的长半径大于短半径。
在计算椭球的体积之前，我们需要了解两个重要的参数：长半径（a）和短半径（b）。
这两个参数可以通过测量椭球上的几何特征来获得。
例如，对于一个椭球形的花园喷泉，我们可以使用卷尺来测量水平面上的两个最远点之间的距离（长半径），以及垂直于水平面的两个最远点之间的距离（短半径）。
一旦我们得到了长半径和短半径的数值，我们就可以使用以下公式来计算椭球的体积：体积= (4/3)πabc其中，π是圆周率，约等于3.14159。
这个公式是基于数学原理的推导得出的，通过将椭球划分为无限个微小的椭圆片，并计算所有椭圆片的体积之和来得到椭球的体积。
使用这个公式计算椭球的体积非常简单。
首先，将长半径（a）、短半径（b）以及π代入公式中。
然后，将得到的结果与4/3相乘，即可得到椭球的体积。
椭球的体积计算公式对于很多实际应用非常有指导意义。
举例来说，当我们需要设计一个水箱时，可以使用椭球形的设计来提高水箱的容量。
通过计算椭球的体积，我们可以确定水箱的尺寸，并确保它能够容纳所需的水量。
此外，建筑设计师可以使用椭球体积计算公式来评估椭球形建筑结构的空间利用率，并为其内部设计提供指导。
总之，椭球是一种具有独特几何特性和实用价值的形状。
通过椭球的体积计算公式，我们可以准确地确定椭球的体积，为各种实际应用提供指导。
无论是艺术家还是工程师，椭球都是一个令人着迷且有价值的几何形状。
三参数异形椭球面方程、几何特征及应用前景
三参数异形椭球面方程、几何特征及应用前景
武周虎
【期刊名称】《西安理工大学学报》
【年(卷),期】2022(38)2
【摘要】基于二维异形椭圆方程和三维对流扩散物质的等浓度面方程,定义了半长度、半宽度和半高度3个独立参数,分别构建了三维空间的Ⅰ型和Ⅱ型异形椭球面——2种三参数闭曲面方程。
在笛卡尔坐标系中,Ⅰ型异形椭球面在yOz平行面上的横截面为椭圆,在xOy和xOz坐标面上的剖面曲线均为异形椭圆;Ⅱ型异形椭球面在yOz平行面、xOy和xOz坐标面上的剖面曲线以及俯视轮廓线均为异形椭圆,关于坐标面xOz对称,上半部分与下半部分的体积比约为0.8∶1。
分析表明,Ⅰ型和Ⅱ型异形椭球面可以选择整体或分段组合应用于蛋形曲面建筑、民用飞机、船舶形状优化和工艺品等设计,具有很好的科学研究和应用前景。
【总页数】6页(P295-300)
【作者】武周虎
【作者单位】青岛理工大学环境与市政工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB113;TB21
【相关文献】
1.直线标准式参数方程中参数t的几何意义的应用
2.椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义
3.平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
4.直线参数方程参数几何意义应用错析
5.椭球面的几何定义及参数方程的推导
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第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
大地测量问答1111
考试题目类型名词解释简答题问答题计算题计算题内容1、ITRF框架转换2、高斯投影（换带计算，中央子午线计算）3、水准，方向观测的记录与计算4、概略高程计算（P324）1、大地测量学？答：在一定的时间与空姐参考系中，测量喝描绘地球形状及其重力场并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息的一门学科。
2、大地测量分类？答：分为常规（经典）大地测量和现代大地测量。
常规大地测量：应用大地测量学；椭球大地测量学；天文大地测量学；重力大地测量学；测量平差。
现代大地测量：几何大地测量学；物理大地测量学；空间大地测量学。
3、大地测量的发展经历了哪几个阶段？答：第一阶段：地球圆球阶段；主要是弧度测量第二阶段：地球椭球阶段；首创三角测量法；创立日心说；开普勒发表行星三大定律；伽利略进行第一次重力测量，牛顿提出地球特征：两极扁平的旋转椭球，重力加速度由赤道向两极成比例增加。
长度单位的建立；最小二乘法的提出；椭球大地测量学的形成解决了椭球数学性质，椭球面上测量计算，以及将椭球面投影到平面的正投影法；弧度测量大规模展开；推算了不同的地球椭球参数；第三阶段：大地水准面阶段；天文大地网的布设有了重大发展；铟瓦基线尺出现；提出新的椭球参数第四阶段：现代大地测量新时期；各国各自的大规模水准网建立；有些国家建立自己的高精度重力网，大地控制网优化设计理论和最小二乘配置法的提出和应用。
4、主要的空间大地测量技术包括哪些？5、天球？春分点？子午面？子午圈？岁差？章动？极移？答：天球：以地球质心为中心，半径为无穷大的假想球体。
春分点：当太阳在黄道上从天球南半球向北半球运行时，黄道与天球赤道的交点。
子午面：包含天轴并通过地球上任意一点的平面子午圈：子午面与天球相交的大圆岁差：由于日月等天体的影响，地球的旋转轴在空间围绕黄极发生缓慢旋转，其锥角等于黄赤交角23.5°，旋转周期为26000年，这种运动叫岁差。
章动：由于月球轨道相对于黄道有倾斜，使得月球引力产生的转矩的大小和方向不断变化，导致地球旋转轴在岁差的基础上叠加18.6年的短周期圆周运动，振幅为9.21″极移：地球自转轴存在着相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，导致极点在地球表面的位置随时间而变化，这种现象叫极移6、恒星时？平太阳时？世界时？真太阳时？回归年？原子时？协调世界时？答：恒星时：以春分点作为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间叫恒星时。
椭球面的几何特征与测量计算
4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
a
3
e 2
12N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
十二 地面观测距离归算至椭球面
W
O
P
X=r
y
QB
y x(1 e2 ) tan B
a
x
cos B
1 e2 sin2 B
E
x
K
N sin B N (1 e2 )sin B e2 N sin B
S
纬度不同，椭球中心到法线与短轴交点之间的距离是不相等的
P
m2
Q1 m1
E
O
n1
n2
既不位于同一平行
圈上，也不位于同
MdB dS cos A rdL dS sin A
A P P2 dB cos A dS dL sin A dS sin A dS
dS P
M
r
N cos B
r N cos B
rdL
O
N P1
rdL N cos BdL
dA
P1T
P1T
90 B
B
P1T N tan( 90 B) N cot B
系数均以米作单位
0.00003m, 0.0003m, R 0.00009m
误差不超过这些舍去项
若将1975年国际椭球的相关参数值代入，还可得到1975年国 际椭球的曲率半径计算式。
五 椭球面上弧长 子午圈弧长公式
M dX dB
X B2 dX B2 MdB
阿基米德椭球及其性质
阿基米德椭球及其性质
椭球是一个在数学和几何学中常见的二维或三维形状。
阿基米德椭球是一种特殊的椭球，它由古希腊数学家阿基米德于公元前3世纪发现并研究。
定义
阿基米德椭球可以通过将一个椭圆绕其两个轴旋转而得到。
它具有两个焦点和一个椭圆形的截面。
通常，我们用a和b来表示椭圆的长轴和短轴，以及c来表示焦距。
对于阿基米德椭球，长轴和短轴相等，即a = b。
性质
阿基米德椭球具有多个有趣的性质，其中一些如下：
1. 对称性：阿基米德椭球有三个坐标轴，它们相互垂直且平分椭球。
这使得椭球在各个方向上的性质都是对称的。
2. 表面积和体积：阿基米德椭球的表面积和体积可以通过特定公式计算。
其表面积公式为：
其中，a和b为椭圆的长短轴，e为椭圆的离心率。
体积公式为：
其中，a、b和c为椭圆的长短轴和焦距。
3. 离心率：阿基米德椭球的离心率定义为焦距与长轴的比值。
在阿基米德椭球中，离心率为0，表示焦点与中心重合，椭球变为一个等轴对称的球体。
4. 椭圆截面：阿基米德椭球的截面可以是一个圆或一个椭圆，具体形状取决于截面与椭球的相对位置和角度。
阿基米德椭球及其性质在数学、物理和工程等领域具有广泛的应用。
它们被用于描述天体的形状、计算地球的几何特征以及在建筑和设计中进行结构分析等方面。
理解阿基米德椭球能够帮助我们更好地理解和应用这一形状的特性。
参考资料：。
椭球体与球体的形态比
椭球体与球体的形态比
椭球体和球体是两种常见的三维几何体，它们的形态比可以通过一些特定的参数来描述。
1.体积比较：椭球体和球体的体积比可以通过它们的体积来描述。
椭球体的体积公式为 V_ellipse = (4/3) * π * a * b * c，其中 a、b 和 c 分别是椭球体的三个半轴长度。
球体的体积公式为V_sphere = (4/3) * π * r^3，其中 r 是球体的半径。
因此，体积比可以表示为 V_ellipse / V_sphere。
2.表面积比较：椭球体和球体的表面积比可以通过它们的表面积来描述。
椭球体的表面积公式为 A_ellipse = 4 * π * [(a * b + a * c + b * c) / 3]，而球体的表面积公式为 A_sphere = 4 * π * r^2。
因此，表面积比可以表示为 A_ellipse / A_sphere。
3.长宽高比较：椭球体和球体的形状也可以通过它们的长宽高来描述。
椭球体的长宽高分别对应其三个半轴长度 a、b 和 c。
球体的半径 r 对应其直径 d，而椭球体的长、宽、高则没有严格的对应关系。
因此，长宽高的比较可能不太直接，但可以通过长、宽、高的平均值来进行比较。
总的来说，椭球体和球体的形态比较涉及到它们的体积、表面积和长宽高等参数的比较。
这些参数可以帮助我们理解它们的形状特征以及在不同应用场景中的适用性。
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6356752.3142
e2 0.00669342162297 0.00669438499959
0.00669437999013
e′2 0.0067385254468
0.00673950181947
0.00673949674227
f 1:298.3
1:298.257
1:298.257223563
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫
a2 b2
并得：
(1 e2 )(1 e'2 ) 1
推得：
e2
e'2 1 e'2
e'2
1 e2
e
'2
e2 1 e2
e2 1 e'2
同理 可得：
a b 1 e 2 ,b a 1 e2 c a 1 e 2 ,a c 1 e2
V W 1 e 2 ,W V 1 e2 b V a V ,c a2
ac
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e'2 cos2 B 1 2
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
一、椭球的几何参数及其关系
几种椭球几何参数
kpaCOBCKuu
1980国家大地坐标系 WGS-84
a 6378245
6378140
6378137
b 6356863.01877
6356755.28816
大地测量学基础
第一节 地球椭球及其定位
和三个旋转角度 X ,Y。, Z
经典大地测量难以获得这六个参数，椭球定位一般都是通过大 地原地的天文观测来实现的。
大地测量学基础
第一节 地球椭球及其定位
三、椭球的定位 椭球的定位一般满足一下三个条件：
⑴椭球的短轴与某一指定历元的地球自转轴相平行； ⑵起始大地子午面与起始天文子午面相平行； ⑶在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面） 最为密和。 前两个条件为定向条件，
第一偏心率: e 第二偏心率：e′
e和e反映椭球体的扁平程 度，偏心率越大，椭球愈
扁
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
一、椭球的几何参数及其关系
关系：
第一偏心率: e
a2 b2 a
,e2
1
b2 a2
b a 1 e2
a b 1 e '2
第二偏心率： e
a2 b2 b
, e2
a2 b2
大地测量学基础
第一节 地球椭球及其定位
一、椭球的几何参数及其关系
椭 圆——NESW 旋转轴——NS 子午圈——NRS 平行圈——C-C′
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
一、椭球的几何参数及其关系
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b
a、b称为长度元素
F1
F2
椭圆的扁率：f
扁率反映了椭球体 的扁平程度
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
B
Lcos
B L sec
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
Z P
90°-B
S Q1
BO90°-B
P1
N
z Mq
Z R A
z1
θ ε Z2
μ
η
Z1 90°-ψ
R1 θ1
m
u
λ-L P
O
O1
P2
Q2
R1 R
Q
OZ1为过O的铅垂线，Z1为天文天顶，∠ZOZ1=u，即为O点垂
第一节 地球椭球及其定位
三、椭球的定位
椭球定位——将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下 来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。
椭球定位包括定位和定向两个方面，定位指确定椭球中心的位 置，定向则指椭球坐标轴的指向。
从ห้องสมุดไป่ตู้学上讲，椭球的定位和定向就是确定大地直角坐标系相对
于地心坐标系的平移量和旋转角，即三个平移参数 X 0,Y0, Z0
斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用
的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系
椭球参数。
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
二、垂线偏差及其基本公式
垂线偏差——地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方 向之间的夹角。 垂线偏差μ 的分量—— 子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η
大地测量学基础
第五章 地球椭球及 椭球面上的计算
山东科技大学测绘学院大地测量系
大地测量学基础
地球椭球面作为计算的基准面
问题：
1、地球椭球要素（点，线、面等）的几何特征及其数学性质 地球椭球及其定位 椭球面的法截线及其曲率半径 椭球面上的弧长计算
2、观测元素由地面化算至椭球面
3、椭球面上的三角形解算和大地坐标计算
线偏差。弧Z1P=90°-φ。 ∠ZPZ1=λ-L。
cos L tan900 B cot900 cotB tan
sin L sin sin sin 900 cos
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
cos L 1 sin L L sin
B
Lcos
1
扁率: f a b 1 b 1 1 e2
a
a
1 e2 1 e'2 1
e' e 1 e' 2 e e' 1 e2
偏心距： OF1(或OF2 ) a2 b2
e2 2 f f 2
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础 由前面式子得：
地球椭球参数间的相互关系
1 e2
b2 a2
1 e2
B L sec
第一节 地球椭球及其定位
天文方位角与大地方位角之间的关系
大地测量学基础
1 R1, A R
1 ( L)sin
A (1 ) (R1 R)
A ( L) sin
tan
R1 R ( sin A cos A) cot z1
大地测量学基础
P1P2为椭球短轴，Q1Q2为赤 道面，在椭球面上有一测站O， 将O点法线O1O向上延伸得到 大 地 天 顶 Z ， 令 OP 平 行 于 O1P1,则弧ZP=90°-B。
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
二、垂线偏差及其基本公式
垂线偏差——地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方 向之间的夹角。 垂线偏差μ 的分量—— 子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η ξ=φ-B η=(λ-L)cosφ A=α-(λ-L)sinφ=α-η·tanφ
第一节 地球椭球及其定位 大地测量学基础
测量的外业工作------地球表面（对地球表面进行观测） 无法进行严密的测量计算
地球椭球------在其表面完成测量计算工作 一个大小和形状最接近于地球的规则形体
用椭球来表示地球必须解决2个问题： 一是椭球参数的选择； 二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。