20-第20讲不定积分及其计算(1)

回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.”
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来 的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产 生了积分学. 积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积分. 先研究不定积分的概念、 性质和基本积分方法.
第六章 函数的积分
第三节 不定积分
一.原函数的定义
问题: 若已知某一函数F(x)的导数为ƒ(x), 求这个函数. 定义 设ƒ(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x),使得对 x I
有 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx.
则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.
例 因为 sin x cos x ，所以sin x是cos x 的原函数. 因为 ln x 1 ( x 0)
y=F(x)
从而相应点的切线相互平行. 注:当需要从积分曲线族中求出
ox
x
过点(x0 , y0 )的一条积分曲线时, 则只须把 (x0 , y0 )代入y = F(x) + C中解出C即可.
例 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标
的倒数, 且过点 (e3 ,5),求此曲线方程.
解 设所求曲线为 y = ƒ(x) , 则
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十讲 不定积分及其计算
第六章 函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
所以 F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数.
定理 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则 F(x) – G(x) ≡ C (常数)
证 (F(x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x) 0
由拉格朗日定理知 F(x) G(x) C(常数)
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
习惯上, 称求已知函数 f (x) 的全部原函数的过程, 为求函数 f (x) 的不定积分.
求不定积分是求导的逆运算.
例如： (x2 ) 2x,
2xd x x2 C;
(sin x) cos x, (ln | x |) 1 ,
x 所以 ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在性定理: 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数. (证明略)
问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
定理 设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数. 证 因为 (F(x) C) F (x) f (x)
(7) sin xdx cos x C
(8) sec2 xdx tan x C
由题意 dy 1 y 1 dx ln x C
dx x
x
由条件 y xe3 5 知有 5 ln e3 C , 得 C 2.
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
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二.不定积分的计算
利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法
1. 利用性质计算不定积分
首先介绍不定积分的基本性质.
是一族积分曲线，称它为积分曲线族, 其特点是:
(1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行 移动|c|个单位而得到.
(如图)当c>0时, 向上移动; 当c<0时, 向下移动.
y
{|c| y=F(x)
o
x
x
(2) (F(x) C) F (x) f (x)
y
即横坐标相同点处, 每条积分曲线上 相应点的切线斜率相等, 都为ƒ(x) .
x
cos x d x sin x C;
1 x
d
x
ln
|
x
|
C.
每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.
不定积分的几何意义
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
而 f (x)dx 是ƒ(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形
性质 1
( f (x)d x) f (x), d f (x)d x f (x)d x, f (x)d x f (x) C,
d f (x) f (x) C.
逆运算
性质 2 设 f1(x), f2(x) R(I), 则
[af1(x) bf2(x)]d x a f1(x)d x b f2(x)d x,
一. 不定积分的概念
定义
f (x) 在区间 I 上的全体原函数的集合 {F(x) | F(x) f (x) , x I}
称为 f (x) 在 I 上的不定积分, 记为
f (x) d x F (x) C ( C 为任意常数)
其中, F(x) 为 f (x) 的一个原函数；
f ( x)dx F( x) C
其中, a, b 为常数.
该性质可推广至有限个函数的和的形式.
线性性质
基本积分表
(1) kdx kx C (k为常数)
(2) xdx 1 x1 C
1
( 1),
(3)
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x 0)
(4) exdx ex C,
(5) a xdx 1 a x C,
ln a
(6) cos xdx sin x C,