直线的方向向量

几点注意： 几点注意： 1.法向量一定是非零向量 法向量一定是非零向量; 法向量一定是非零向量 2.一个平面的所有法向量都互相平行 一个平面的所有法向量都互相平行; 一个平面的所有法向量都互相平行 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 向量 是平面的法向量， 与平面平行或在平面内， 与平面平行或在平面内，则有
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n = x，y，z）， （ 不惟一的， 不惟一的，为方便起 z=1较合理 较合理。 见，取z=1较合理。 则n ⊥ AB ， ⊥ AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 是惟一的。 ∴ x，y，z） 2,1) = 0， （ i(2,
单位法向量。
1 DA = (1, 0, 0)， = (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量
为n=(x，y，z ) 则 由n DA = 0 ，n DE = 0得
D1
Fra Baidu bibliotek
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F = (0, , 1) 2 所以 D1 F ⊥ 平 面ADE
x + 0+ 0 = 0 =0， 则x =0，不妨取y = 1，得z = 2 1 1， x + y + 2 z = 0 所以n=( 0， - 2)
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置， 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 平行 等位置关系 那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 两直线平行、 间的夹角呢？ 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？ 二面角的大小呢？
A
B
D′ ′ Q B′ ′ R G D F E B C C′ ′
l1
l2
e1
e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 = λ e2
e1
n1
l1
α
l1 // α1 e1 ⊥ n1 e1 n1 = 0
n 1
α
1
n 2
α
2
α1 // α 2 n1 // n2 n1 = λ n2
l1
面面垂直 α 1 ⊥ α 2 n1 ⊥ n 2 n1 n 2 = 0.
若e = (a1 , b1 , c1 ), n = (a2 , b2 , c2 ),则 l ⊥α e // n e = λn a1 = λa2 , b = λb2 , c1 = λc2. 1
a1 b c1 当a2 , b2 , c2 ≠ 0时e // n = 1 = , a2 b2 c2
四、垂直关系： 垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线垂直 l1 ⊥ l 2 e 1 ⊥ e 2 e 1 e 2 = 0 ；
线面垂直 l 1 ⊥ α 1 e 1 // n 1 e 1 = λ n 1 ；
巩固性训练2
1.设 设
u, v 分别是平面 的法向量 根据 分别是平面α,β的法向量 的法向量,根据
垂直 平行 相交
下列条件,判断 的位置关系. 下列条件 判断α,β的位置关系 判断 的位置关系
(1)u = (2,2,5), v = (6,4,4) (2)u = (1,2,2), v = (2,4,4) (3)u = (2,3,5), v = (3,1,4)
满足的关系式。 满足的关系式。 解：由题意可得 PM = ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM = 0
即( A, B , C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) = 0
化 简 得 ： A( x x0 ) + B ( y y0 ) + C ( z z0 ) = 0
三、平行关系： 平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l 2 e1 // e 2 e 1 = λ e 2 ；
线 面 平 行 l 1 // α 1 e 1 ⊥ n1 e 1 n1 = 0 ；
n
α
A
n m = 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1， 为单位正交基底， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底， 建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), (1,0,0), C(0,1,0), 1(0,0,1),B1(1,1,1) (0,1,0),D (0,0,1), (0,1,0), DB1 = (1,1,1) ， AC = ( 1,1, 0) ，
（x，y，z） i(4,5,3) = 0,
1 2x + 2 y + z = 0 x = 即 , 取z = 1，得 2 4 x + 5 y + 3z = 0 y = 1
1 2 2 ∴ 求平面ABC的单位法向量为 ± ( ， ，） 3 3 3
1 ∴ n = ( , 1,1), 2
3 | n |= 2
巩固性训练3
1、设平面 α 的法向量为 、 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为 平面 (-2,-4,k),若 α // β ，则k= 若 ；若 α ⊥ β 则 k= 。 2、已知 l // α ，且 l 的方向向量为 、 的方向向量为(2,m,1)，平面 α ， 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 的法向量为 则 3、若 l 的方向向量为 、 的方向向量为(2,1,m),平面 α 的法向量为 平面 . (1,1/2,2),且 l ⊥ α ，则m= 且
AD1 = ( 1, 0,1) DB1 AC = 0 ，
所以 DB1 ⊥ AC ,同理 DB1 ⊥ AD1 又因为 AD1 ∩ AC = A 所以 DB1 ⊥ 平面 ACD , 从而 DB1 是 一个法向量 法向量. 平面 ACD1 的一个法向量.
例2：已知 AB = (2, 2,1), AC = (4,5,3), 求平面ABC的
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n = ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a = (a1 , b1 , c1 ), b = (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a = 0 a1 x + b1 y + c1 z = 0 方程组 n b = 0 a2 x + b2 y + c2 z = 0
e1
e2
l2
l1 ⊥ l2 e1 ⊥ e2 e1 e2 = 0
l
e
直线l上的向量 e 以及与 e 共线 直线 上的向量 的向量叫做直线l的方向向量。 的向量叫做直线 的方向向量。
e
A
B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以， 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向” 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量： 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 α ，则称这个向量垂直于平面 α ,记作 n ⊥α ， 记作 法向量. 叫做平面 如果 n⊥ α ，那 么 向 量 n 叫做平面 α 的法向量 l 给定一点A和一个向量 那么过点 那么过点A, 给定一点 和一个向量 n,那么过点 为法向量的平面是完全确定的. 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的
前面, 前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量 空间向量
向量 渐渐成为重要 重要工具 渐渐成为重要工具
立体几何问题
研究的基本对象是点、直线、 (研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形) 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 从今天开始, 具在立体几何中的应用. 具在立体几何中的应用.
设直线l的方向向量为e = (a1 , b1 , c1 ), 平面α的
l // α e ⊥ n = 0 a1a2 + bb2 + c1c2 = 0; 1
所在平面互相垂直， 如图， 例4 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上，且 BM = BD, AN = AE， 3 3 求证： 求证：MN // 平 面 CDE 简证：因为矩形 和矩形ADEF 简证：因为矩形ABCD和矩形 和矩形 F 所在平面互相垂直，所以AB， ， 所在平面互相垂直，所以 ，AD， AF互相垂直。以 AB， ， 为正交 互相垂直。 互相垂直 AD AF 基底，建立如图所示空间坐标系， 基底，建立如图所示空间坐标系， A 长分别为3a， ， ， 设AB,AD,AF长分别为 ，3b，3c， 长分别为 B 则可得各点坐标， 则可得各点坐标，从而有
量不惟一， 量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 α 经过 在空间直角坐标系内， 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，平面 α 的法向量为 e = ( A, B, C )，
M ( x, y, z ) 为平面 α 内任意一点，求 x, y , z 内任意一点，
练习: 练习:用空间向量来解决下列题目
1．如图，正方体 ABCD A′B′C′D′ 中， ．如图， E为 DD′的中点， 为 的中点， 证明： 平面AEC 证明：BD′ //平面 平面
A′
D′
C′
B′
E
D
C
2、在正方体 在正方体AC ′中，E、F、G、P、 A 、 、 、 、 Q、R分别是所在棱 、BC、BB′ 分别是所在棱AB、 、 ′ 、 分别是所在棱 P A′D′ 、D′ C′ 、DD′的中点， 的中点， ′ ′ A′ ′ 求证： 平面PQR∥平面 求证：⑴平面 ∥平面EFG。 。 ⑵ BD′⊥平面 ′ 平面EFG
面面平行 α 1 // α 2 n1 // n 2 n1 = λ n 2 .
注意：这里的线线平行包括线线重合， 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n = (a2 , b2 , c2 包括面面重合 包括线在面内，面面平行包括面面重合. 包括面面重合. 包括线在面内，面面平行),则
为了用向量来研究空间的线面位置关系， 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向” 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向” 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 以及一个定方向确定. 个定点 A 以及一个定方向确定.
所以 D1 F //n
巩固性训练1
1.设 设
a, b 分别是直线 1,l2的方向向量 根据下 分别是直线l 的方向向量,根据下
平行 垂直 平行
列条件,判断 1,l2的位置关系. 列条件 判断l 的位置关系 判断
(1)a = (2,1,2), b = (6,3,6) (2)a = (1,2,2), b = (2,3,2) (3)a = (0,0,1), b = (0,0,3)
NM = NA + AB + BM = ( 2a,0,c)
z
N
E
D
y
M C
x
又平面CDE的一个法向量是 又平面CDE的一个法向量是 AD = (0,3b,0) CDE
由NM AD = 0 得到 NM ⊥ AD
因为MN不在平面 不在平面CDE内 因为 不在平面 内 所以MN//平面 平面CDE 所以 平面
分别是BB 、 分别是 例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是 1,， 5.在正方体 CD中点，求证：D1F ⊥ 平面 中点，求证： 中点 平面ADE 以 证明：设正方体棱长为1， 证明：设正方体棱长为 ， DA ，DC , DD1为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得： 则可得： 基底，建立如图所示坐标系