随机重复过程的鲁棒L2-L∞动态输出反馈控制
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＋，
Ｒ ｇｒ 等提 出了线性重复过程的稳定性 理论 。近 ｏｅ ｓ
（ ）＝０， ０ Ｖｋ≥ ０
年来 ， 于线性矩阵不 等式方 法 对重 复过程进行 基 研究出现了一些 有益 的成果 ， 文献 ［ ］ ６ 研究 了其稳
定性 问题 ； 献 ［ ］ 文献 ［ ］ 文 ７、 ８ 研究 了其 日 控 制 问 题； 文献 ［ ］ ９ 研究了其 － 滤波问题 ； 文献 ［０ 研 １］
有实际意义。
Ｂ ，３ｃ， ｃ ， Ｄ， ， ，Ｅ，ｌ是 适 当 维 数 的 曰 ， ｃ ， ２ｃ ， Ｄ。Ｄ ， Ｅ
常数矩 阵。 设计 如 下 形 式 的 全 阶 动 态 输 出反 馈 控 制 器
∑ ：
本文应用 Ｌａｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数及 线性 矩 阵不 等式 技 术研究了随机线性重复过程的鲁棒 － 动态输 出
解 问题 。 文章最后以数值算例验证 了所提出的 ．。
动态输 出反馈控制设计方法 的可行性 。
２ 问题描述
考虑随机连续线性重复过程 乏：
ｄ （）＝ ［ｘ （）＋ （）＋Ａ Ｉ （） ｘ ｔ Ａ 川 ｔ ｌ ｔ ２川 ｔ Ｉ ，
中的信息既在一次动作中沿 时间方 向传播 又在前后 动作之间传播 ， 需要兼 顾整个 系统在 时间方 向和动
齐 迹 李艳辉 佟 ， ， 亮
（． １ 齐齐哈尔大学 计算 机与控制工程学院 ， 黑龙江 齐齐哈尔 １ １ ６ ６０ ； ０ ２ 大庆石油学院 电气信息工程学院 ， ． 黑龙江 大庆 １３ １ ） ６３ ８
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
摘要 ： 应用 Ｌ ａｕｏ ｙｐ ｎｖ函数 及线性矩 阵不等式技术研究 了随机重复过程 的鲁棒 ． 动 态输 出反馈控 制 问 题， 目的是设计一个全阶控 制器使 随机重复过程均方渐近稳定。给 出鲁棒 厶． 全阶控制 器存在的充分条件 ， 并 将控制器的设计 转化 为一 个凸优化的 求解问题。所设计 的控 制 器能够保证相 对于所有 能量有界 的外界扰动信 号， 重复过程的 一 性能指标小于一定值 。 仿真 实例证 实了该设计 方法的有效性 。 关键词 ： 随机 重复过程 ； 动态输 出反馈控制 ； 一 性能 ； ￡ 线性矩阵不等式
重复过程是具有较强的工程实际背景 的二维线
性系统… ， 在煤矿 开 采、 属锻 造 中 已有 重要 的应 金
用 ， 复过程 的控制 理论 已经成 为迭代 学习控 制 重 算法分析 和综合 的一个重要 基础 。线性重复过程 具有二维 系统 的结构 ， 连续线性 重复 过程在一个 但 方向上是离散的 ， 在另一个方 向上却是连续 的 ， 过程
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ： Ｔ ２３ Ａ 文 章 编 号 ： ００３ ３ （ ００ １－０ ３ ５ １０ ．９ ２ ２ １ ） １ ２ － ０ ０
１ 引 言
制器设计方法 ， 得出 了鲁棒控制器存在的充分条件 ， 在此基础上将控制器的设计转化为一个凸优化 的求
性方法描述系统可能会丢失系统的某些 特性 ， 因此 ， 有必要在系统建模时 考虑随 机因素 的描述。另外 ，
∈Ｒ 是控制输 出 ； 重复过程矩阵 ， ，： ， 。 。Ａ ， ， ， ，
在许多实际问题 中 ， 系统 的状 态往往 是不能直 接测
量 的， 因此 ， 用输 出反馈来控 制 随机线 性重 复过程 ， 使得闭环过程鲁棒稳定且具有期 望的性能指标更具
过 程 控 制
化 动 及 表，０ ，７１ ： ～７ 工自 化 仪 ２１ ３（ ） ３ ２ ０ Ｉ２
Ｃ ｎ ｒｌａ ｄ Ｉ ｓｒｍｅ ｔ ｎ Ｃ ｅ ｃ ｌ ｎ ｕ ｔ ｏ ｔ ｎ ｎ ｔｕ ｎ ｓｉ ｈ ｍｉａ ｄ ｓｒ ｏ Ｉ ｙ
随机 重 复过 程 的鲁棒 一∞ 动态 输 出反 馈 控 制
并假定其为能量有界 ， ＋（）∈Ｌ ｛０ ∞） ［ ， 即 。ｔ ： ［ ， ，０ ０） ； ｔ 是满足 Ｅ｛ｗ ｔ ｝＝０ Ｅ ｄ ｔ ０｝ （） ｄ （） ， ｛ （） ｝＝ｄ ｔ
的一维布朗运动 ； （）∈Ｒ 是测 量输 出； （） ｚ ｔ ｐ ， ｆ ７
随机 因素在实际过程 中是客 观存 在 的 ， 确定 用
收稿 日期 ： １ — — （ ２ ０１ １ 修改稿 ） ０ ０２
基金项 目： 黑龙 江省教育厅项 目（ １４ ３０） １５ １９
反馈控制问题 ， 出了鲁棒 一 动 态输 出反馈 控 给
・
２ ４・
化 工
自 动 化 及 仪 表
第３ ７卷
ｄ ｔ ＋（）＝ ［ １ｔ Ａｉ＋ ）＋Ａ （）＋Ａ ｔ］ｆ （ ｔ ２“ （） ｄ ＋［ ＋ Ｂ （ ）＋ ｆ （ ）＋曰 ＋（ ］ｗ ｔ ｔ ｄ （） ）
作方 向的稳定性 等性能 ， 此外 ， 重复过程每一次动作 在有 限时间 内动态进行 的特点又区别于一般 的二维 线性系统 ， 因而不能直 接利用标 准系统 理论来解 决
线性重 复 过程 的控 制 问题 。为 了 解决 这 个 问 题 ，
＋１
＋ ３ ＋（） ｄ ＋［ｘ ｌｔ Ａ ｌｔ］ｌ Ｂ “ （）＋Ｂ （） ＾ ｌ ｔ
＋Ｂ ＋（）＋ “ （） ｄ １ ２Ｉ ＃ １ ｌｆ］ （）
Ｙ １１ Ｉ （ ）＝Ｃ “ （）＋Ｃ， （）＋Ｃ １ ｔ ＋ ｘ ｌｔ ｌ ｔ ， ２ “ （） ＋Ｃ ＋（） ３ ｔ （） ＝Ｄ 川 （）＋Ｄ （ ）＋Ｄ ＋（） ｔ ｘ ｔ １ ｔ ３ ｌｔ （） １
仇＋（ ）＝Ｅ （）＋Ｅ （） ｌｔ ｘ ｔ １ ｔ
究了其 日 模型降阶问题 。
Ｙ （ ）＝０ Ｖ０≤ ｔ≤ Ⅱ ｏｔ ，
其 中通道长度 为 Ｏ 在第 ｋ ｔ ， 个通道上 ， 。ｔ ＋ ）∈ （
是 过程状态 向量 ； ｔ ∈Ｒ ） （） ， 是通 道剖 面向量 ；
＋。
（）∈Ｒ 是控制输入 ； 。ｔ ｔ ＋（）∈Ｒ 是扰动输入 ，
Ｒ ｇｒ 等提 出了线性重复过程的稳定性 理论 。近 ｏｅ ｓ
（ ）＝０， ０ Ｖｋ≥ ０
年来 ， 于线性矩阵不 等式方 法 对重 复过程进行 基 研究出现了一些 有益 的成果 ， 文献 ［ ］ ６ 研究 了其稳
定性 问题 ； 献 ［ ］ 文献 ［ ］ 文 ７、 ８ 研究 了其 日 控 制 问 题； 文献 ［ ］ ９ 研究了其 － 滤波问题 ； 文献 ［０ 研 １］
有实际意义。
Ｂ ，３ｃ， ｃ ， Ｄ， ， ，Ｅ，ｌ是 适 当 维 数 的 曰 ， ｃ ， ２ｃ ， Ｄ。Ｄ ， Ｅ
常数矩 阵。 设计 如 下 形 式 的 全 阶 动 态 输 出反 馈 控 制 器
∑ ：
本文应用 Ｌａｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数及 线性 矩 阵不 等式 技 术研究了随机线性重复过程的鲁棒 － 动态输 出
解 问题 。 文章最后以数值算例验证 了所提出的 ．。
动态输 出反馈控制设计方法 的可行性 。
２ 问题描述
考虑随机连续线性重复过程 乏：
ｄ （）＝ ［ｘ （）＋ （）＋Ａ Ｉ （） ｘ ｔ Ａ 川 ｔ ｌ ｔ ２川 ｔ Ｉ ，
中的信息既在一次动作中沿 时间方 向传播 又在前后 动作之间传播 ， 需要兼 顾整个 系统在 时间方 向和动
齐 迹 李艳辉 佟 ， ， 亮
（． １ 齐齐哈尔大学 计算 机与控制工程学院 ， 黑龙江 齐齐哈尔 １ １ ６ ６０ ； ０ ２ 大庆石油学院 电气信息工程学院 ， ． 黑龙江 大庆 １３ １ ） ６３ ８
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
摘要 ： 应用 Ｌ ａｕｏ ｙｐ ｎｖ函数 及线性矩 阵不等式技术研究 了随机重复过程 的鲁棒 ． 动 态输 出反馈控 制 问 题， 目的是设计一个全阶控 制器使 随机重复过程均方渐近稳定。给 出鲁棒 厶． 全阶控制 器存在的充分条件 ， 并 将控制器的设计 转化 为一 个凸优化的 求解问题。所设计 的控 制 器能够保证相 对于所有 能量有界 的外界扰动信 号， 重复过程的 一 性能指标小于一定值 。 仿真 实例证 实了该设计 方法的有效性 。 关键词 ： 随机 重复过程 ； 动态输 出反馈控制 ； 一 性能 ； ￡ 线性矩阵不等式
重复过程是具有较强的工程实际背景 的二维线
性系统… ， 在煤矿 开 采、 属锻 造 中 已有 重要 的应 金
用 ， 复过程 的控制 理论 已经成 为迭代 学习控 制 重 算法分析 和综合 的一个重要 基础 。线性重复过程 具有二维 系统 的结构 ， 连续线性 重复 过程在一个 但 方向上是离散的 ， 在另一个方 向上却是连续 的 ， 过程
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ： Ｔ ２３ Ａ 文 章 编 号 ： ００３ ３ （ ００ １－０ ３ ５ １０ ．９ ２ ２ １ ） １ ２ － ０ ０
１ 引 言
制器设计方法 ， 得出 了鲁棒控制器存在的充分条件 ， 在此基础上将控制器的设计转化为一个凸优化 的求
性方法描述系统可能会丢失系统的某些 特性 ， 因此 ， 有必要在系统建模时 考虑随 机因素 的描述。另外 ，
∈Ｒ 是控制输 出 ； 重复过程矩阵 ， ，： ， 。 。Ａ ， ， ， ，
在许多实际问题 中 ， 系统 的状 态往往 是不能直 接测
量 的， 因此 ， 用输 出反馈来控 制 随机线 性重 复过程 ， 使得闭环过程鲁棒稳定且具有期 望的性能指标更具
过 程 控 制
化 动 及 表，０ ，７１ ： ～７ 工自 化 仪 ２１ ３（ ） ３ ２ ０ Ｉ２
Ｃ ｎ ｒｌａ ｄ Ｉ ｓｒｍｅ ｔ ｎ Ｃ ｅ ｃ ｌ ｎ ｕ ｔ ｏ ｔ ｎ ｎ ｔｕ ｎ ｓｉ ｈ ｍｉａ ｄ ｓｒ ｏ Ｉ ｙ
随机 重 复过 程 的鲁棒 一∞ 动态 输 出反 馈 控 制
并假定其为能量有界 ， ＋（）∈Ｌ ｛０ ∞） ［ ， 即 。ｔ ： ［ ， ，０ ０） ； ｔ 是满足 Ｅ｛ｗ ｔ ｝＝０ Ｅ ｄ ｔ ０｝ （） ｄ （） ， ｛ （） ｝＝ｄ ｔ
的一维布朗运动 ； （）∈Ｒ 是测 量输 出； （） ｚ ｔ ｐ ， ｆ ７
随机 因素在实际过程 中是客 观存 在 的 ， 确定 用
收稿 日期 ： １ — — （ ２ ０１ １ 修改稿 ） ０ ０２
基金项 目： 黑龙 江省教育厅项 目（ １４ ３０） １５ １９
反馈控制问题 ， 出了鲁棒 一 动 态输 出反馈 控 给
・
２ ４・
化 工
自 动 化 及 仪 表
第３ ７卷
ｄ ｔ ＋（）＝ ［ １ｔ Ａｉ＋ ）＋Ａ （）＋Ａ ｔ］ｆ （ ｔ ２“ （） ｄ ＋［ ＋ Ｂ （ ）＋ ｆ （ ）＋曰 ＋（ ］ｗ ｔ ｔ ｄ （） ）
作方 向的稳定性 等性能 ， 此外 ， 重复过程每一次动作 在有 限时间 内动态进行 的特点又区别于一般 的二维 线性系统 ， 因而不能直 接利用标 准系统 理论来解 决
线性重 复 过程 的控 制 问题 。为 了 解决 这 个 问 题 ，
＋１
＋ ３ ＋（） ｄ ＋［ｘ ｌｔ Ａ ｌｔ］ｌ Ｂ “ （）＋Ｂ （） ＾ ｌ ｔ
＋Ｂ ＋（）＋ “ （） ｄ １ ２Ｉ ＃ １ ｌｆ］ （）
Ｙ １１ Ｉ （ ）＝Ｃ “ （）＋Ｃ， （）＋Ｃ １ ｔ ＋ ｘ ｌｔ ｌ ｔ ， ２ “ （） ＋Ｃ ＋（） ３ ｔ （） ＝Ｄ 川 （）＋Ｄ （ ）＋Ｄ ＋（） ｔ ｘ ｔ １ ｔ ３ ｌｔ （） １
仇＋（ ）＝Ｅ （）＋Ｅ （） ｌｔ ｘ ｔ １ ｔ
究了其 日 模型降阶问题 。
Ｙ （ ）＝０ Ｖ０≤ ｔ≤ Ⅱ ｏｔ ，
其 中通道长度 为 Ｏ 在第 ｋ ｔ ， 个通道上 ， 。ｔ ＋ ）∈ （
是 过程状态 向量 ； ｔ ∈Ｒ ） （） ， 是通 道剖 面向量 ；
＋。
（）∈Ｒ 是控制输入 ； 。ｔ ｔ ＋（）∈Ｒ 是扰动输入 ，