高二数学解析几何综合复习资料：圆锥曲线的综合问题旧人教版

二、基础练习：
1 设 abc≠0，“ ac>0”是“曲线 ax2+by2=c 为椭圆”的（
）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件 C 充分必要条件
答案： B 解析： ac>0 曲线 ax2+by2=c 为椭圆反之成立
2 到两定点 A（0， 0），B（ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是（
A 椭圆
4 ( 25 － x1)+ 4 ( 25 － x2)=2× 9 ,由此得出： x1+x2=8.
54
54
5
设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= x1
x2 =4.
2
(3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2) 在椭圆上 .
得 9x1 2 25 y1 2 9 25
①
9x2 2 25 y2 2 9 25
用心 爱心 专心
A m=12 ， n=3
B m=24， n=6
Cm=6， n= 3 2
D m=12 ， n=6
答案： A 解析：由条件求出椭圆方程即得 m=12 ， n=3
6 点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2, 则动点 M 的轨迹方程为
(
)
x2 y2
A
B AB 所在直线 C 线段 AB D 无轨迹
D 既不充分又不必要条件 ）
答案： C 解析：数形结合易知动点的轨迹是线段
AB： y= 4 x，其中 0≤ x≤ 3 3
22
3 若点（ x， y）在椭圆 4x +y =4 上，则
y 的最小值为（
）
x2
A1
B－1
2 C－
3
3
D 以上都不对
答案： C 解析： y 的几何意义是椭圆上的点与定点（ x2
用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问
题和解决问题能力的一道好题
例 6 A、B、C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 km，C 在 B 正北偏西 30°，相距 4
km， P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B、 C 两地比 A 距 P 地远，
x=8，y=5
3 ，所以 P（ 8， 5
3 ）因此
5 kPA=
3 =
3 故炮击的方位角为北偏
83
东 30°
例 3、已知双曲线 C： 2x2－ y2=2 与点 P(1， 2)
(1)求过 P(1 ，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有
交点 .
(2)若 Q(1， 1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在 .
又∵ x1+x2 =2,y1+y2=2
∴2( x1－ x2)=y1－ y1
即 kAB= y1 y2 =2 x1 x2
但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中
点的弦不存在 .
例 4 如图，已知某椭圆的焦点是 F 1( －4，0)、F2(4，0)，过点 F 2 并垂直于 x 轴的直线与椭 圆的一个交点为 B，且 |F 1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C( x2,y2)满足条件： |F2A|、|F2B|、
b
a
cc
c
由 FA =λ AP 得 A（ 1
a2
ab
c， c） 1
将 A 点坐标代入椭圆方程得
（
c
2
+
λ
2
a
）
2
+
λ
24
a=
（
1+
λ
）
2
a
22
c
∴（
e
2
+
λ
）
2
+λ
2
=
e2（
1+
λ
）
2
∴λ
2=
e4 e2
e2 2
=－［（ 2－ e2） + 2
2 e2
］ +3≤ 3－ 2
2 ∴ λ 的最大值为
2 －1
点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应
因此 4 s 后， B、 C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为
1 km/s， A 若炮击 P 地，求炮
击的方位角
解：如下图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系，则
B（－ 3，0）、 A（3， 0）、C（－ 5， 2 3 ）因为 |PB|=|PC|， 所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上
因为 kBC=－ 3 ，BC 中点 D（－ 4， 3 ），
所以直线 PD 的方程为 y－ 3 = 1 （x+4）
①
3
又 |PB|－ |PA|=4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上
设 P（ x， y），则双曲线方程为 x 2 － y 2 =1（ x≥ 0）
②
45
y
P C
D
Bo A
x
联立①②，得
程是
y y1
xa
, A2M 的方程是
x1 a
y y1
x x1
a
,
a
两式相乘
,
结合
x12 a2
y12 b2
1即得
三、典型例题：
例1
已知椭圆
C 的方程为
x2 y2
a 2 + b 2 =1（a>b>0），双曲线
x2
y2
a 2 － b2 =1 的两条渐近线为
l1、 l2，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l1，又 l 与 l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C
y
的两个交点由上至下依次为 A、 B（如图）
（1）当 l 1 与 l2 夹角为 60°，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 C 的方程；
（2）当 FA =λ AP 时，求 λ 的最大值
o
分析：（ 1）求椭圆方程即求
a、 b 的值，由
l 1 与 l 2 的夹角为
60°易得
b =
3，
a3
由双曲线的距离为 4 易得 a2+b2=4，进而可求得 a、b
1
43
22
C 3x -y -34x+65=0
x2 y2
B
1
43
22
D 3x -y -30x+63=0
答案 : D 解析 :
(x 1) 2 y 2 x4
2 , 两边平方即得 3x2-y2-30x+63=0
2
2
x
7 P 是椭圆
y
1 上的动点 , 作 PD⊥ y 轴 , D 为垂足 , 则 PD 中点的轨迹方程为 (
①当 Δ =0, 即 3－ 2k=0, k= 3 时，方程 (*)有一个实根， l 与 C 有一个交点 . 2
②当 Δ ＞ 0,即 k＜ 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k＜－ 2
(*) 有两不等实根， l 与 C 有两个交点 .
2 或－
2 ＜k＜
2或
2 ＜k＜ 3 时，方程 2
③当 Δ ＜ 0，即 k＞ 3 时，方程 (*)无解， l 与 C 无交点 . 2
.解： (1)当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点 .当
l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y－ 2=k(x－ 1),代入 C 的方程，并整理得 (2－ k2)x2+2( k2 －2k)x－ k2+4k－ 6=0 (* )
(ⅰ )当 2－ k2=0,即 k=± 2 时，方程 (* )有一个根， l 与 C 有一个交点 (ⅱ )当 2－ k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ=［ 2(k2－2k)］ 2－ 4(2－ k2)(－ k2+4k－ 6)=16(3 － 2k)
用心 爱心 专心
综上知：当 k=± 2 ,或 k= 3 ，或 k 不存在时， l 与 C 只有一个交点； 2
当 2 ＜ k＜ 3 ,或－ 2 ＜ k＜ 2 ,或 k＜－ 2 时， l 与 C 有两个交点； 2
当 k＞ 3 时， l 与 C 没有交点 . 2
(2)假设以 Q 为中点的弦存在， 设为 AB，且 A(x1,y1 ),B(x2 ,y2)，则 2x12－ y12=2,2x22－ y22 =2 两 式相减得： 2(x1－ x2)( x1+x2)=( y1－ y2)(y1 +y 2)
具体来说，有以下三方面： （1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆 锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不 等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作 为解题突破口 （2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思 维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识 （3）解析几何与其他学科或实际问题的综合， 主要体现在用解析几何知识去解有关知识， 具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在 这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是 “数量”，不仅有大小还有符号
y2 =1.
9
(2)由点 B(4,yB) 在椭圆上，得 |F 2B|=|yB|= 9 .因为椭圆右准线方程为 5
25 x= ,离心率为
4 ，根据椭圆定义，有
|F 2A|= 4 ( 25 － x1),|F 2C|= 4 ( 25 － x2)，