渐开线齿轮轮廓曲线方程

渐开线齿轮轮廓线方程的建立

摘要

根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，以进行后续的刚度、强度分析。

关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线

引言

渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分不传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精度。

范成法

近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一

系列的曲线族，该曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓，如下图所示：

图 1 齿条刀具轮廓曲线族

常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。

包络线简介

在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

一般地，设一个曲线族的每条曲线S C 可表示为()()(),,,t x s t y s t ，其中s 是曲线族的参数t 是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由

()(

)()()()

,,,s x s h s y s h s

得出，其中

()h s 以下的方程求得： y x y x

h s s h

∂∂∂∂=∂∂∂∂ 若曲线族以隐函数形式(),,0F x y s =表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去s 得到。

()(),,0,,0F x y s F x y s s =⎧⎪

⎨∂=⎪

∂⎩

轮廓曲线方程的建立

x2

图 2 刀具齿轮坯坐标系

建立如图2所示的齿条刀具和齿轮坯的坐标系。曲线ABC 为齿条刀具齿廓，其中AB 段为直线，BC 段位圆弧。m 为齿轮模数，z 为即将切出的齿轮齿数。d 为齿条刀具节线与齿轮轮坯中心间的距离。设齿轮的变位系数为x ，则d=m （z/2+x ）。坐标系1与齿条刀具固连，坐标系2与齿轮坯固连。为了求取齿轮轮齿齿廓曲线方程，可将展成运动简化成如下运动：齿条刀具沿x1方向以速度v 平动，齿轮坯绕自身原点以角速度w 转动。v 与w 之间满足：

2

mz υω= 若以齿轮坯坐标系为参考坐标系，则展成运动可看成齿条刀具绕着坐标系2的原点转动，同时沿着切线方向平动。在运动过程中，AB 线段曲线族的包络线就是齿轮轮齿的渐开线部分，BC 段圆弧曲线族的包络线就是过渡线部分。

初始状态时，AB 段曲线在坐标系1中的参数方程为：

tan()49m x y m m m

ππθθθ⎧=+⎪

⎨⎪=-⎩

-≤< BC 段曲线在坐标系1中的参数方程为：

tan()0.38cos 0.38cos 4990.38sin 0.38sin 992

m x m m m y m m πππθπθπ

π

θ⎧=++-⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩≤≤

渐开线曲线方程的建立

时刻t 时，AB 段线段在坐标系2中的曲线族参数方程为：

tan()cos()sin()01049

sin()cos()00110010011(tan())cos()()sin()49(tan())sin()()co 49m

x t t vt y t t d m m m vt t d t m vt t d ππθωωωωθππθωθωππθωθ⎛⎫⎡⎤+ ⎪

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅-⋅- ⎪⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥ ⎪

⎣⎦⎝

⎭+-+-=-+-+-s()1t ω⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

令t ωα=，则2

mz v α

=，AB 段线段在坐标系2中的曲线族参数方程可变为：

(tan())cos ()sin 492

(tan())sin ()cos 492m mz x d m mz y d ππαθαθαππαθαθα⎧=+-+-⎪⎪⎨

⎪=-+-+-⎪⎩

消去θ得到

(tan

sin cos )(tan

cos sin )tan 9

9

4

29

mz x y m d π

π

π

απ

αααα++-=

-

+ （1） 在方程（1）两边对α求偏导得到：

(sin tan

cos )(tan

sin cos )9

9

2

mz

x y π

π

αααα-++=

(2)