工程力学_第12章_弯曲变形
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲课程编号：125111 学分： 4 (4学时/周) 总学时：68大纲执笔人：陈洁大纲审核人：王斌耀一、课程性质与目的工程力学（Ⅰ）（包括静力学、材料力学两部分）是土木工程专业的一门重要的技术基础课，它是各门后续课程的基础，并在许多工程技术领域中有着广泛的应用。
本课程的目的是使学生掌握静力学中一般力系的简化与平衡问题的分析介绍方法；掌握材料力学中构件在拉、压、剪切、扭转和弯曲时的强度与刚度问题的分析计算方法，构件在组合变形时的强度与刚度问题的分析计算方法，以及构件在受压时稳定性问题的分析计算方法等；掌握材料的基本力学性能和基本的材料力学实验方法；初步学会应用基本概念、基本理论和基本分析方法去分析问题和解决问题，为学习一系列后继课程打好必要的基础。
同时结合本课程的特点培养学生分析、解决工程实际问题的能力，提高学生的综合素质。
二、课程基本要求1、掌握力的概念、力的投影和力矩的计算；2、掌握力系简化的方法和一般的简化结果；3、掌握刚体静力学的平衡条件和平衡方程；4、对材料力学的基本概念和基本的分析方法有明确的认识。
5、具有将简单受力杆件简化为力学简图的初步能力，具有力学建模的初步概念与能力。
6、能熟练地做出杆件在基本变形下的内力图、计算其应力和位移、并进行强度和刚度计算。
7、对应力状态理论和强度理论有明确的认识，并能将其应用于组合变形下杆件的强度计算。
8、理解掌握简单超静定问题的求解方法。
9、对能量法的有关基本原理有明确认识，并熟练地掌握一种计算位移的能量方法。
10、对压杆的稳定性概念有明确的认识，能熟练计算轴向受压杆的临界载荷与临界应力，并进行稳定性校核等计算。
11、掌握质点系的质心、刚体的转动惯量、惯性积、惯性主轴和惯性积的平行移轴公式；掌握截面的静矩，形心的位置，惯性矩和惯性积及它们的平行移轴公式，转轴公式。
组合截面的惯性矩、惯性积计算，截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算11、对于常用材料在常温下的基本力学性能及其测试方法有初步认识。
第十二章工程力学之组合变形方案
将T分解为沿AC杆轴线的分量Tx和垂直于轴线的分量Ty
Tx T cos 30 40
3 34.6KN 2
Ty
T
sin 30
40
1 2
20KN
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。
32 M
d 3
4 15 103
d 2
32 6 103
d 3
根据强度条件 t max [ ]
有
4 15 103
d 2
32
6 103
d 3
35 106
由上式可求得立柱的直径 d≥122mm
例12-3：如图12-6（a）所示，电动机的功率为9kW，转速为 715r/m，皮带轮直径D=250mm，电动机主轴外伸部分长度为 l=120mm，直径d=40mm。求外伸部分根部截面A、B两点的应力。
二、叠加原理
杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。
当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。
M
M max Wy
35 103 2 152 106
115106
115MPa
截面上的弯曲正应力分布如图12-4（c）所示。 （4） 组合变形下的最大正应力
工程力学：弯曲变形 习题与答案
一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。
A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。
A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。
A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。
A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。
A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。
A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。
A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。
关于它们的最大挠度正确的是（）。
A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。
A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结悬臂梁是工程力学中常见的结构，其受力和弯曲变形问题一直是研究的焦点。
本文将对悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法进行总结。
一、悬臂梁的受力分析在工程实践中，悬臂梁常常承受着外部力的作用，因此对其受力进行准确的分析至关重要。
悬臂梁的受力分析主要包括弯矩和剪力的计算。
1. 弯矩的计算悬臂梁在受力时会产生弯矩，弯矩的计算可以通过弯矩方程进行。
弯矩方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯矩的表达式。
2. 剪力的计算悬臂梁在受力时还会产生剪力，剪力的计算同样可以通过力的平衡原理和材料的本构关系进行推导。
剪力方程可以通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的剪切应力-剪切应变关系进行分析得到。
二、悬臂梁的弯曲变形分析除了受力分析外，悬臂梁的弯曲变形也是需要考虑的重要问题。
弯曲变形是指悬臂梁在受力作用下产生的弯曲形变，主要表现为悬臂梁的中性面发生偏移和悬臂梁上各点的位移。
1. 弯曲形变的计算弯曲形变的计算可以通过弯曲方程进行。
弯曲方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯曲形变的表达式。
2. 中性面的偏移和位移的计算中性面的偏移和位移是悬臂梁弯曲变形的重要表现形式。
中性面的偏移可以通过弯曲方程和几何关系进行计算，位移可以通过位移方程进行计算。
通过这些计算，可以得到悬臂梁上各点的位移和中性面的偏移情况。
三、悬臂梁的计算方法总结为了更准确地分析和计算悬臂梁的受力和弯曲变形问题，工程力学中提出了一系列计算方法。
常见的计算方法包括静力学方法、力学性能方法和有限元方法等。
1. 静力学方法静力学方法是最常用的计算方法之一，它基于力的平衡原理和材料的本构关系进行分析和计算。
通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到悬臂梁的受力和弯曲变形情况。
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
测试题-弯曲变形(答案)
班级：学号：姓名：《工程力学》弯曲变形测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。
（×）2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。
（×）3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。
（×）4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
（√）5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。
（×）6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。
（√ ）7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。
（√ ）8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。
（×）9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。
（√ ）10、弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、梁的挠度是（B ）。
A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移D. 横截面形心的位移2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。
A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。
A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律C. 挠曲线在xoy平面内D. 同时满足A、B、C4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。
A. 挠度最大B. 转角最大C. 剪力最大D. 弯矩最大5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ）A. 梁必须是等截面的B. 梁必须是静定的C. 变形必须是小变形；D. 梁的弯曲必须是平面弯曲6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
工程力学弯曲变形(H)详解
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l F
x
l
v( x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v 2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l
x
l
v( x)
B
F
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程
正负号确定——确定坐标系:
v
x
x
M 0, v 0
第七章 弯曲变形
M 0, v 0
§7-3
用积分法求弯曲变形
EIv M ( x )
EIv M ( x) dx C
EIv M ( x)dxdx Cx D
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIv x x 2 2
y
q
B
x l x
A ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，v 0 x l 时，v 0
第七章 弯曲变形
ql 3 B 24 EI
5ql 4 384 EI
x
l 2
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。 解： M ( x) P(l x)
y
A
P
x
B
EIv P(l x)
工程力学 第2版 第12章 动荷应力和交变应力
影响构件持久极限的主要因素 构件外形的影响 构件截面尺寸的影响 构件表面加工质量的影响
a
Kd 1 g
j max
Kd
12.1.2 构件受冲击时的动荷应力 当具有一定速度的运动物体碰到静止的构件时，物体 和构件间会产生很大的作用力，这种现象称为冲击。如汽 锤锻造工件、落锤打桩、金属冲压加工、铆钉枪铆接、高
速转动的传动轴制动等，都是冲击的一些工程实例。
d max Kd j max [ ]
综合考虑以上三种主要因素，则在对称循环下构件的持久极限表示为
0 1
K
1
或
0 1
K
1
目前在机械设计中，通常将疲劳强度设计准则写成比较安全因数的形式
构件在对称循环弯曲或拉压时
n n
n
0 1
[ 1 ]
n
0 1
max
通 常 把 由 最 大 应 力 max 变 到 最 小 应 力 min ， 再 由 最 小 应 力 min变回到最大应力max的过程，称之为一个应力循环。把 一个应力循环中最小应力与最大应力之比值称为循环特性， 用r表示，即
r min max
常见的交变应力循环有 对称循环，
循环特性r = -1。
第12章 动荷应力与交变应力
12.1 动荷应力 10.2 交变应力
12.1 动荷应力
如果作用在构件上的载荷随时间有显著的变化，或在载荷作
用下构件上各点有显著的加速度，这种载荷即称为动载荷。
工程力学 弯曲变形
则：
wC 6 4 4.4210 10 l
B 103 rad
刚度满足。
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移 w、 还与梁的弯曲 刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提 高刚度的措施有： 1）升高EI。 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。 2）合理安排约束与加载方式
q
l
l 4
q
l 2 l 4
1,max
2,max
2 ,m ax 8.75 % 1 ,m ax
F
l 2
qF l
l 2
1,max
2 ,m ax 12.5 % 1 ,m ax
l 2,max
增加约束，制作成静不定梁
超静定梁:
A
C
B
B
§12-5 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
A l C F EI l F D l B
解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
C1
直线
C1 2l B1
·
wC1
wB1
F
(b)
wD1
直线
D1
wD1
D1 BD B 2
wB2
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
(a)
wC1
C1
直线
§12-2
梁变形基本方程
ρ(x) ρ M(x) M
一、挠曲轴微分方程
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
M EI
(纯弯曲变形公式， EI为抗弯刚度）
1
工程力学弯曲变形
三、挠度与转角的关系
tan dw , arctan(dw)
dx
dx
在小变形下 tan dw w' (x)
dx
§12-2 挠曲轴近似微分方程
纯弯曲：
1M
EI
非纯弯曲：
1 M (x)
(x) EI
（略去剪力对梁变形的影响）
由高数知识可知，平面曲线 w w(x) 上任一点的曲率为
d2w
EI
d2w2 dx 2
bF l
x F(x a)
转角方程
EI1( x)
bF 2l
x2
C1
挠曲轴方程
EI2( x)
bF 2l
x2
F 2
(x
a)2
C2
EIw1( x)
bF 6l
x3
C1 x
D1
EIw2( x)
bF 6l
x3
F 6
( x a)3
C2x
D2
⑶ 确定积分常数
EIw1 (0)
叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。
应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。
工 具：附录D 注 意：
（1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。
例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。
1 EI
[ bF 2l
x2
F 2
( x a)2
Fb (b2 6l
l 2 )]
挠曲轴方程
w2( x)
1 EI
[ bF 6l
工程力学中的弯曲与扭转
工程力学中的弯曲与扭转弯曲与扭转是工程力学中的两个重要概念，它们在实际工程中具有广泛的应用。
本文将从弯曲和扭转的基本原理、力的作用形式以及应用案例等方面进行详细的论述。
一、弯曲的基本原理弯曲是指在外力作用下，构件产生曲率变形的现象。
在弯曲过程中，构件的上部受拉，下部受压。
弯曲力会使构件的曲率发生变化，从而引起构件的弯曲变形。
弯曲力可以分为集中力和分布力两种形式。
集中力是指作用在构件的一个或多个离散点上的力，而分布力是指作用在构件的一段或整个长度上的力。
在计算弯曲力和弯曲变形时，需要根据具体情况选择适合的计算方法。
二、扭转的基本原理扭转是指在外力作用下，构件沿其纵轴线方向发生旋转的现象。
扭转力作用在构件的横截面上，使构件发生扭转变形。
扭转力的作用形式包括集中力和分布力两种。
集中力是指作用在构件的一个或多个离散点上的力，而分布力是指作用在构件的一段或整个长度上的力。
在计算扭转力和扭转变形时，需要考虑力的大小和作用位置等因素。
三、弯曲与扭转的应用案例在实际的工程应用中，弯曲与扭转经常同时出现，且相互影响。
下面将介绍一些常见的应用案例。
1. 梁的弯曲与扭转在建筑和桥梁工程中，梁是经常用到的结构构件。
在悬臂梁和连续梁等结构中，梁的自重和集中荷载都会对构件产生弯曲和扭转变形。
因此，在设计梁的时候，需要考虑弯曲和扭转对构件的影响，确保结构的安全性和稳定性。
2. 轴的弯曲与扭转轴是一种常见的旋转运动传动元件，其内部承受扭矩和弯矩的作用。
当轴承受到扭矩时，会发生扭转变形；当轴受到弯矩时，会发生弯曲变形。
因此，在轴的设计和选材时，需要充分考虑扭转和弯曲对轴的影响，以保证轴的工作性能和寿命。
3. 圆柱壳的弯曲与扭转圆柱壳是一种常见的结构形式，例如压力容器和管道等。
在受到内外压力和温度变化等作用下，圆柱壳会发生弯曲和扭转变形。
因此，在圆柱壳的设计和制造过程中，需要综合考虑弯曲和扭转对结构的影响，确保其安全可靠。
四、总结弯曲和扭转是工程力学中重要的概念，对于工程结构的设计和分析具有重要意义。
工程力学第1节 梁的计算简图
一、 工程实例
弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受 到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线 会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。 梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。
直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。 平面弯曲：若梁的外 力及支座反力都作用 在纵向对称面内，则 梁弯曲时轴线将变成 此平面内的一条平面 曲线，该弯曲变形中常见的梁的支座有以下三 种形式。 1、固定铰支座：如图a所示，固定铰支座限制梁在 支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正 交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴 线方向的FAy。
或
2、活动铰支座：如图b所示，活动铰支座只能限制 梁在支承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用 一个分量FRA表示。 3、固定端支座：如图c所示，固定端支座限制梁在 支承处的任何方向线位移和角位移，其支座反力有 两个正交力FAx、FAy和一个力偶分量MA。
三、静定梁的基本形式
静定梁：在平面弯曲情况下，作用在梁上的外力 （包括载荷和支反力）是一个平面力系。当梁上 只有三个支反力时，可由平面力系的三个静力平 衡方程将它们求出，这种梁称为静定梁。 1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
2、简支梁：梁的支座一端 是固定铰支座，另一端 是活动铰支座。
3、外伸梁：梁的支座与 简支梁相同，只是梁 的一端或两端伸出在 支座之外。
或
MA
二、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内， 可近似简化为作用于一点，如图所示的力F。单位 为牛顿（N）或千牛顿（kN）。 2）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似 简化为作用于一点，如图所示的力偶M。单位为牛 顿· 米（N· m）或千牛顿· 米（kN· m）。 3）分布载荷：沿梁轴线方 向、在一定长度上连续分布 的力系，如图所示的均布载 荷q。其大小用载荷集度表 示，单位为牛顿/米（N/m） 或千牛/米（kN/m）。
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M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
M ( x)MF ( x)Mq ( x)
（小变形）
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
x13
C1x1
D1
d2w2 dx22
Fb EIl
x2
F EI
(
x2
a)
dw2 dx2
Fb 2EIl
x22
F 2EI
(
x2
a)2
C2
w2
Fb 6EIl
x23
F 6EI
(
x2
a)3
C2
x2
D2
20
w1
Fb 6EIl
x13
C1
x1
D1
w2
Fb 6EIl
x
3 2
F 6EI
(
x
2
a)3
C
2
x
2
D2
2. 确定积分常数
凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
19
例题
例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI 为常数
FAy
Fb l
FBy
Fa l
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分
AC段
CB段
d2w1 dx12
Fb EIl
x1
dw1 dx1
Fb 2EIl
x12
C1
w1
Fb 6EIl
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
13
挠曲轴微分方推广到非纯弯）
1 M(x)
( x) EI
平面曲线任意一点的曲率为：
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度
❖ smax < sp
5
工程中的弯曲变形问题
摇臂钻床的 摇臂或车床 的主轴变形 过大，就会 影响零件的 加工精度， 甚至会出现 废品。
6
工程中的弯曲变形问题
桥式起重机的横梁变形过大，则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
工程中的弯曲变形问题
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形， 以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够 大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F
F
2
2
F
汽车上使用的叠板簧
8
工程中的弯曲变形问题
9
工程中的弯曲变形问题
10
弯曲变形及其特点
挠曲轴
变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静
挠曲轴微分方程的积分与边界条件 积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题
16
挠曲轴微分方程的积分与边界条件
d2w dx 2
M(x EI
)
dw M ( x)dxC
dx EI
w M (x)dxdxCxD EI
约束处位移应满足的 条件－位移边界条件
梁段交接处位移应满足 的条件－位移连续条件
利用位移边界条件与连续条件确定积分常数
1
主要内容
§12.1 引言 §12.2 梁变形基本方程 §12.3 计算梁位移的积分法 §12.4 计算梁位移的叠加法 §12.5 简单静不定梁 §12.6 梁的刚度条件与合理设计
2
§12.1 引言
工程中的弯曲变形问题 弯曲变形及其特点 挠度与转角
3
工程中的弯曲变形问题
4
工程中的弯曲变形问题
24
叠加法
方法
wA ?
分解载荷 分别计算位移
求位移之和
w A,F
Fl 3 3EI
()
w
A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
25
理论依据
EI
d2w dx 2
(
x12
b
2
l
2
)
dw1 0 dx1
f Fb(l 2b2 )3/2 9 3lEI
（）
21
例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI 为常数
FAy
qa 2
FBy
3qa 2
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程
AB段:
d2w
qa
1 x
dx 2
2EI 1
1
2. 边界条件与连续条件
CB段:
d2w 2
q
x2
dx 2
2EI 2
2
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处，w1 0 在 x1 a 处，w1 0
在 x1 x2 a 处，w1 w2
在
x1 x2 a 处，
d w1 dx1
dw2 dx2
22
例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F=qa
F=qa 23
§12.4 计算梁位移的叠加法
叠加法 逐段分析求和法 例题
不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础 11
挠度与转角
转角
－挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w w (x)－挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
( x) －转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
' tan' dw（小变形）
dx
dw （rad）
dx
12
§12.2 梁变形基本方程
在 x l 处，w 0 (2)
计算转角
D 0, C Mel 6 EI
dw Me (3x2 l2)
dx 6EIl
A
(0)
Mel（）
6EI
规定： 向上的挠 度为正； 逆时针的 转角1为8 正
挠曲轴的绘制
绘制依据 满足基本方程
w M ( x) EI
❖ 满足位移边界 条件与连续条件 绘制方法与步骤 画M图 ❖ 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的
14
挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
d2w M( x) －挠曲轴近似微分方程
dx 2
EI
应用条件：
s max s p ❖ 小变形 坐标轴 w 向上
d2w dx 2
M(x EI
)
坐标轴 w 向下时：
d2w dx 2
M(x) EI
15
§12.3 计算梁位移的积分法
17
积分法求梁位移
A =?
EI = 常数
FAy FBy Me /l
建立挠曲轴近似微分方程并积分
M (x) Me x l
d2w dx 2
Me EIl
x
dw Me x 2C (a) dx 2EIl w Me x3CxD (b)
6EIl
利用边界条件确定积分常数
在 x 0 处，w 0 (1) 由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处，w1 0
在 x2 l 处，w2 0
D1 D2 0
在 x1 x2 a 处，w1 w2
在 x1 x2 a 处，dw1/dx1dw2 /dx2
C1
C2
Fb 6EIl
(b2
l
2
)
3. 最大挠度分析 当 a > b 时 发生在AC段
w1
Fbx1 6lEI