人教版九年级下册数学 锐角三角函数复习
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)期末综合复习题(含解析)
第二十八章 锐角三角函数 复习题一、单选题1．陕西渭南·九年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）A ．sin c bB =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B=⋅2．陕西咸阳·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sin B ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝323．陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝sin A ＝23，那么BC 边的长是（ ）A ．B ．8C ．D ．124．陕西咸阳·九年级期末）如图，点()3,4A 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，则cos α=（ ）A ．34B ．35C ．45D ．435．陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（ ）A ．2BC D ．16．陕西西安·九年级期末）在ABC 中，A ∠，B ∠都是锐角，且sin A =，tan B =，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定7．陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到山顶B 需16分钟，则山的高度为（ ）A ．800•sin32°B ．800tan32︒C ．800•tan32°D ．800sin32︒8．陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O ）20米的点A 处，沿AO 所在直线行走12米到达点B 时，小明身影长度（ ）A ．变长2.5米B ．变短2米C ．变短2.5米D ．变短3米二、填空题9．陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若70cm AB AC ==，8cos 35ABC ∠=，则BC 的长为____________cm ．10．陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC ，AE ，则图中阴影部分的面积为________．11．陕西咸阳·九年级期末）在ABC ∆中，(tan cos 0A B =，则∠C 的度数为____．12．陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=12，则锐角∠A=______．三、解答题13．陕西西安·)sin 60cos 456⎫︒-︒-⎪⎪⎭14．陕西咸阳·九年级期末）计算：2221tan 45sin 303cos 304︒+︒-︒．15．陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos 24|+6．16．陕西渭南·九年级期末）计算：212cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17．陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．18．陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A 测得点D 的仰角为26.6°，然后他们沿AC 方向移动40m 到达测量点B （即40m AB =），在B 点测得点D 的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ．[参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈]20．陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC 上取E ，G 两点，分别竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 为23m ，并且古建筑AB ，标杆EF 和GH 在同一竖直平面内，从标杆EF 后退2m 到D 处（即2m ED =），从D 处观察A 点，A 、F 、D 三点成一线；从标杆GH 后退4m 到C 处（即4m CG =），从C 处观察A 点，A 、H 、C 三点也成一线．已知B 、E 、D 、G 、C 在同一直线上，AB BC ⊥，EF BC ⊥，GH BC ⊥，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB 的高度．21．陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD ，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°和∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝36米，求无人机的飞行高度AD ．22．陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E 处竖立一根高1.5米的标杆DE ，发现地面上的点A 、标杆顶端D 与楼顶B 在一条直线上，测得1AE =米；然后他站在F 处利用等腰直角三角形测得视线GB 与水平面的夹角45BGM ∠=︒，小华的眼睛到地面的距离 1.5GF =米，1.5AF =米．已知点F 、A 、E 、C 在同一直线上，GF FC ⊥，DE FC ⊥，BC FC ⊥．请根据以上所测数据，计算楼高BC ．23．陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的O 与对角线相交于点E ，连接BE ，且BC BE =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30CAB ∠=︒，BC 长为6，求O 的半径．24．陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处．(1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)已知AB ＝3，AD ＝5，求tan DAE 的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=bc ，∴c=sin b B，A 选项等式不成立；∵cosB=a c，∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ，∴a=tan b B，C 选项等式不成立；∵tanB=b a ，∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sin A ＝23＝BC AB，不妨设BC ＝2k ，则AB ＝3k ，由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，即（2+（2k ）2＝（3k ）2，解得k ＝4（取正值），所以BC ＝2k ＝8，故选：B ．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．【解析】过A 作AP x ⊥轴于点P ，根据勾股定理求出OA ，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A 作AP x ⊥轴于点PA(3，4)∴4,3AP OP ==由勾股定理得：5OA ===3cos 5OP OA α∴==故选：B ．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解： 2cos452== 故选C ．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得60,60A B ∠=︒∠=︒ ，再由三角形的内角和等于180°，可得60C ∠=︒ ，即可求解．解：∵sin A =，tan B =∴60,60A B ∠=︒∠=︒ ，∴18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，∴A B C ∠=∠=∠ ，∴ABC 是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．【解析】根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，根据三角函数的定义可得：sin sin 32BC BAC AB∠=︒=∴sin 32800sin 32BC AB =⨯︒=⋅︒（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM 的长，同理求出BN 的长，再求出AM 与BN 的差即可.∵OF ⊥OM,DA ⊥OM ，∴QF ∥AD ，∴△ADM ∽△OFM ，∴AM AD AM OA OF =+ ，即 1.620+8AM AM = ，解得AM ＝5cm ；同理可得，∵△BNE ∽△ONF ，∴BN AD OA AB BN OF =-+ 即 1.620128BN BN =-+ ，解得BN ＝2m ，∴AM －BN ＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据余弦定义可求BD ，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC ．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，cos BD ABC AB ∠=，又AB =70cm ，8cos 35ABC ∠=，∴87035BD =，∴BD =16cm ，又AB =AC ，∴BC =2BD =32cm ．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD 是解题的关键．10．2π【解析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH=，∴AC，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴2CAE S π==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．90︒【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B ∠的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．解：∵(tan cos 0A B =∴tan 0cos 0A B ⎧==∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩∴90C ∠=︒．故答案是：90︒本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=12进行解答即可．∵sinA=12，∠A 为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式6⎫-⎪⎪⎭16=7- ．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．74-【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式222111342⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪⎝⎭11313444=⨯+-⨯119444=+-74=-本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×2+4﹣＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．4--【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式24=4=4=-．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==∴sin AD ACB AC ∠===即222sin A C B ∠=此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt △MED 中，由题意可得ME=DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt △MEC 中，可得ME=EC ⋅tan ∠MCE ，从而有x≈0.7(x+15)，求出x 的值，从而得MN=ME+EN≈36.5 .试题解析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°，∴ME ＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°，∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ ，∴35x ≈ ，∴35ME ≈ ，∴36.5MN ME EN =+≈，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设m DC x =，在Rt ADC 中，26.6A ∠=︒，∴tan 26.60.50CD AC ︒≈=∴2AC CD=在Rt BDC 中，37DBC ∠=︒，∴tan 370.75CDBC︒≈=∴43BC CD =∵40AC BC -=，∴即42403CD CD -=，解得60CD =，答：外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m ．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑AB 的高度为25m ．【解析】设=AB x ，=BE y ，证明ABD FED ∽，得到222+=x y ，再证明∽ABC HGC △△，得到2724+=x y ，利用227=24++y y 求出=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =．解：设=AB x ，=BE y ，∵AB BC ⊥，EF BC ⊥，∴AB EF ∥，∵∠=∠ADB FDE ，∴ABD FED ∽，∴=AB BD FE DE ，即222+=x y ，同理：∽ABC HGC △△，∴=AB BC HG GC，∵=23427++=++=+BC BE EG GC y y ，∴2724+=x y ，∴227=24++y y ，解得：=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =，∴古建筑AB 的高度为25m ．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出227=24++y y ，求出y ，再进一步求出x ．21．【解析】由锐角三角函数定义得CD =，BD AD =，再由36BC CD BD AD =-==米，即可求出AD 的长．解：60EAB ∠=︒ ，30EAC ∠=︒，9060CAD EAC ∴∠=︒-∠=︒，9030BAD EAB ∠=︒-∠=︒，tan CD AD CAD ∴=⋅∠=，tan BD AD BAD AD =⋅∠=，36BC CD BD AD ∴=-==米，AD ∴=（米)．答：无人机的飞行高度AD 为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD ，并延长交BC 于点H ，证明BH =GH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，用x 表示出GH 、BH 、EC 、DH ，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，解方程即可得出BC ．解：连接GD ，并延长交BC 于点H ，∵GF ⊥CF ，DE ⊥CF ，HC ⊥FC ，∴GF DE HC ∥∥，∵GF =DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∵∠GFE =90°，∴四边形DEFG 为矩形，∴DG =EF ，∵1m AE =， 1.5m AF =，∴ 2.5m DG EF AE AF ==+=，∵∠DEC =∠EDH =∠ECH =90°，∴四边形DECH 为矩形，∴∠DHC =90°，DH =CE ，DE =CH =1.5m ，∴∠DHB =90°，∵∠BGH =45°，∴∠GBH =45°，∴∠BGH =∠GBH ，∴GH =BH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，∴GH =BH =x -1.5，∴EC =DH =GH -DG =x -1.5-2.5=x -4，∴143AC AE EC x x =+=+-=-，∵tan DE BC BAE AE AC ∠==，∴1.513x x =-，解得：9x =，即楼高BC 为9m ．本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，是解题的关键．23．(1)见解析(2)O 的半径为【解析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC =90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO =∠AEO ，∠CEB =∠ACB ，证出∠OEB =90°，则可得出结论；（2）证明△BCE 为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE =60°，CB =BE =6，由直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵OA OE =，BE BC =，∴EAO AEO ∠=∠，CEB ACB ∠=∠，∴90ACB CAB AEO CEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OEB ∠=︒，∵OE 为O 的半径，∴BE 是O 的切线；（2）解：∵30CAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵BC BE =，∴BCE 为等边三角形，∴60CBE ∠=︒，6CB BE ==，∴30OBE ∠=︒，∴tan 30OE BE =︒=∴6OE ==O 的半径为本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．24．(1)见解析(2)13【解析】（1）由折叠的性质得90AFE D ∠=∠=︒，进而得出BAF CFE ∠=∠，即可证明△ABF ∽△FCE ；（2）设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，利用勾股定理求出BF ，进而求出CF ，在△CEF 中根据勾股定理列方程求出x ，则tan DE DAE AD∠=．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质知，90AFE D ∠=∠=︒，∴90CFE AFB ∠+∠=︒，90BAF AFB ∠+∠=︒，∴BAF CFE ∠=∠．在△ABF 和△FCE 中，BAF CFE B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△ABF ∽△FCE ；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∴3DC AB ==，5BC AD ==，设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，由勾股定理得，4BF ===，∴541FC BC BF =-=-=，在△CEF 中，由勾股定理得：222EF EC CF =+，即()22231x x =-+，解得53x =，∴53DE =，∴511tan 353DE DAE AD ∠==⨯=．本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出90AFE D ∠=∠=︒，EF DE =，AF AD =是解题的关键．。
人教版九年级下册数学《锐角三角函数》培优说课教学复习课件
探究新知
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么
BC AB
与 B' C'
A' B'
有什么关系？你能解释一
下吗？
B' B
A
C A'
C'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
35m 50m
A
C C'
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
.
探究新知
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，A
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究新知
归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
OP OA2 AP2 32 42 5.
因此 sin AP 4 .
九年级数学下册 第28章锐角三角函数复习教案 人教新课标版 教案
第28章 锐角三角函数复习教案锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。
4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)004530cos sia +ta60°-tan30°三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba(2)三边之间关系a 2+b 2=c 2(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin
α= ,
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
人教版-数学-九年级下册--第二十八章 锐角三角函数全章小结与复习测试(含答案)
小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac， cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab， cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB． 3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα 0 1222321cosα 1 322212tanα 0 321 3不存在cotα不存在3 1 33解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位． 思想方法总结 1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题． 2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决． 3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，sina 都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应． 4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素． 中考新题型 例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（223tan 30︒+分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-2=14（2）原式+1-3×（3）2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例 2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC 与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计本章单元测试．单元测试一、选择题．1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于（）．A．45 B．5 C．15D．1452．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=34，则cosA等于（）．A．45B．35C．43D．343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（）．A ．15sin50°米B ．15cos50°米；C ．15tan50°米D ．15cot50°米CBAaADC(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果si n 2a+sin 230°=1，那么锐角a 的度数是（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2，则cosB 的值为（ ）． A ．12B ．22C ． 32D ．16．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，•测得AC=a ，∠ACB=a ，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinaB ．a ·cosaC ．a ·tanaD ．a ·cota7．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）． A ．43 B ．34 C ．45 D ．358．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 9．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）． A ．sinA=125 B ．cosA=1213 C ．tanA=125 D ．cotA=121311．如图，为测楼房BC 的高，在距离房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（ ）．A．30tanα米B．3030.30sin.tan30sinC Dααα米米BAαCBADC(第11题) (第12题)12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（）．A．2 B．2 C．1 D．22二、填空题．13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262,cos1544-+︒=）(第13题) (第14题) (第21题)14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）15．sin30°=________．1635°=________．（精确到0.01）17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．18．锐角A满足2sin（A-15°）3A=________．19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．20．已知A是锐角，且sinA=13，则cos（90°-A）=________．21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．三、计算题．22°-）．23．计算：cos60°-1．24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．（2cot303tan30 cos27sin30cos45︒-︒︒+︒-︒25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．四、解答题．26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8 1.73）27．我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B 处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A 与杆底D 的距离AD ．（精确到0.01米）58B A4mD C答案：一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B二、13 14．2.38 15．12 16．1.10 17．1218．75° 1920．1321．三、22°-）0．23．解：原式=12-12．24．（1）12（2）1 25．θ=45°． 四、26．过点C 作CE ⊥AB 于E ，Rt △CBE 中，tan30°=BE CE，∴BE=CE ·tan30° Rt △CAE 中，tan60°=AEEC，∴AE=CE ·tan60°∴4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，∴BC=DC=50．在Rt △ADC 中，AC=CD ×tan ∠AB=AC-BC=50-1）（米）．答：该船在这段时间内的航程为50）米． 28．解：在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．∵tan ∠CAD=CDAD ， ∴AD=5tan tan 58CD CAD =∠︒≈3.12（米）．答：拉线下端点A 与杆底D 的距离AD 约为3.12米．。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
数学：第二十八章锐角三角函数复习课件(人教新课标九年级下)
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且cosA=
1 5
3. 确定值的范围
4. 确定角的范围
那么（ D ） (A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
1 3
4. 当∠A为锐角，且sinA=
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
求锐角A的值
1. 已知 tgA= 3 ，求锐角A . 2. 已知2cosA -
3 =0, 3 =0 3
∠A=60° ∠A=30°
求锐角A的度数 . 解：∵ 2cosA -
∴ 2cosA =
∴cosA=
3 2
∴∠A= 30°
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☆ 应用练习
1.已知角，求值
求下列各式的值
1. 2sin30°+3tg30°+ctg45° 2. cos245°+ tg60°cos30°
=2 + d 3
=2
= 3 - 2o 2 = 4 +2 o3
cos 45o sin 30o 3. cos 45o sin 30o coso 4. tg 45o sin 60o ctg90o
3 2
1 2 3 2
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值 大于 3 时，∠A（ B ）
3
3. 确定值的范围
4. 确定角的范围
(A)小于30° (C) 小于60°
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》小结与复习(1)课件
A. 30 B. 45
C. 60 D. 90
范例
例4、如图，在等腰直角△ABC中， ∠C=90°，AC=6，D是AC上一点， 如果tan∠DBA= 1 ，求AD的长。
5
C
D
A
B
巩固 9、如图，将圆形铁环放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一刻度尺 按如图的方法，得到PA=5cm，求铁环 的半径。
B.
30
tan
30 A α
C
C. 30sin D. sin
解直角三角形
重点知识 解直角三角形： (1)已知“一边和一角”
(2)已知“两边”
巩固 7、在△ABC中，∠C=90°，AB=15， sinA= 1 ，则BC等于( )
3
A. 45 B. 5
1
C.
5
1
D.
45
巩固 8、在△ABC中，∠C=90°，AC=6， BC= 1 ，则∠B等于( )
巩固
4、若关于x的一元二次方程：
2x2 (4sin )x 1 0 (0 90 )
有两个相等的实数根，求θ的值。
范例 例2、在△ABC中，sinB=cos(90o-C) = 1，那么△ABC是( ) A.2 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
三角函数关系
重点知识 三角函数关系：
(1)互余两角三角函数关系： 若∠A + ∠B=90o ，那么
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
(2)同角三角函数关系：
sin 2 A cos2 A 1
tan A sin A cos A
巩固
5、则cosB的值为( )
公开课-锐角三角函数复习
D
A
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐
⑶正切
角 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
三
⑴定义
角
①三边间关系
函
3.解直角三角形
⑵解直角三角形的依据 ②锐角间关系
③边角间关系
数
⑶解直角三角形在实际问题中
的应用
达标检测
1．如图所示，边长为1的小正方形构成的 网上格，中则，∠A半E径D的为正1的切⊙值O等的于圆﹍心﹍12O﹍在。格点
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
3
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
B
∵tanB=b/a,
∴b=a·tanB=5·tan60°= 5 3
5
∵ sinA=a/c,
30°
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
锐角的三角函数值有 何变化规律呢？
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
九人数学下册教学课件第二十八章 小结与复习
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，
10
由勾股定理得 BF = 6.
∴ tan∠BCF = BF = 3 .
∴
tan∠AFE
=
BC 4 tan∠BCF
=
3
.
4
10 8
针对训练
如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝
解：原式 3 3 3 = 7 .
3
44
考点三 解直角三角形
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，
BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = 3 ．
(1) 求 CD 的长；
5
分析：图中给出了两个直角三角形，
A
CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD =
BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC
= 20× 3 = 10 3 (m).
2
F
在 Rt△AEF 中，∠E = β = 45°， 则 AE AF 10 6 (m).
sin 45 故改造后的坡长 AE 为10 6 m.
F
针对训练
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横
断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG = CH，CG = DH，DG∥HC，
∴∠DAH =∠FAE = 30°.
在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，
人教版初中九年级下册数学教案 第二十八章 锐角三角函数 章末复习
章末复习1.进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算；2.熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数；3.能用解直角三角形知识解决实际应用问题.4.进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，掌握数形结合的思想方法.5.进一步增强学生的数学应用意识，感受数学的转化思想方法，增强学生对数学学习的热情.【教学重点】通过对本章知识的回顾，巩固所学知识，能熟练运用所学知识解决具体问题.【教学难点】运用锐角三角函数解决实际应用问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】教学前，教师应根据本章知识内容设计一个适合要求的知识结构框图，教学时，与学生一道回顾本章知识，按自己的设计思路展示出结构图，让学生加深对本章知识的系统理解.二、释疑解惑，加深理解问题 1 请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化而变化的情况，你有什么发现?【教学说明】教师可引导学生利用计算器求出0°〜10°，10°〜20°，20°〜30°，……，80°〜90° 之间的某一锐角的三角函数值，通过分析得到的函数值，可获得锐角三角函数的一些简单性质.【归纳结论】对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变量锐角A的增大而增大，且sinA必满足0＜ sinA＜1;它的余弦函数(cosA)的函数值随锐角A的增大而减小，且 cosA必满足0＜COSA＜1;它的正切函数（tanA) 的函数值随锐角A的增大而增大，且tanA满足tanA ＞0.试一试若锐角A的余弦值cosA = 3，则锐角A的取值范围是（）A. 60°＜A＜90°B. 45°＜A＜60°C. 30°＜A＜45°D. 0°＜A＜30°分析与解由于cos30°=≈0. 866,cos45°= ≈0.707 ,cos60° =12，且 cosA = 34= 0.75，知 cos45°＜cosA＜cos30°，结合余弦函数的性质，其函数值随角度的增大而减小，从而可知 30°＜A ＜；45°，故应选 C.问题 2 利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A + cos2A = 1吗？你有何发现？问题3 若∠A + ∠B =90，你能探索出 tanA与tanB之间有什么关系吗？与同伴交流.【教学说明】教师应引导学生构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系及相应锐角的三角函数的意义不难得出结论.经历由问题1的感性认识到问题2、3的理性思考可进一步开拓学生的思维能力，增强解题技能.【结论】 1.对于任意锐角A ，总有sin 2A + cos 2A = 1 ；2.若两个锐角∠A ，∠B 满足∠A + ∠B = 90°， 则必有 tanA • tanB = 1.试一试 化简 22sin 232sin 231cos 23︒-︒+-︒-tan1°·tan11°· tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.分析与解 由2sin 232sin 23︒-︒ = 2sin 231︒-（）= |sin 231︒-| = 1 - sin23°，21cos 23-︒ = 2sin 23︒ = sin23°，及tan1°·tan89°=1 等可得到原式 = 1 - sin23°+ sin23°- 1 = 0.三、典例精析，复习新知例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知cosA=13，求cosB 和tanA的值.分析与解 结合图形及已知条件，由cosA= 13 =AC AB ，故不妨设AC=m ，则AB=3m ，由勾股定理易得BC=22m ，从而cosB =BC AB= 223m m = 223, tanA =BC AC = 22m m = 22.例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O经过点C ，E 是⊙O 上一点，且∠BEC=45°.（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）若BE=8 cm，sin∠BCE = 45，求⊙O的半径.分析与解本例是一道圆、平行四边形、锐角三角函数的小综合问题，在（1）中可直接由∠BEC=45°得到∠BOC=90°（添加辅助线OC），再利用平行四边形性质，可得到∠OCD=∠BOC=90°，从而CD是⊙O的切线；在（2）中，应先连AE，利用圆的性质可得∠BAE=∠BCE，又AB为⊙O直径，故△ABC为直角三角形，这样由sin∠BCE= 45，得到sin∠BAE=4 5 = BEAB，又BE=8，从而得AB=10，故⊙O的半径为5.通过上面的分析可以发现，对于不是直角三角形中的锐角三角函数问题，常常需通过添加辅助线，将这一锐角三角函数转化为直角三角形中某个角的三角函数来解决问题.例3 小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形，已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'=2米，当吊臂顶端由A点抬升至点A'（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧绷着的吊缆A B''=AB.AB垂直地面O'B于点B，A B''垂直地面O'B于点C，吊臂长度O A'=OA=10 m，且cosA = 35，sin A' = 12.（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B'C.（结果保留根号）分析与解过O作OF⊥AB于F，交A B''于点E（如图），这样可在Rt△AOF中，利用OA=10， cosA= 35，求出AF=6，从而得OF=8，在Rt△A'OE中，由O A'=10，sin A'=12，得OE=5，从而BC=EF=OF-OE=8-5=3 m，即重物在水平方向移动的距离为3 m；同样，可求出AB=AF+BF=AF+OO' =6+2=8，在Rt△A'OE中，可得A'E=53.故A'C=A'E+EC =53+2,这样B'C= A'C-A B''=A'C-AB=53+2-8=53-6，即此重物在竖直方向移动的距离为（53-6） m.例 4 某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°,已知A 点的高度AB 为2 m ，台阶AC 的坡度为1∶3 (即AB ∶BC=1∶3，且B 、C 、E 三点在同一直线上，请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.分析与解 如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形.∴AF=BE ，EF=AB=2.设DE=x ，在Rt △CDE 中，CE=tan DCE DE ∠ = tan 60?DE = 33x . 在Rt △AFD 中，DF = DE - EF = x - 2，∴AE=tan DAF DF ∠ = 2tan 30?x - = 3(x 2)-. ∵AF = BE = BC + CE ，∴3(x 2)- = 23 + 33x .解得.例5 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O 到BC （或DE ）的距离大于或等于⊙O 的半径时（⊙O 是桶口所在圆，半径为OA ），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F ，C-D 是CD 〖T ，AB=FE=5 cm ，∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：314≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97,）分析与解要判断图丙中所示提手是否合格，可过O作OM⊥BC 于M，只须比较OM与OA的大小即可.这时再连OB，在Rt△ABO中，由tan ∠ABO = OAOB= 3.4及tan73.6°=3.4可知∠ABO=73.6°，又∠ABC=149°，从而= 175∠MBO=75.4°，又OB = 22+ =314≈17.72，且sin+ = 25289AB OA，∴OM=OB·sin∠MBO=17.72×sin75.4°=17.72×0.97≈17.2，∠MBO=OMOB由OM＞OA知，这个提手是合格的.【教学说明】上述所选四道题中的例1，例2可由学生自主探究，独立完成，然后相互交流，互相检查.例3、例4文字叙述较长，教师应作好引导，帮助学生分析，找出解决问题的突破口，让学生在理解的基础上探寻结论，进一步体验用锐角三角函数知识解决实际问题的过程、方法，加深对本章知识的理解.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？【教学说明】师生相互交流，让学生谈谈自己的想法，提出来与大家分享，也可帮助学生进行知识、方法的提炼，形成完整的知识结构.1.布置作业：从教材P84～85复习题28中选取.2.完成创优作业中本课时的练习.本课时为复习课，首先要让学生了解本章的知识体系，教学的展开以问题的解决为中心，指导学生自主理清由实际问题转化为三角函数模型的思路，增强学生数学问题的转化意识.。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)
锐角三角函数第一部分同角三角函数“做一做”三角函数角αsin α cos α tan α30021 23 33 45022 22 160023 21 3从表中不难得出：130cos 30sin 022=+ ， 0030tan 30cos 30sin = 145cos 45sin 022=+ ， 0045tan 45cos 45sin =160cos 60sin 022=+ ，0060tan 60cos 60sin =那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 22=+B A ，A AAtan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在090,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 22=+B A （平方关系）②A A A cos sin tan =，AAA sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a cbA c a A =+==Θ1cos sin 222222222==+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 22=+A A ②abA b a A c b A c a A ====cot ,tan ,cos ,sin Θ A ba b c c a c b c aA A tan cos sin ==⋅==∴ A aba c cb ca c bA A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A AA sin cos cot =③abA b a A ==cot ,tan Θ1cot tan =⋅=⋅∴abb a A A即 1cot tan =⋅A A通过以上证明，可以得出以下结论：①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 22=+A A ．②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A AA cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即AAA sin cos cot =．④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,53cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠Θ为锐角1sin 0<<∴A又Θ,1cos sin 22=+A A 53cos =A 542516531cos 1sin 22==⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴A A345354cos sin tan ===∴A A A此题还可以利用定义求解，方法不唯一． 例2 计算02245tan 30sin 30cos -+ 解：原式=()130cos 30sin 0202-+=1-1 =0本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．1．化简：0010cos 10sin 21+ 2．A ∠为锐角，化简cotAtanA 1sinA cosA 1+⋅⋅ 答案： 1．0010cos 10sin +（提示：1=02210cos 10sin +） 2．1 （提示： aAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==） 第二部分特殊角的三角函数特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：30˚12 3145˚ 12 12 60˚ 3说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从023 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
人教版九年级下册数学：第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 求锐角三角函数值及
A 45
10
三、应用： （2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 3 倍，求 a 的度数． A
解： （2）在图中， tan a AO 3OB 3 OB OB
a 60
OB
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数
11
四、练习：
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数
1. 求下列各式的值：
A
A的对边 斜边
a c
如图，Rt△ABC中，∠A的邻边与斜边的比叫∠A的余弦， 记作cosA
cos A
A的邻边 斜边
b c
如图，Rt△ABC中，∠A的对边与∠A的邻边的比叫∠A 的正切，记作tanA
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
2
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数
2、在Rt△ABC中，∠C=900， B
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin a cos a tan a
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3 3
1
3
2、三角函数的基本性质:在0到900的范围内，正弦值随着角度 的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度 的增大而增大
3、运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
七、作业：
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
记住这些特殊角 的三角函数值有 不同的方法。
30°
45°
60°
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5.在△ABC 中,∠C 为直角, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c,已知a=
25
,b=2
15,求c 、∠A 、∠B.
6. 如下图，一旗杆AB 上的绳子AC （如图1），如垂到地面上时还会多出1米，当把绳子拉开5米后，下端刚好接触地面（如图2），你能求出旗杆的长度吗？
三、精讲点拔 例1一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
例2某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h （即
3
50
m/s ）．交通管理部门在离该公路100 m 处设置了一速度监测点A ，在如图所示的坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．
（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC ，并标出点C 的位置； （2）点B 坐标为 ，点C 坐标
为 ；
（3）一辆汽车从点B 行驶到点C 所用的时间为
15 s ，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中7.13取） 四、学习小结
谈谈你本节课的收获和体会
学后反思 达标检测
1.已知sina=12
13 , a 为锐角，则cosa ＝ ，tana ＝ ， 2.如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE =DF =
1
4
BD ，若四边形AECF 为正方形，A A B B C
D C M
图1 M N 图2
y/m
x/m A （0, -100） B
O 60°
东
北
则
tan ∠ABE =_________．
3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=2
3 ，则a:b:c= . 4．若 3 tan 2α－4tanα＋ 3 ＝0，则α＝
5．等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为 6．已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 7.计算：（1）
00
00245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +⋅+（2）0
00060cos 445tan 45cos 45sin +-⋅
（3）0
2
30cos 260tan 60sin 3-+
延伸拓展
如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150厘米，∠B AC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°. (1)求垂直支架CD 的长度。
（结果保留根号） （2）求水箱半径OD 的长度。
（结果保留三个有效数字，参考数据：41.12≈，73.13≈）。