清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案

习题三

1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2

(4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？

解 由题意知 2

~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立

统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒

绝

域

为

{}

00K x c μ=->，临界值

1/2

1.960.108/0.0947c u α-==⋅=，

由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性

变化.

设立统计原假设 2

2

2

2

0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时

2

222

0.0250.9751

1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑

22

10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ====

拒绝域为 {}

2222

00201//K s c s c σσ=><或

由于22

0/ 3.167 2.567S σ=>，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为

x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ，问这批元件是否合格（0.05α=）？

解 由题意知 2

(100,)X N σ，设立统计原假设

0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<==

拒绝域为

{}

00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =⋅=⋅=-

由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格.

3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52（0.05α=）？ 解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X

N μσ,μ已知

设立统计原假设 0010:500,:H H μμμμ==≠,拒绝域 {}

00K x c μ=-> 当0.05α=时，2

500.89,34.5, 5.8737x s s ===

临界值 12(1) 4.5149c t n α-=-⋅=，由于00.8889x c μ-=<，

所以接受0H ，机器工作正常.

（2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X

N μσ，σ已知

设立统计原假设 22222

0010: 5.5,:H H σσσσ==≠

拒绝域为 {}{}22

2

2

001

02K s c s

c σσ=<> 当α=0.05时，可得

222

0.0250.97512500.89,34.5,(5) 2.7,(5)19.02,0.3, 2.11x s c c χχ======

由于22

001.0138s K σ=∈,所以接受0H ，可以认为方差为25.5.

4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（0.05α=）

解 设X 表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知2(,)X

N μσ

设立统计原假设 0010: 3.25,:H H μμμμ==>, 拒绝域为 {}00K x c μ=->

当α=0.05时，13.399,0.269,20,0.0992x n c ασμ-====⋅=临界值

由于0 3.399 3.250.149.x c μ-=-=>所以拒绝0H ，当前的鸡蛋售价明显高于

往年.

5 已知某厂生产的维尼纶纤度2(,0.048)X

N μ，某日抽测8根纤维，其纤度

分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了（0.05α=）？

解 由题意知 2(,0.048)X

N μ，0.05α=

设立统计原假设 222222

0010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=

拒绝域为{}

22

00K s c σ=>， 当0.05α=时，

2220.950.951.4213,0.0055,(7)14.07,(7)7 2.0096x s c χχ=====

由于22

0 2.3988s c σ=>，所以拒绝0H ，认为强度的方差明显变大.

6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h ,标准差148h s =.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 α=0.05下, 确定这批元件是否合格. 解 设X 表示电子元件的平均寿命（单位：h ），由题意知2(,)X N μσ

设立统计原假设 0010:=2000H

当0.05α=

时，1950,148,(1)50.64x s c t n α===-=-临界值

由于 050x c μ-=->，所以接受0H ，即这批电子元件的寿命是合格的.

7 设n X X X ,...,,21为来自总体(,4)X

N μ的样本，已知对统计假

01:1;: 2.5H H μμ== 的拒绝域为0K {}2>=X .1）当9=n 时，求犯两类错的概率α

与β；2）证明：当n →∞时，α→0，β→0.

解 （1）由题意知 {}

010~(,4),:1;: 2.5,2,9.X N H H K X n μμμ===>= 犯第一类错误的概率为

(

)21 1.51(1.5)0.0668.X P X P αμ⎫=>==>==-Φ=⎪⎭

犯第二类错误的概率为

(

)2 2.50.75(0.75)1(0.75)0.2266.

X P X P βμ⎫=≤==≤=-⎪

⎭=Φ-=-Φ=

（2）若0:1H μ=成立，则(1,4)X N

}{}{00000()=11)

n P H H P X c P X c nc αμμσ=≥+=-<+=-Φ否定成立 当n →∞时，0)1nc

σΦ→，所以0()n n α→→∞

同理 }

{

0010=<+=+c )/)()=0()n P X c n βμμμσΦ-→Φ-∞→∞ 8 设需要对某一正态总体,4()N μ的均值进行假设检验H 0：μ= 15，H 1：μ<

15