抛物型方程的差分方程1
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n x m
n n n 前差算子： x，xum um 1 um
n n n 后差算子：x，xum um um 1
(2.9) (2.10) (2.11)
n n n 中心差分算子： x， xum um u 1/ 2 m1/ 2
差分算子与导数算子的关系，由Taylor展式，得：
t
T T
t
k
h k
h
0
x
0
1
x
在t=0上的结点为边界结点，属于Ω 内的结点为内部结点。 对于混合问题： t nk，n 0,1,, N；N T n
k xm m h，m 0,1,, M；Mh 1
也有边界结点：在 t 0，x 0，x 1上；内部结点：在 内部
n n 由um T u 1 x m Tx exp(hDx )
n um
I 恒等算子
(2.12)
(2wenku.baidu.com13)
或 hDx ln Tx
x Tx I Tx x I
n n um 1 um
h u h u h u 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
2 2 3 3
n
n
n
h h2 2 I Dx Dx 2! 1!
n exp(hDx )um
n n u u u n Em m1 m h x m n
(2.8)
h 2u 则E 2 2 x x
n m
( xm x xm1 )
,t n
o(h)
截断误差
2 向后差商的截断误差阶也为O(h) ，而中心差商的截断误差阶为O(h )
以差分方程逼近微分方程，先研究用差商表示导数
n 对u u ( x, t )，定义um u ( xm , tn )，且设u u ( x, t )具有需要的偏
导数。由Taylor展开有
h u h u h u u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
2 2 3 3 n n n
h u h 2 2u h 3 3u u ( xm 1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
介绍一些线性算子：
Dx 为x方向的偏导算子 x
n n n n Tx为x方向位移算子，Txum um ，Tx1um um 1 1
h n 1 n n u u x , tn x为x方向平均算子， u um 1/ 2 um 1/ 2 ，其中 m1/ 2 m 2 2
u u u (a( x, t ) ) b( x, t ) c( x, t )u t x x x
(2.1)
其中 ( x, t )，a( x, t ) 0，c( x, t ) 0， ( x, t ) ，为xt平面上的某一区域。
通常考虑的定解问题，有：
(1)初值问题(Cauchy问题)
n
n
n
则u在( xm , tn )处对x的一阶偏导数的三个近 似表达式为：
u n n u ( xm1 , tn ) u ( xm , tn ) / h um1 um / h x m
n
(2.5)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) / h u u m n m 1 n m m 1 / h x m
n
(2.6)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) /(2 h ) u u m 1 n m 1 n m 1 m 1 /(2h) x m
n
(2.7)
分别称为u( x, t )在点( xm , tn )处的关于x的向前差商、向后差商、 中心差商。当然用差商近似导数存在误差，令
0 x 1
0t T
(2.3) (2.4)
(2.4) 边值条件
§2.1 差分格式建立的基础
差分方法又叫网格法。首先将Ω 用二组平行于x 轴、t轴的直线构成的网格覆盖，x方向上步长为h， t方向上步长为k，网格线的交点称为结点。对初值 问题，网格是：
T tn nk，n 0,1,, N，N ； k xm m h，m 0，m 1,2
第二章 抛物型方程的差分方法
偏微分方程（数理方程）分为三类：①抛 ②椭 ③双。 数值解法分为差分方法和有限元素法。本书主要介绍差分 方法，最后看有时间有可能再介绍一下有限元。差分的思 想就是将连续问题离散化，以差分逼近微分，求出一些离 散点上的数值解。
一维线性抛物型方程的一般形式：
( x, t )
(2)混合问题(初、边值问题)
在 {( x, t ) | 0 x 1,0 t T }上求u( x, t )，使满足
方程(2.1) u( x,0) ( x) u(0, t ) 1 (t )，u(1, t ) 2 (t )
( x, t )
在 {( x, t ) | x ,0 t T }上求函数u( x, t )，使满足：
• • • 方程 ( 2.1) • u ( x ,0 ) ( x )
( x, t ) x
(2.2)
(2.2) 初始条件， ( x) 初始函数
n n n 前差算子： x，xum um 1 um
n n n 后差算子：x，xum um um 1
(2.9) (2.10) (2.11)
n n n 中心差分算子： x， xum um u 1/ 2 m1/ 2
差分算子与导数算子的关系，由Taylor展式，得：
t
T T
t
k
h k
h
0
x
0
1
x
在t=0上的结点为边界结点，属于Ω 内的结点为内部结点。 对于混合问题： t nk，n 0,1,, N；N T n
k xm m h，m 0,1,, M；Mh 1
也有边界结点：在 t 0，x 0，x 1上；内部结点：在 内部
n n 由um T u 1 x m Tx exp(hDx )
n um
I 恒等算子
(2.12)
(2wenku.baidu.com13)
或 hDx ln Tx
x Tx I Tx x I
n n um 1 um
h u h u h u 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
2 2 3 3
n
n
n
h h2 2 I Dx Dx 2! 1!
n exp(hDx )um
n n u u u n Em m1 m h x m n
(2.8)
h 2u 则E 2 2 x x
n m
( xm x xm1 )
,t n
o(h)
截断误差
2 向后差商的截断误差阶也为O(h) ，而中心差商的截断误差阶为O(h )
以差分方程逼近微分方程，先研究用差商表示导数
n 对u u ( x, t )，定义um u ( xm , tn )，且设u u ( x, t )具有需要的偏
导数。由Taylor展开有
h u h u h u u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
2 2 3 3 n n n
h u h 2 2u h 3 3u u ( xm 1 , t n ) u ( xm , t n ) 2 3 1! x m 2! x m 3! x m
介绍一些线性算子：
Dx 为x方向的偏导算子 x
n n n n Tx为x方向位移算子，Txum um ，Tx1um um 1 1
h n 1 n n u u x , tn x为x方向平均算子， u um 1/ 2 um 1/ 2 ，其中 m1/ 2 m 2 2
u u u (a( x, t ) ) b( x, t ) c( x, t )u t x x x
(2.1)
其中 ( x, t )，a( x, t ) 0，c( x, t ) 0， ( x, t ) ，为xt平面上的某一区域。
通常考虑的定解问题，有：
(1)初值问题(Cauchy问题)
n
n
n
则u在( xm , tn )处对x的一阶偏导数的三个近 似表达式为：
u n n u ( xm1 , tn ) u ( xm , tn ) / h um1 um / h x m
n
(2.5)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) / h u u m n m 1 n m m 1 / h x m
n
(2.6)
u n n u ( x , t ) u ( x , t ) /(2 h ) u u m 1 n m 1 n m 1 m 1 /(2h) x m
n
(2.7)
分别称为u( x, t )在点( xm , tn )处的关于x的向前差商、向后差商、 中心差商。当然用差商近似导数存在误差，令
0 x 1
0t T
(2.3) (2.4)
(2.4) 边值条件
§2.1 差分格式建立的基础
差分方法又叫网格法。首先将Ω 用二组平行于x 轴、t轴的直线构成的网格覆盖，x方向上步长为h， t方向上步长为k，网格线的交点称为结点。对初值 问题，网格是：
T tn nk，n 0,1,, N，N ； k xm m h，m 0，m 1,2
第二章 抛物型方程的差分方法
偏微分方程（数理方程）分为三类：①抛 ②椭 ③双。 数值解法分为差分方法和有限元素法。本书主要介绍差分 方法，最后看有时间有可能再介绍一下有限元。差分的思 想就是将连续问题离散化，以差分逼近微分，求出一些离 散点上的数值解。
一维线性抛物型方程的一般形式：
( x, t )
(2)混合问题(初、边值问题)
在 {( x, t ) | 0 x 1,0 t T }上求u( x, t )，使满足
方程(2.1) u( x,0) ( x) u(0, t ) 1 (t )，u(1, t ) 2 (t )
( x, t )
在 {( x, t ) | x ,0 t T }上求函数u( x, t )，使满足：
• • • 方程 ( 2.1) • u ( x ,0 ) ( x )
( x, t ) x
(2.2)
(2.2) 初始条件， ( x) 初始函数