选修绝对值三角不等式PPT课件

推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an .
定理 2.如果 a, b, c 是实数,那么 a c ≤ a b b c , 当且仅当 (a b)(b c)≥ 0 时,等号成立. 证: a c = (a b) (b c) a b b c ，
当且仅当ab 0,且|a||b|时,等号成立. 一般地,我们有以下结论：
(1) | a | | b | | a b || a | | b | (2) | a | | b | | a b || a | | b |
定理 1 如果 a, b 是实数，则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
2x 3y 2a 3b 5 ．
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地 点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里 和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共 同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程 之和最小,生活区应该建于何处?
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0 (1 a2 )(1 b2 ) 0
Q| a | 1, | b | 1, (1 a2 )(1 b2 ) 0成立，
ab 1 1 ab
例4.已知a , b R , 求证 a b a b . 1 a b 1 a 1 b
⑴若把 a, b 换为复数 z1 , z2 ， 结论： z1 +z2 ≤ z1 + z2 成立吗？
z1 + z2
z2
z1
z1 + z2
z2
z2
rr ⑵若把 a, b 换为向量 a, b 情形又怎样呢？
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数，
则 a b ≤ a b （当且仅当rabr≥0 时，等号成立.） 如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
r
b
a
rr ab
rr ab
由这个图，你还能发现什么结论？
定理（绝对值三角形不等式） 如果 a,b 是实数，则 a b ≤ a b ≤ a b 注：当 a、b 为复数或向量时结论也成立.
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
a2 2ab b2
a2 2ab b2
| a |2 2 | a || b | | b |2
| a |2 2 | ab | | b |2
(| a | | b |)2 | a | | b |
| a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2 | a | | b |
选修绝对值三角不等式
一、复习回顾
a ,a>0
1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0
2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
当且仅当 (a b)(b c)≥ 0 时,等号成立.
例1.已知 0, x a , y b ， 求证：2x 3y 2a 3b 5 ．
证：Q 2x 3y 2a 3b (2x 2a) (3y 3b) 2x 2a 3y 3b 2 x a 3 y b
2 3 5 ,
综合(1)(2)可知,原不等式成立,当且仅当ab 0时,等号成立.
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b
证:根据不等式 | a b || a | | b | 可得
| a || (a b) b || a b | | b |,
即| a | | b || a b |, 不等式得证．
·
·
·
10
x
20
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两
施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)可化减为
-4x 60 (x 10)
S(x) 20
(10 x 20)
4x 60 (x 20)
y
60
（C）若 ab 0,则 a b a b
（D）若 ab 0,则 a #43;|b|>1成立的
当10 x 20时,
40
S ( x)取最小值20．
20
答: 生活区建于两路碑间 的任意位置都满足条件.
0 10 20 30
x
例3.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 a b 1. 1 ab
证：a b 1 | a b ||1 ab | 1 ab
(a b)2 (1 ab)2
证:当 a b 0时，不等式显然成立．
当 a b 0时，Q| a b || a | | b |,故有
左边
1 1 ab
1
a
1 1 b
ab 1 1 a b
a
b
1 a b 1 a b
ab
1 a 1 b
右边.
原不等式成立．
课堂练习 1.下列各命题中真命题的是 ( B )
（A）若ab 0, 则 a b a b （B）若 ab 0,则 a b a b
a |a|
a2 a ,
ab
a
b ，| b
|
(b |b|
0)
定理的引入
先填写下表，再观察两数和的绝对值，与两
数绝对值的和与差的关系.
a
０ 2 -1 ２ -3
b
１ 5 -２ -3 １
|a|－|b| -1 -3 -1 -1 2
|a+b|
１7 ３ １ ２
|a|＋|b| 1 7
3
54
||aa||--||bb||＜＜＝||aa++bb||＝ ＜＜|a|a|+|+|b|b| |
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
证明定理 1:如果 a, b 是实数，则 a b ≤ a b (当且仅当 ab≥0 时，等号成立).
证:(1)当ab 0时,Q ab | ab |,(2)当ab 0时,Q ab | ab |
| a b | (a b)2
| a b | (a b)2