阶乘数
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一 、张氏阶乘数
1.张氏阶乘数
（1）数列的三种类型
○
1线段型数列 一个数列，从首项开始，共有有限数n 项的数列，为线段型数列。可以表示为：
{a n }:a 0,a 1,a 2,…a n ,…
像100以内的奇数列：1,3,5,...,99.等是线段型数列。
○
2一个数列，从首项开始，有无穷多项的数列，为射线型数列。可以表示为： {a n }:a -2,a 0,a 1,a 2,…,a -1,…
像自然数列.1,2,3,...等是射线型数列。
○3一个数列，从初始项开始，左右两端都有无穷多项的数列，为直线型数列。可以表示为：
{a n }:…a -2,a -1,a 0,a 1,a 2,…
像正整数列：...,-2,-1,0,1,2,... 就是直线型数列。
（2）提到阶乘数，大家不禁想起现行高中课本中的自然数阶乘：n n ...321!⨯⨯⨯=.并且规
定，1!0=.其实，任意数都有它的阶乘数——张氏阶乘数。
求阶乘数要用到张氏阶乘数大公式.它等于首项为a ，公差为b 的射线型等差数列的连
乘积用符号“!)(b a ”表示.
)...2)((!)(b a b a a a b --=
如.
○1±∞=⨯-⨯-⨯-⨯=...5.115.00!0)5.0(
○2...)65()35(5!5)3(⨯+⨯+⨯=-
○3...101010!10)
0(⨯⨯⨯= )...2)(1(!)1(--=i i i i
2.常用阶乘数.
当b =1(一般都省略不写）时，我们称之为常用阶乘数。
)...2)(1(!--=a a a a
(1) a 为负数时： a !=±∞
证明.
∵一个负数乘以比本身小的负数，有奇数无穷个或有偶数无穷个因子，
∴积必定得±∞。
例如：
① (-1)!=(-1)×(-2)×(-3)×…=±∞
② (-1/8)!=(-1/8)×(-9/8)×(-17/8)×…=±∞
(2) a 为小数时： a !=±∞
证明的道理同上，略。
例如：
① 1.6！ =1.6×0.6×(-0.4)×…=±∞
② (-1/8)!=(-1/8)×(-9/8)×(-17/8)×…=±∞
(3) a =0时，已经规定： 0！=1
有人说这是硬性规定，其实可以理解为：
0！=0×[(-1)×(-2)×…]=0×(-1)! =1
(4) a 为自然数n 时，（这里称为自然阶乘数）其阶乘为n 到1的连乘积。可以广义地理解
为：
∵n ！=n (n -1)(n -2)…×2×1×0！
=n (n -1)(n -2)…×2×1×1
∴n ！=n (n -1)(n -2）…×2×1 以上对a 为实数时的常用阶乘数进行讨论，说明张氏阶乘数囊括了自然阶乘数。
3.有效计算
当有限数因子与无穷数(0和±∞)因子在同一个算式中，要先约去无穷数因子，后计算
有限数，得到了准确值，叫做有效计算。反之，就得不到准确值。
两个无穷大相比有以下几种情况：○
1得0.○2得正或负无穷大(±∞).(3)得有限数. 例.
○
13×4×5×6×7×…/(5×6×7×…) =3×4×5×6×7×…/(5×6×7×…)=12
○
25×4×3×2×1×0×-1×-2×-3×…/(-1×-2×-3×…) =5×4×3×2×1×0×(-1×-2×-3×…)/(-1×-2×-3×…)=0
○
30(0.5)!/-0.5!=1 ○4=∞→r
r
r 23lim 3×3×3×…/(2×2×2×…)∞= ○5=∞→r
r
r 32lim 2×2×2×…/(3×3×3×…)= 0 3.阶乘数得幂公式（第一得幂公式）
1
1210!0)!1(]
)12(]...[)2(][)1([)1(...
)!
1(!2])2()...[4)(3)(2()1(!
!1])1()...[3)(2)(()1()!
1(!0)
)...(2)(()1(++=++-+-+--++-+-----++-----++----n n b n b n a b n a b n a n b n a b a b a b a n b n a b a b a b a n nb a b a b a a 简证：
(1) a /(0!×1!)- (a -b )/ (1! ×0!)=b
(2) a (a -b )/(0!×2!)-(a -b )(a -2b )/(1!× 1!)+(a -2b )(a -3b )/(2!×0!)=b 2
(3) a (a-b )(a -2b )/(0!×3!)- (a -b)(a -
2b )(a -3b )/(1!×2!)+(a -2b )(a -3b )(a
-4b )/(2!×1!)-(a -3b )(a -4b )(a -5b )/(3!×0!)=b 3
……
如果继续递推下去，不难看出第一得幂公式 成立。 此公式的结果与a 无关，只与b 以及几个因式有关。 例如.
(1)
○150/(0!×1!)
-48×46/(1!×1!)=2
○250×48/(0!×2！)
-48×46/(1!×1!)
+46×44/(2!×0!)=22
○350×48×46/(0!×3!)
-48×46×44/(1!×2!)
+46×44×42/(2!×1!)
-44×42×40/(3!×0!)=23
(2)
1
!0!50001
...49995000...!1!49995000
...99989999!0!50005001
...999910000=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯(3)
0.5×1×1.5×2/(0!×4!)
-1×1.5×2×2.5/(1! ×3!)
+1.5×2×2.5×3/(2!×2!)
-2×2.5×3×3.5/(3!×1!)
+2.5×3×3.5×4/(4!×0!)
=(-0.5)4