整数拆分

若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。

小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。

问：一共有多少只盒子？
分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，
同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。

依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。

现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？
因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：
（7+5）+（8+4）+（9+3）
是六个6，从而：
42=3+4+5+6+7+8+9
一共有7个加数；又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数；
又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。

解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

点金术：巧用假设和推理把已知和未知联系起来。

用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？
分析：用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。

于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？”
解：按5分硬币的个数分21类计数；
假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；
假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个或2个，既有3种不同的凑法；
假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个2个3个4个或5个，既有6种不同的凑法；
…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：
1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51
=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51
=90+400+51
=541（种）
点金术：巧用转化法假设法架起已知与未知之间的桥梁
把70表示成11个不同的自然数之和，同时要求含有质数的个数最多。

分析：先考虑把70表示成11个不同的自然数之和。

因1+2+3+……+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。

先将4分别加在后四个加数上，得到四种分拆方法：
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有一种新方法：
70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
再将4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有五种。

显然，这五种分拆方法中含有质数的个数最多的是：
1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
点金术：巧用举例和筛选法得出结论。

有一些自然数，它可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和，求满足上述条件的最小自然数。

分析：设满足要求的最小自然数为11，由9个连续自然数的和是中间的数（第5个数）的9倍知，n是9的倍数；
同理，n是11的倍数；
又10个连续自然数a1,a2,…,a10的和为：
（a1+a10）×10÷2=5(a1+a10)
是5的倍数，所以n是5的倍数；
而9，11，5两两互质，所以n是5×9×11=495的倍数，由n的最小性取n=495，事实上，有：
495=51+52+53+…+59（9个连续自然数之和）
=45+46+47+…+54（10个连续自然数之和）
=40+41+42+…+50（11个连续自然数之和）
从而知，满足条件的最小自然数是495。

点金术：巧用同理的方法把已知和未知之间联系起来。

把14分拆成若干个自然数的和，在求出这些数的积，要使得到的乘积最大，应把14如何分析？这个最大的乘积是多少？
分析：先考虑分成哪些数时乘积才尽可能地大。

首先分成的数中不能有1，这是显然的。

其次，分成的数中不能有大于4的整数，否则可以将这个数再拆成2与另外一个数的和，这两个数乘积一定比原数大，例如7就比它分成的2和5的乘积小。

再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中如果有三个2，不如换成两个3，既分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

解：根据上面的分析，因把14分成四个3与一个2之和，
即：
14=3+3+3+3+2
这五个数的积最大，且最大值为3×3×3×2=162。

点金术：巧用排除和举例法架起已知与未知之间的联系
把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

分析：把14分拆成两个自然数的和，共有7种不同的方式。

对每一种分拆计算相应的乘积：
14=1+13，1×13=13； 14=2+12，2×12=24；
14=3+11，3×11=33； 14=4+10，4×10=40；
14=5+9，5×9=45； 14=6+8，6×8=48；
14=7+7，7×7=49。

因此，当把14分拆为两个7之和时，乘积（7×7=49）最大。

点金术：巧用举例法分析得出结论。

有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？
分析：1994=1993+1=1+1993
=1992+2=2+1992
=……
=998+996+996+998
=997+997
解：一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和。

点金术：采用有限穷举法并考虑到加法交换律。

从不知道到知道
有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。

他们在猜两个整数x、y.。

已知1<x<y<99且x+y<100。

P知道x与y的乘积，S知道x与y的和。

P说：我不知道这两个数。

S说：我知道你不知道。

P说：我知道了这两个数。

S说：我也知道了。

根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗？
这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题，是精品中的精品。

我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。

我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。

由于53×6=106×2会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

我们继续进行。

此数是11吗？
因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。

此数是23吗？
76=4×19,112=16×7, S知道和为23，却无法断定出P。

同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

现在轮到17了。

S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。

S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。

S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。

S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。

现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。

答案露出水面，这两个数是4和13。

简单的描述后面，是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。

出题者一定是真正的数学大师。

然而，这道题到底源自何人，我不得而知。

子女的年龄
题目的描述是这样的：一个经理有3个女儿，3个女儿的年龄加起来等于13，3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有1个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理3个女儿的年龄，这时经理说只有1个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。

请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？
题目也可能变为：两个俄国数学家在飞机相遇。

伊凡问：如果我没有记错的话，你有3个儿子，他们都多大了？艾格回答：他们的年龄乘积是36，年龄之和是今天的日期。

伊凡思考了一分钟后，说：可是你并没有告诉我你儿子的岁数。

艾格说：忘了告诉你，我小儿子的头发是红色的。

伊凡回答：那就很清楚了，我知道你儿子的岁数了。

伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的？
这道题也很经典，难度不算太大，经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。

因为解题过程不需要高深的数学知识，只涉及简单的加数拆分和因素分解，但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。

我们把这些都列成表。

在女儿猜数中，出现了两个相同的乘积36，导致判断困难，因此可以断定父亲的年龄为36；由于只有一个女儿的头发是黑的，去掉了两个小女儿同为2岁的可能性，结果因此就出来了，女儿的岁数分别是1、6、6。

在儿子的猜数中，出现了2个相同的和13，导致了判断困难。

由于只有一个儿子的头发是红的，排除了两个儿子同为2岁的可能性，因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁，当天日期为本月的13日。

和数女儿1 女儿2 女儿3 乘积
13 1 1 11 11
13 1 2 10 20
13 1 3 9 27
13 1 4 8 32
13 1 5 7 35
13 1 6 6 36
13 2 2 9 36
13 2 3 8 48
13 2 4 7 56
13 2 5 6 60
13 3 3 7 63
13 3 4 6 72
13 3 5 5 75
乘积儿子1 儿子2 儿子3 和数
36 1 1 36 38
36 1 2 18 21
36 1 3 12 16
36 1 4 9 14
36 1 6 6 13
36 2 2 9 13
36 2 3 6 11
36 3 3 4 10
夫妻姓名
下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。

有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。

女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。

布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。

请说出四位女士的姓。

在美国，妻子与丈夫同姓。

解决本题的方法之一是解不定方程。

下面我们换一种方法，就是整数的拆分。

44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。

先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。

本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。

倍之和。

显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。

16去掉6后还剩下10。

也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。

最后，我们得到的答案是
44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。

和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。

用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。

一、只有1
一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？
我们先给出从1到15的表达式。

1=1,
2=1+1,
3=1+1+1,
4=(1+1)×(1+1)，
5=(1+1)×(1+1)+1,
6=(1+1)×(1+1+1),
7=(1+1)×(1+1+1)+1,
8=(1+1)×(1+1)×(1+1),
9=(1+1+1)×(1+1+1),
10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),
11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,
12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),
13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,
14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),
15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

对于23，
23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，
1的个数为11。

对于27，
27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)
1的个数为9。

对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。

我找到的表达式是
(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008
一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。

几个连续自然数相加,和能等于1991吗如果能,有几种不同的答案写出这些答案;如果不能,说明理由.
(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数.
所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案.
由1991=1×1991得:
1991=995+996.
由1991=11×181得:
…+(80+101)
=80+81+……+100+101.
把945写成连续自然数相加的形式,有多少种
(第一届"新苗杯"小学数学竞赛试题)
讲析:因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数.
所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和.
把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法.
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d.
因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数.
那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.
又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数.
则c,d可取的数组有:
(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).
由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,
得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7).
同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).
所以,最多有4种分法.
将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法其中面积最大的是哪一种长方形
(1992年"我爱数学"邀请赛试题)
讲析:做成的长方形,长与宽的和是
144÷2=72(厘米).
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,
所以,一共有36种不同的做法.
比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积最大.
将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.
所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.
但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.
所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.
而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.
整数的拆分数论问题的例题讲解
什么是整数的拆分？。