离散数学关系的运算

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离散知识点公式总结

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学第二章关系

例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，

离散数学第2版教学课件-关系的运算

4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A为集合，
（1）R在A上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A上的限制R↾ A是R的子关系，而A在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
4.3.2 限制与像
定理4.3
设R为二元关系，A和B为集合，则有 (1) R↾ (A B) = R↾ A R ↾ B (2) R[A B] = R[A] R[B] (3) R↾ (A B) = R↾ A R↾ B (4) R[A B] R[A] R[B]
证：(3) 对任意的<x, y>， <x, y>∈R↾ (A B) <x, y>∈R∧x∈A B <x, y>∈R∧(x∈A∧x∈B) (<x, y>∈R∧x∈A)∧(<x, y>∈R∧x∈B) <x, y>∈R↾ A∧<x, y>∈R↾ B <x, y>∈R↾ A R↾ B 所以有R↾ (A B) = R↾ A R↾ B。其他证明略。
例 4.17
设A={a, b, c, d}, R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 求R的各次幂。

离散数学关系的运算

4
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1, T均为A上二元关系，那么

1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
10
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
注意：对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
7
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
14
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)

关系的闭包运算离散数学

(1)传递闭包的性质
R是传递的，当且仅当 t(R) =R
(2) 构造传递闭包的方法
设R是集合X上的二元关系,则t(R)=
证R∪明R：2∪(1R)3∪∪i∞=1…Ri t(R) 用数学归纳法 1) i=1时，根据传递闭包的定义R t(R)
=
∞
∪
Ri
i=1
2)假设i≥1时，Ri t(R),从而对i+1时，设<x,y>∈Ri+1 ,∵Ri+1=Ri 。R，则存在某个元素c，使得<x,c>∈Ri，<c,y>∈R，由归纳假设有<x,c>∈t(R),<c,y>∈t(R),
S2={<a,c>,<b,d>} S3={<a,d>} S4=, ∴ t(S)=S ∪ S2 ∪ S3
={<a,b>, <a,c>，<a,d>，<b,c>,<b,d>,<c,d>}
闭包的性质
设R1和R2是集合A上的关系且R1 ⊇ R2，则 a）r(R1) ⊇ r(R2) b）s(R1) ⊇ s(R2) b）t(R1) ⊇ t(R2) 定理* 设R是集合X上的二元关系,则
t(R）= R∪R2∪R3∪…∪Rk
分析：只要能够证明出t(R) R∪R2∪R3∪…∪Rk
证明：对x,y∈X，设<x,y>∈t(R)，则必存在最小正整数k，使得<x,y>∈Rk，现证明k≤n。
若k＞n，则存在结点序列x＝a0,a1,a2 ,… ,ak－1,ak＝y，使得xRa1 , a1Ra2 ,… ,ak－1Ry。因为k＞n，则a0,a1,… ,ak中必有相同者，不妨设ai ＝ aj ,0 ≤i＜j≤k，于是xRa1 , a1Ra2 ,… ,ai－1Rai ,ajRaj＋1 ,… ,ak－1Ry成立。即<x,y>∈Rs ,这里s＝k－(j－i)＜k,这与k是最小的假设相矛盾，于是k≤n，又<x,y>是任意的，故定理成立。

离散数学第四章课件

无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义：若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)，称R是反对称的。例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征自反关系的关系图中，每个顶点都有自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法：因为关系也是集合，所以也可以用集合的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,

离散数学关系的运算

例2.37 求集合A={1,2,3}上的关系R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>}的自反闭包。
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足：（1）R是对称的；（2）R R；（3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C，设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C，设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}

离散数学关系的概念性质及运算

当n=3时，25(mod 3)，57(mod 3)。
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的二元关系。
8/25
集合与图论二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
23/25
集合与图论关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15：设R,S是集合X上的两个传递关系，问R∪S 是否是传递关系呢？
17/25
集合与图论
运算与性质的关系
自反性反自反性对称性反对称性传递性
R11
√
√
√
√
√
R1∩R2 √
√
R1∪R2 √
√
R1R2 ×
√
√
√
√
√ ××
√
√×
R1∘R2 √
×
×
××
18/25
集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成RS，并且
显然：R是传递的，当且仅当？。例11： Z上的模n同余关系是不是传递关系？

关系的平方怎么算离散数学

关系的平方怎么算离散数学
在离散数学中，关系的平方是指将一个关系R与其自身进行合
成运算得到的新关系R^2。

假设R是集合A上的一个二元关系，即
R⊆A×A。

那么R的平方R^2定义为R^2={(x,z) | 存在y∈A使得(x,y)∈R 且(y,z)∈R}。

换句话说，R^2中的元素(x,z)是由R中
的元素(x,y)和(y,z)组合而成的。

要计算关系R的平方R^2，需要遍历R中的所有元素，找出满
足定义条件的元素对。

具体步骤如下：
1. 遍历关系R中的每一个元素(x,y)。

2. 对于每个元素(x,y)，再次遍历关系R中的每一个元素(y,z)。

3. 如果存在元素对(y,z)使得(x,y)∈R 且(y,z)∈R，则将元
素对(x,z)加入到关系R^2中。

需要注意的是，计算关系的平方时要考虑元素的顺序，即(x,y)
和(y,z)的顺序不能颠倒，因为关系是有序对的集合。

此外，还可以用矩阵的方式来表示关系的平方。

如果关系R可以用一个布尔矩阵M_R表示，那么R的平方R^2可以通过计算矩阵M_R与自身的矩阵乘法来得到。

总之，计算关系的平方需要按照定义逐对元素进行组合，并且需要考虑元素的顺序。

这样就可以得到关系R的平方R^2。

离散(关系的运算)

t ( R ) R i =R∪R2∪R3
i 1

={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c> }
定理3.8.5 设A是含有n个元素的集合, R是 A上的二元关系,
则存在一个正整数k≤n，使得
t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk
n
wij ( rik skj )
k 1
式中∧代表逻辑乘,满足0∧0=0 , 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ∨代表逻辑加,满足0∨0=0 , 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1.
例4. 设集合A={ 1, 2, 3, 4 }, B={ 2, 3, 4}, C={ 1, 2, 3 }
离散数学(Discrete Mathematics)
3-7 关系的运算
一、复合关系 (Compound Relations)
定义3.7.1 设 R 是由X 到Y 的关系, S 是由Y 到Z 的关系, 则 RS 称为R 和 S 复合关系, 表示为 RS ={ <x,z> | xX∧zZ∧(y)(yY∧xRy∧ySz) } 两个关系的合成运算可以推广到多个. 例如: RSP、 R S P Q 等. 且合成运算满足结合律.即: ( P R )Q= P( RQ ) 关系R自身合成n次可以记为: RR ‥‥R=R(n)
1 0 0

RS={< 1, 1 >, < 2,1 >, < 2, 3 > ,< 3, 2 >,<4,1> }

离散数学关系的运算

离散数学关系的运算离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。

其中，关系是离散数学中一个重要的概念。

关系的运算是指对不同关系进行操作，从而得到新的关系。

在离散数学中，常见的关系运算包括并集、交集、差集、补集和复合运算。

1. 并集：对于两个关系R和S，它们的并集R∪S是包含了两个关系的所有元素的集合。

即R∪S={x | x∈R 或 x∈S}。

并集运算可以合并两个关系中的元素，得到新的关系。

2. 交集：对于两个关系R和S，它们的交集R∩S是同时属于R和S的元素的集合。

即R∩S={x | x∈R 且 x∈S}。

交集运算可以得到两个关系中共同拥有的元素。

3. 差集：对于两个关系R和S，它们的差集R-S是属于R但不属于S的元素的集合。

即R-S={x | x∈R 且 xS}。

差集运算可以得到在R中存在但不在S 中的元素。

4. 补集：对于一个关系R，它的补集R'是所有不属于R的元素的集合。

即R'={x | x不属于R}。

补集运算可以得到关系R的补集。

5. 复合运算：对于两个关系R和S，它们的复合运算RS是通过将R的元素的后继者与S的元素的后继者进行连接得到的新关系。

即RS={(a,c) | 对于某个b∈B, (a,b)∈R 且 (b,c)∈S}。

复合运算可以通过连接两个关系的元素来构建新的关系。

这些关系运算在离散数学中具有重要的应用，常用于描述集合、图、逻辑等离散结构之间的关系。

对于每种关系运算，都有相应的运算规则和性质。

熟练掌握关系运算可以帮助我们更好地理解和分析离散结构中的关系。

离散数学关系的运算

注意：对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X { a ,b ,c }R { a , b , b , c , c , a }
R { a , c , b , a , c , b }
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，求R1， R∘S ， S∘R 。解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
19
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均有RnS。(s<t) 证明若n≤t – 1, 结论显然成立。设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎

离散数学实验 C 关系的运算幂运算闭包运算

实验2关系的运算（1）关系的幂运算输入：集合A，二元关系集合R，幂次n输出：R的n次幂要求：尽量使运算的计算量最小（2）关系闭包的计算输入：集合A，二元关系集合R输出：R的传递闭包t(R)要求：(a)采用Warshall算法（89页）(b)编写代码判断输出t(R)为传递闭包程序代码:#include<iostream>#include<sstream>#include<vector>usingnamespacestd;typedefvector<vector<int>>Mat;classRelation{vector<int>s;//集合MatA;//关系矩阵MatB;MatC;MatE;MatD[100];//用来存储矩阵intn;public:voidinputs();//将集合存入向量中voidinputa();//将读入的关系转化为关系矩阵voidprint();//输出关系矩阵voidmi();intWarshall();};//定义类intn,m;//全局变量，下文中使用voidRelation::inputs(){cout<<"输入集合";for(inta;cin>>a;){s.push_back(a);if(getchar()=='\n')break;}}//将集合存入向量中voidRelation::inputa(){//将读入的关系转化为关系矩阵 cout<<"输入关系";inti,j,e,r;for(i=0;i<s.size();i++){vector<int>u;for(j=0;j<s.size();j++){intia=0;u.push_back(ia);}A.push_back(u);B.push_back(u);C.push_back(u);E.push_back(u);}//创建二维向量，初始化，是每个元素为0for(inth,z;cin>>h>>z;){if(h==0&&z==0)break;for(i=0;i<s.size();i++){if(s[i]==h)e=i;if(s[i]==z)r=i;}A[e][r]=1;B[e][r]=1;E[e][r]=1;//C[e][r]=1;//读入关系，将关系对应的矩阵中的位置元素变为1if(getchar()=='\n')break;}voidRelation::print(){for(inti=0;i<s.size();i++){for(intj=0;j<s.size();j++)cout<<A[i][j]<<"";cout<<endl;}}//输出关系矩阵voidRelation::mi(){inta,b,i,c;cin>>n;//读入幂次if(n==0){//0次幂for(intk=0;k<s.size();++k){for(intj=0;j<s.size();++j){if(k==j)cout<<"1";//对角线上元素为1 elsecout<<"0";}cout<<endl;}else{for(i=1;i<n;++i){for(inth=0;h<s.size();++h){for(intd=0;d<s.size();++d){intm=0;for(intx=0;x<s.size();++x){m=m+B[h][x]*A[x][d];//第h行第d列的元素对应相乘的和}C[h][d]=m;}}if(i>1){for(a=0;a<s.size();++a){for(b=0;b<s.size();++b){if(C[a][b]!=D[0][a][b])break;}if(b!=s.size())break;}}//检验是否重复if(a==s.size()&&b==s.size()){break;//重复则跳出不再幂乘}for(intk=0;k<s.size();k++){for(intj=0;j<s.size();j++){B[k][j]=C[k][j];}D[i-1]=B;c=i;}}if(a==s.size()&&b==s.size()){intq;q=(n-i)%c;//找出结果位置if(q==0)q=c;for(inte=0;e<s.size();e++){for(intf=0;f<s.size();f++){cout<<D[q-1][e][f]<<"";//输出}cout<<endl;}return;}else{//1次幂for(inth=0;h<s.size();h++){for(intn=0;n<s.size();n++){cout<<B[h][n]<<"";}cout<<endl;}}}}intRelation::Warshall(){for(inti=0;i<s.size();++i){for(intj=0;j<s.size();++j){if(A[j][i]==1){for(intk=0;k<s.size();++k){A[j][k]=A[j][k]+A[i][k];if(A[j][k]!=0&&A[j][k]!=1)A[j][k]=1;}}}}print();inta=1;intb=1;//for(intp=0;p<s.size();++p){for(intl=0;l<s.size();++l){if(A[p][l]==0){for(intx=0;x<s.size();++x){if(A[p][x]*A[x][l]==1)a=0;}}}}if(a==0){cout<<"wrong!"<<endl;}else{for(intp=0;p<s.size();++p){for(intl=0;l<s.size();++l){if(A[p][l]==1&&E[p][l]==0){A[p][l]=0;//再判断传递性for(intp=0;p<s.size();++p){for(intl=0;l<s.size();++l){if(A[p][l]==0){for(intx=0;x<s.size();++x){if(A[p][x]*A[x][l]==1)b=0;}}}}if(b==1){cout<<"wrong!"<<endl;return0;}A[p][l]=1;}}}cout<<"right!"<<endl;}//return1;}voidmain(){Relationw;w.inputs();w.inputa();w.print();cout<<"输入n"<<endl; w.mi();cout<<endl;cout<<"闭包为"<<endl; w.Warshall();}实验截图：。

离散数学的基本概念和运算

离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。

与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。

在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。

本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。

一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。

集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。

常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。

二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。

在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。

逻辑运算包括与、或、非、异或等。

与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。

推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。

图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。

图论研究图形的性质、特征和算法。

常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。

图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。

在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。

四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。

代数系统包括集合、运算和运算规则。

常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。

代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。

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逆、合成、限制和象
Def. 设F,G为任意的关系,A为集合,则 1) F的逆 F-1={<x,y>|yFx}. 2) F与G的合成 F◦G={<x,y>|∃z(xGz∧zFy)} 3) F在A上的限制 F A={<x,y>|xFy∧x ∈ A}. 4)A在F下的象 F[A]=ran (F A)
例. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,y∈N∧y=x2} G={<x,y>|x,y∈N∧y=x+1} 求 G1, F◦G, G◦F,F {1,2},F[{1,2}] o 合成运算不是可交换的
求R 的方法
n
在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求R 的方法 1.集合运算:定义 2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算M∙M,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素r ij满足下式 (i,j=1,2,3,4)
n
r ij=r i1∙r 1j+r i2∙r 2j+r i3∙r 3j+r i4∙r
解 1) domR 1=ranR 1=Z 2) domR 2=ranR 2={0,1,1} 3) domR 3=Z, ranR 3={2z|z ∈ Z} 4) domR 4=ranR 4={3,3}
图解方法
从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图) 1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域 (或集合B) 2.如果<x,y> ∈ R,从x到y画一个箭头
(3) F◦(G∩H)⊆F◦G∩F◦H (4) (G∩H)◦F ⊆ G◦F∩H◦F
怎样证明?
Def. 设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂规定如下： (1) R0={<x,x>|x∈A}

离散数学关系矩阵的乘法

离散数学关系矩阵的乘法
离散数学中，关系矩阵的乘法是一种常见的运算方式。

关系矩阵是用矩阵表示的关系，其中矩阵的每个元素表示两个元素之间的关系。

例如，对于一个集合{1,2,3}，若其元素之间的关系为“小于”，则可以用一个3x3的矩阵表示，该矩阵为：
0 1 1
0 0 1
0 0 0
其中，矩阵的第i行第j列表示元素i与元素j之间的关系，0
表示无关系，1表示有关系。

关系矩阵的乘法是指将两个关系矩阵进行乘法运算得到一个新
的关系矩阵的过程。

具体来说，若A和B分别为两个n阶关系矩阵，则它们的乘积C为一个n阶矩阵，其中C[i][j]表示A[i][k]和B[k][j]之间存在关系的个数。

如果A和B表示的是两个集合中元素的关系，则C表示的是这两个集合中元素的组合关系。

例如，对于上述矩阵的乘积AB，其结果为：
0 0 1
0 0 0
0 0 0
其中，C[i][j]的值为1表示元素i与元素j之间存在一条长度
为2的路径。

关系矩阵的乘法在离散数学中有着广泛的应用，例如在图论、自
动机理论、编码理论等领域中都有应用。

因此，熟练掌握关系矩阵的乘法对于离散数学的学习和应用非常重要。

离散数学中几种基础逻辑关系运算顺寻

离散数学中几种基础逻辑关系运算顺寻
嘿，朋友！咱们来聊聊离散数学里那几种基础逻辑关系运算顺序。

你知道吗？这就好比我们做饭的步骤，顺序错了，那这顿饭可能就不是原本期待的味道啦！
先来说说“与”运算，就像是两个人要同时达成某个目标，只有两个人都做到了，这事儿才算成。

比如说，你想要出门玩耍，条件一是天气好，条件二是作业做完了。

只有天气好并且作业做完了，你才能痛痛快快地出去玩，这就是“与”运算。

再讲讲“或”运算，这就有点像你选择水果，苹果或者香蕉，只要有其中一个，你就有的吃。

比如说，你参加比赛得奖，要么是跑步第一名，要么是跳远第一名，只要其中一个达成，那就是得奖啦，这就是“或”运算。

然后是“非”运算，这就像是对一件事情的完全否定。

比如说，今天不是晴天，那就意味着是阴天或者其他天气。

那这几种运算顺序咋整呢？这可得好好琢磨琢磨。

你想想，要是先做“与”再做“或”，和先做“或”再做“与”，那结果能一样吗？这就好像你先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，能舒服吗？
咱举个例子，假设我们有三个条件，A 是今天下雨，B 是气温低于20 度，C 是有大风。

如果要判断“今天下雨并且气温低于 20 度或者有
大风”，那我们就得先算“今天下雨并且气温低于 20 度”这部分，然后再和“有大风”进行“或”运算。

要是顺序弄反了，那可就乱套啦！就像搭积木，你不按顺序来，能搭得稳吗？
在实际应用中，比如计算机编程、电路设计，这逻辑运算顺序可重要了。

要是搞错了，程序可能运行出错，电路可能短路，那麻烦可就大了！
所以说呀，搞清楚离散数学中这几种基础逻辑关系运算顺序，那真是至关重要，可不能马虎哟！。

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