大学物理力学答案5

大学物理力学答案5

第五章基本知识小结

⒈力矩

力对点的力矩 F r o

⨯=τ

力对轴的力矩 ⊥⊥⨯=F r k z ˆτ

⒉角动量

质点对点的角动量 p r L o

⨯= 质点对轴的角动量 ⊥⊥⨯=p r k L z ˆ

⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系

⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和

∑=dt L d 0 外τ

⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该轴的力矩之和

∑=

dt

dL z

z τ

⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系

⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变

⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该轴的角动量保持不变

⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。

5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远

=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对

地心的角动量守恒

m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地） v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地）

=（2384+6370）/（439+6370）≈1.29

5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i

t a r ˆsin ˆcos ωω+= 的空间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。求此质点所受的对原点的力矩。

解：

)ˆsin ˆcos (ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /222222=⨯-=⨯=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j

t b i t a dt v d a j

t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω

5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场

j t i t t F ˆ)612(ˆ)43(2-+-=

中运动，其中t 是时间。该质点在t=0时位于原点，且

速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。

解：据质点动量定理的微分形式，)1()(===m v d v m d dt F

dt j t i t t v d ]ˆ)612(ˆ)43[(2-+-=∴

k k k k i

j k j i j j i i j i j i F r j

i j i F j

i j

i r j t t i t t r dt t t j dt t t i r d dt j t t i t t dt v r d j t t i t t v dt

t j dt t t i v d r t t

t t v

ˆ40)ˆ(44ˆ18)2(ˆˆˆ,ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)

ˆ18ˆ4()ˆ4ˆ()2()2()2(ˆ18ˆ4ˆ)6212(ˆ)2423()2(ˆ4ˆˆ)2322(ˆ)22()2(ˆ)32(ˆ)()(ˆ

6)2(ˆ]ˆ)(6ˆ)2[(ˆ)(6ˆ)2()612(ˆ)43(ˆ34342342333

244

1233324410002232232230

2

-=-⨯+⨯-=∴-=⨯=⨯=⨯=⨯+⨯+-=⨯=+=-⨯+⨯-⨯=+-=⨯-⨯+⨯-⨯=-+-=-+-=-+-==-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

ττ

5.1.4地球质量为

6.0×1024kg ，地球与太阳相距149×106km ，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

i ˆ

j

ˆk ˆ

解：60

6024365)10149(2100.62

924

2

⨯⨯⨯⨯⨯⨯===πωr m mvr L

s kgm /1065.21060

602436514920.6240422⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=π

5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。

解：v r m p r L ⨯=⨯=

k

mab k t ab k t ab m j t b i t a j t b i t a m ˆ)ˆsin ˆcos ()

ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=+-⨯+=

5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。

解：)2()2()2()2()2(v r m p r L

⨯=⨯=

k j j i ˆ16ˆ12)ˆ4ˆ(134-=⨯+-⨯=

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 小球，沿半径

为40cm

时从孔下拉绳的力为10-3N 。如果继续 向下拉绳，而使小球沿半径为10cm 的圆周作匀速圆周运动，这时小球的 F 速率是多少拉力所做的功是多少

解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R 1=40cm,运动速率为v 1;后来的运动半径为R 2=10cm,运动速率为v 2.

先求小球原来的速率v 1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R 1，所以，

s m m F R v /2.010/104.0/2311=⨯==--

由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v 1R 1=m v 2R 2，v 2=v 1R 1/R 2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s

在由R 1→R 2的过程中，只有拉力F 做功，据动能定理，有

J

v v v v m v v m mv mv A F 3

22

1

121221

2

12

2212

1212

221103)2.08.0)(2.08.0(10)

)(()(--⨯=-+⨯=-+=-=-=

5.1.8 一个质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，其位置矢量为