2018高考数学全国卷坐标系与参数方程浅析

2018年高考数学理科“坐标系与参数方程”浅析“坐标系与参数方程”在全国卷中属于选考内容，它体现出了代数与几何的完美对应关系。如何来把握它在高考中的难易程度和侧重方向，则需要对历年的试题进行深入的分析。本文将参照近三年全国卷中“坐标系与参数方程”的考查，对2018年全国卷中此部分的试题进行探究分析.

一、“坐标系与参数方程”内容分析

1.教材分析

在北师大版高中教材中，“坐标系与参数方程”为选修4-4的内容，为高二下学期学习内容(一轮复习前).

坐标系是解析几何的基础，是联系几何与代数的桥梁，坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一.在不同的坐标系中，同一几何图形可以有不同的表示形式，这使解决问题的方法有了更多的选择.参数方程是曲线的又一种表示形式，它弥补了普通方程表示曲线的不足。

选修4-4部分是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用，同时也是这些内容的延续、拓展和进一步深化。其中，主要包括了极坐标系、柱坐标系、球坐标系，直线参数方程、圆的参数方程、椭圆(双曲线、抛物线)的参数方程的建立。学生需要了解曲线的多种表示形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程。

2.考纲分析

2018年《考试大纲》对此部分内容的要求：

(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；

(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程；

(4)了解参数方程，了解参数的意义；

(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

《考纲》中主要强调了对于极坐标、参数方程基本概念的理解，及曲线的极坐标方程和参数方程的建立。

3.学情分析

这部分内容在选修4-4，常常安排在高三一轮复习前进行学习，所以课程安排的节奏较快，学生没有时间对新的内容进行充分的练习，而且学生本身对于直角坐标系下点的坐标与曲线方程具有非常好的熟悉程度，所以学生常常会出现一些对于新知识内容的排斥心理，导致学习中出现极坐标概念不清、参数方程参数混乱的情况，不能很好地将曲线的几种方程形式进行融会贯通；三角函数性质及三角恒等变换内容掌握不够扎实，在极坐标有关计算和圆锥曲线参数方程的有关计算中遇到问题。

二、“坐标系与参数方程”试题分析

在高考试题中，“坐标系与参数方程”为二选一中的一个，中等难度，分数为10分。这里，首先对近三年高考全国卷中“坐标系与参数方程”部分的考查做一个梳理，见下表：

不难发现，在近三年的高考试题中，对“坐标系与参数方程”的考查更加

ρ,几何意义的理解和应用，越来越的灵活新颖，越来越注重学生对于极坐标中θ

注重学生对于直线参数方程中参数t的几何意义的理解和应用，越来越注重对圆锥曲线参数方程求取值范围的考查。高考考查的方向已不单单是经典类型的固化方法，而是越来越侧重于学生对于问题的理解和分析，以及如何选用适当的方法去解决问题。

下面来具体分析2018年全国卷中对于“极坐标与参数方程”的考查。（2018年全国卷1）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

试题分析：

(1)极坐标方程化为直角坐标方程；为常规考查方式。

(2)由于曲线C 1方程的特殊性，它可以看成两条射线的组合，考查学生对于直线方程的熟练程度(可以理解为分段函数图像的考查，也可以理解为图像的翻折变换得到曲线)；对于“曲线C 1与曲线C 2有且仅有三个公共点”的分析，则更侧重于学生对于曲线位置的认识，对于曲线C 1变化时两曲线公共点个数的分析及临界状态的选定，以及用解析几何(点到直线的距离等于半径)求切线方程的方法认知。

此题更注重解析几何基本方法的考查和曲线与方程关系的理解。

（2018年全国卷2）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,y =4sinθ

（θ 为参数），直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =2+tsinα

（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；

（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l 的斜率． 试题分析：

(1)参数方程化为普通方程；为常规考查方式。

(2)已知曲线C 截直线l 所得线段中点坐标，求直线斜率，回归到解析几何基本方法中去，容易想到“点差法”的应用特点，所以此题在两个曲线的普通方程的形式下，可以利用“点差法”求解。

当然，观察到所截线段中点坐标为(1,2)，此坐标恰好为直线参数方程中的定点坐标，即可以利用参数t 的几何意义进行求解。此定点为所截线段中点，则有两交点相对应的t 值必互为相反数，所以联立直线参数方程与椭圆的普通方程即可得到关于t 的一元二次方程，借助韦达定理即可求得此时相应的斜率。

此题考查到直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，考查方式灵活但比较简单。

（2018年全国卷3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为{x=cosθ, y=sinθ

（θ为参数），过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

试题分析：

(1)直线与圆位置关系的考查，建立直线方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系确定位置关系；也可联立求解，根据解的个数分析直线与圆位置关系。

(2)利用直线参数方程中参数t的几何意义使得求解变得比较简单。建立直线l的参数方程，将它与圆的标准方程联立可以得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理得到A,B点相应t的关系，进而确定AB中点相应的t，代入直线l的参数方程得到中点P的轨迹方程。

此题主要考察直线参数方程中参数t的几何意义的应用，利用t的意义得到直线上两动点的中点的轨迹方程。要求学生对于参数t的几何意义应用具有较高的熟练程度，同时明确认识参数方程中各参数之间的相对关系。

由上面的分析可以看出，在2018年的全国卷中，仍然延续了对于“坐标系与参数方程”部分的考查方向，侧重于学生对于问题的分析理解的考查、侧重于学生对于基本概念中各变量的几何意义熟练掌握的考查、侧重于学生对于数形结合解决几何问题能力的考查。

三、对此处教学的几点建议

1、注重知识背景的引出及概念的生成过程

无论是极坐标系的建立还是参数方程的出现，都有特定的历史背景与实际情境，从事物产生的背景出发，来一步步给出概念，符合学生的知识生成过程，使学生对于概念的学习变得更加自然。