离散数学 关系的运算

0 0 0 0
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
17
六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt.
证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2n2个. 当列出 R 的各次幂
R2 { a,c , b, a , c,b }
R3 R2 R { a, a , b,b , c,c } Ix
9
四、幂运算的性质
定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) Rm∘Rn=Rm+n (2) (Rm)n=Rmn
10
关系运算的矩阵表示
关系矩阵（matrix of relation）。
设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝,
B=｛b1, b2, …, bn｝， 那么R的关系矩阵 MR为一m×n矩阵，它的第i , j分量rij 只
取值0或1， 而
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rbj
R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
18
定理 设R A A, 若存在自然数s, t (s<t), 使得 Rs = Rt, 则下面等式成立：
(1) Rs+q = Rt+q, qN;
证明 Rs+q = RsRq = RtRq = Rt+q。
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN;
4
3、限制与像
定义 F 在A上的限制
F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ，则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4}
1 1 1 1
0 0 0 0
13
在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。
布尔加法（∨ ）： 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1
布尔乘法（ ∧ ）： 1 ·1 = 1 0 ·1 = 1 ·0 = 0 ·0 = 0
14
五、幂的求法
例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为 R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
16
幂的求法（续）
同理，R0=IA, R3和R4的矩阵分别是：
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
M 0 0 0
1 0
0 1
0 0
M 3 1 0
0 0
1 0
00,
M 4 0 0
1 0
0 0
1 0


0 0 0 1


0 0 0 0
= R7+8249+1
= R7+1
= R8{R0, R1, …, R14}
▎
22
6
定理 设R, S, T均为A上二元关系， 那么 （1） Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T) （2） (S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R) （3） Rο (S∩T) (Rο S)∩(Rο T) （4） (S∩T)ο R (Sο R)∩(Tο R) （5） Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。
例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A，
且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，
求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。
Hale Waihona Puke Baidu
设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得
n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1)
即 n = s + (t – s)q + r
Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r
(2)
而s + r≤s + t – s – 1= t –1,
15
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},
求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示.
解 R与R2的关系矩阵分别为
0 1 0 0
3
合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，
求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
= Rs+(t–s)k+r R (t–s) = Rs+r Rt–s
(归纳假设)
= Rs+r +t–s = Rt+r = Rs+r (1) 所以, (2)成立
19
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN;
(3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t)
7
三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X {a,b,c} R { a,b , b,c , c,a }
R2003 = R3+21000+0 = R3+0
= R3{R0, R1, …, R4}
21
Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
(2) s = 7, t = 15, n = 2000,
n s = 1993 ts 8
= 249 8 + 1,
因此, q = 249, r = 1,
R2000
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合
称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。
证明对q用归纳法证明。
当q=1, Rs+(t–s)q+r = Rs+(t–s)+r = Rt+r = Rs+r (1)
设q = k时, 命题成立,
即Rs+(t–s)k+r = Rs+r, 其中q, rN;
当q = k+1时, Rs+(t–s)(k+1)+r = Rs+(t–s)k+r +(t–s)
答案：分别为：
1 0 0 0
0 0 0 0
M IA

0 0
1 0
0 1
0 0
M

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 1
0 1 1 1
M
A A

1 1
1 1
1 1
1 1
M LA

0 0
0 1 1 0 0 1
11
某关系R的关系图为：
1 2 3
4 5
6
a
b d
c
则R的关系矩阵为：
0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 M R 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12
思考：
写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。
解：根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}，
fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) }
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
M 1 0
0 0
1 0
0 1
M2

1 0
0 0
1 0
0 1 1 0
0 0
1 0
0 0 1 0
1 0
0 0
1 0


0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
所以 Rn = Rs+r S。▎
20
Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
例 设R A A, 化简R2003的指数。
(1)已知 R3 = R5；
(2) 已知 R7 = R15。
解 (1) s = 3, t = 5, n = 2003,
n s = 2000 = 1000
ts
2
= 1000 1 + 0, 因此, q = 1000, r = 0,
注意：F↾AF, F[A] ranF
5
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF
定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1