常用概率分布函数

– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
E( X ) xi pi i 1
D(X ) E[X E(X )]2 E(X 2) [E(X )]2
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– 若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值， 则称之为连续型随机变量。
– 若存在非负函数f(x)，使得X在区间(a, b)内取值的概率
为：
b
P(a,b) a f (x)dx
– 概率密度函数满足：
(1) p( xi ) 0
(2) p( xi ) 1.
i 1
i 1, 2
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– F(x)为离散型随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）
F(x) p(xi ) xi x
– 离散型随机变量X均值和方差分别为：
– 正态分布的概率密度函数：
– 累积分布ຫໍສະໝຸດ Baidu数：
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
x
F(x) f (x)dx
1
( x )2
x
e
2 2
dx
2
常用概率分布函数
• 正态分布（ Normal Distribution ）
– 均值为0，标准差为1的标准正态分布与一般正态分布的比较：
– x=-5:0.01:5;
ex , 0 x;
f (x) 0, x 0.
1 ex , 0 x; F(x)
0, x 0.
常用概率分布函数
• 指数分布（Exponential Distribution）
– 排队系统中平均间隔时间为1的客户到达概率密度分布：
– x=0:0.01:10; 1
– lamuda=1;
– u0=0;
– sigma0=1;
0.8
– u1=1;
0.7
– sigma1=0.5;
0.6
– u2=0; 0.5
– sigma2=2; – y0=normpdf(x,u0,sigma0); 0.4
– y1=normpdf(x,u1,sigma1); 0.3
– y2=normpdf(x,u2,sigma2); 0.2
0.9
– y=exppdf(x, lamuda); 0.8
– plot(x,y);
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
常用概率分布函数
• γ分布（γ Distribution）
–γ分布用于描述完成某些任务所需要的时间，如排队系
统中顾客的等待时间等。
– 概率密度函数：
f (x)
x
1e
x
x 0
( )
0为比例参数，表示时间发生的平均间隔；
0为形状参数，表示产生一次失效的事件数；
( )为函数，( )= t e 1 tdt 0
–
累积分布函数：
F ( x)
1-e x
1 (x
j0
)j
j!
x
0
0
其它
常用概率分布函数
• γ分布（γ Distribution）
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
其中
n k
=
k
n! !(n
k
)!
称为二项系数
0 (x 0)
F ( x)
P( X
x)
x
i1
n
i
pi (1
p)ni (0
x
n)
1 (n x)
常用概率分布函数
• 二项分布（Binomial Distribution）
– 每次概率p为0.1，n为10次试验中，成功次数为x的概 率
– a=0;
1
0.9
– b=1;
0.8
– y=unifpdf(x,0,1); 0.7
– plot(x,y);
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
常用概率分布函数
• 正态分布（ Normal Distribution ）
– 正态分布用于描述众多独立偶然因素共同作用下的变量。
– plot(x,y0,x,y1,x,y2); 0.1
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
常用概率分布函数
• 指数分布（Exponential Distribution）
– 指数分布用于描述事件的发生相互独立的时间间隔，如 顾客到达的时间间隔、服务时间等。
– 概率密度函数： – 累积分布函数：
– x=0:0.001:50;
– a=10;
0.14
– b=1; 0.12
– y=gampdf(x,a,b); 0.1
– plot(x,y);
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
F (x) P( X x) x i e i0 i!
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
– 大量生产时零件不合格品出现次数的概率，比如生产 100000个零件，每个零件的次品率为0.0001，则出现 不同数量次品的概率
0.14
– x=0:0.001:30; 0.12
– 均匀分布的概率密度函数：
f
(x)
b
1
a
a
x
b
– 累积分布函数：
0 其它
0 x a
F
(
x)
x b
a a
a
x
b
1 x b
常用概率分布函数
• 均匀分布（ Uniform Distribution ）
– (0, 1)区间的标准均匀分布：
– x=-1:0.01:2;
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2
常用概率分布函数
• 二项分布（Binomial Distribution）
– 二项分布用来描述当每次试验的成功概率为p时，n次 独立贝努力试验成功的总次数为k的概率。
–
二项分布的概率密度函数：
P(x k)
n k
pk (1
p)nk
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
– lamuda=10;
0.1
– y=poisspdf(x,lamuda);
0.08
– plot(x,y);
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
常用概率分布函数
• 均匀分布（ Uniform Distribution ）
– 均匀分布是取值在最大值b和最小值a之间随机、连续 的抽取。在仿真中具有重要意义，(0,1)均匀分布的随机 数是生成其他类型随机数的基础。