第五章 回归模型的函数形式
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计量经济学第五讲---模型函数形式
Prob. 0.0000 0.0000 5.468946 0.086294 -9.94267 -9.84926 81786.04 0.000000
ˆ 5.317 0.0098t ln Y t
斜率0.0098表示，平均而言， se (0.000608 )(0.0000343 ) Y的年增长率为0.98％。
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
经济学的弹性：
以价格弹性为例： 价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分 比。 价格变动一个百分点，引起需求量变动超过一个百分点，则该物 品就富有价格需求弹性；需求变动量不到一个百分点，则缺乏价 格需求弹性；需求变动量等于一个百分点，则该物品拥有单位需 求价格弹性。
S.D. dependent var
Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
20.51101
2.260832 2.354245 23141.80 0.000000
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
2642.152 134.6207
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
5.回归模型的函数形式(fixed)
五、过原点回归
如果有很强的先验理论认为β 1 = 0，那么： 回归函数形式则为：Y = β 2 X 2 + β 3 X 3 + ...... + β k X k + u
回 系 的 LS估 量 ： 归 数 O 计 为 ˆ ˆ) =σ 2( X′ )−1 β = ( X′ )−1 X′Y X var −cov(β X X为 ×(k −1 阶 n ) R SS 2 ˆ σ = n-(k -1) β、ˆ为k −1)×1 β ( 阶
Y = Ce ⇒ C = Y0 )
2
∴Y = Y0e β 2 t
瞬 增 公 ： t =Y e 时 长 式 Y 0
β2t
t
复 增 公 ： t =Y (1+r) 合 长 式 Y 0 若t以年为单位，则r表示Y的年增长率。 而β 2表示的则是任何时点的增长率，称为瞬时增长率。
(
)
dX j Xj
≈
∆Y
Y
∆X j
Xj
( j = 2,3,......, k )
β j称 偏 性 数 度 了 其 解 变 为 弹 系 ， 量 在 它 释 量
不 的 件 ， 对 j的 性 变 条 下 Y X 弹 。
5
练 习
1、用描散点图的方法直观比较劳务支出 (Y1)、耐用品支出(Y2)和非耐用品支出 (Y3)分别对个人消费总支出（X）的弹性。 2、用回归的方法定量测度上述弹性系数。
ln Y2 = β1 + β 2 ln X + ui
ˆ β 2 = 1.9056
4
弹性估计约为1.91，表明：如果个人消费总支出增 加1%，那么耐用品支出平均来说将提高1.91%。
多元对数线性回归模型
回归模型的其他函数形式
四、回归模型的其他函数形式（一）对数线性模型iu i i eX Y 2 1 b b = 对数线性模型的优点在于：斜率系数 2 b 度量了 Y 对 X 的弹性，也就是当解释变量X 变 化 1%时，Y 变化的百分比。
由于在线性回归模型中， 2 b 是一个常数，因此，对数线性模型假定 Y 与 X 之间的弹 性系数 2 b 在整个研究范围内保持不变，所以称为不变弹性模型。
（二）半对数模型１．线性到对数模型tt u t LnY + + = 2 1 b b 式中，Y t ＝要研究的经济现象，t ＝时间变量。
t 时间变量的使用，主要是研究被解释变量在时间上的变动规律。
式中，被解释变量为对数形式，解释变量为线性形式，称为线性到对数的半对数模型。
通用形式为tt t u X LnY + + = 2 1 b b 式中，斜率系数 2 b 的含义为：解释变量X 绝对量改变一个单位时，被解释变量 Y 的相对改 变量。
即XYY X Y D D ==/ 2 的绝对改变量 的相对改变量 b ２．对数到线性模型tt t u LnX Y + + = 2 1 b b 我们称上式为对数到线性模型。
模型中斜率系数 2 b 的含义为解释变量X 相对量改变 1 个单 位时，被解释变量 Y 的绝对变化量。
XX Δ YΔ X Y / 2 ==的相对变化量 的绝对变化量 bXX Y / 2 D × = D b （5.66）当 X X / D ＝0.01＝1%时， 2 01 . 0 b = D Y ，即当解释变量 X 增加 1%时，被解释变量 Y 增加 的绝对量为 0.01 2 b 。
（三）倒数模型当解释变量以倒数形式出现时的模型称为倒数模型或双曲线模型。
t tt u X Y + + = 121 b b 式中，Y 对 X 是非线性，但对参数 1 b ，2 b 而言是线性，Y 对 X1也是线性的。
此模型的特点 为当 X 值趋向于无穷大时， 2b X1趋向于 0，Y 趋向于 1 b 。
05_回归方程的函数形式
设：
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
第5章 回归模型的函数形式
第5章 回归模型的函数形式本章主要讲授以下内容：5.1 双对数（线性）模型（不变弹性模型）5.2 半对数模型 5.3 倒数模型 5.4 多项式模型 5.5 过原点模型 5.6 标准化变量的回归5.1 双对数（线性）模型（不变弹性模型）1．基本形式 形式如下：i i i X B B Y μ++=ln ln 212．比较线性回归模型和双对数回归模型 3．多元对数线性回归模型i i i i X B X B B Y μ+++=33221ln ln ln5.2 半对数模型1．对数—线性模型i i i X B B Y μ++=21ln2．线性—对数模型i i i X B B Y μ++=ln 215.3 倒数模型i i i X B B Y μ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=1215.4 多项式模型i i i i i X B X B X B B Y μ++++=3423215.5 过原点模型1．模型的一般形式i i i X B Y μ+=22．模型的几个估计量∑∑=22iii XY X b∑=222)var(iXb σ1ˆ22-=∑n eiσ3．注意几点（1）在模型中，R 2没有意义【因为模型通过原点但不一定通过点（Y X ,），这时以均值Y 为基准的残差平方和的计算失去实际意义，因而R 2也没有实际意义】；（2）Σe 2不总是为零（这与没有常数项有关）。
5.6 标准化变量的回归1. 标准化变量我们重新定义X 和Y 变量如下：Y i S Y Y Y -=*Xi S X X X -=*这里，Y = Y 的样本均值；Y S = Y 的样本标准差；X = X 的样本均值；X S = X 的样本标准差。
变量*i Y 和*i X ，被称为标准化变量。
2. 标准化变量的回归我们可以利用标准化变量进行回归，即：***2***2*1*iiii i uXB u X B B Y +=++=被标准化的B 系数(B *) 就是一般文献中所说的贝塔（β）系数。
计量经济学课件 第5章 回归模型的函数形式
• 2.选择模型的基本准则：
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
第五章：回归模型的函数形式与变量类型
X
邹氏参数稳定性检验步骤：
首先，分别以两个连续的时间序列作为两个样本运用总 模型式进行回归，得到相应的残差平方和RSS1和RSS2；
然后，将两个序列并为一个大样本后运用总模型式进行 回归，得到大样本下的残差平方和RSSR；
最后，通过F统计量，在事先给定的显著性水平下进行假 设检验。
如果F大于相应的临界值，则拒绝原假设，认为发生了结 构变化，参数是非稳定的。
以农民工是否愿意转移就业为例，构建如下回归
方程：
Yi Xi ei
其中，Yi 是一个二分类变量， Xi 表示第 i 个农民 工年收入。如果第ｉ个农民工转移，则 Yi ＝１，否则 Yi ＝０。
E(Yi | Xi ) Xi P(Yi 1| X i )
因变量为二分类变量的线性回归模型也被称为线性概率模型，LPM
五、被解释变量类型
Y 0 1X1 2 X 2
就业收入
以研究劳动力市场就业 为例
就业时间 就业意愿
就业种类
六、线性概率模型初步
当因变量是一个分类变量而不是一个连续变量 时，线性回归就不适用。
实际上，许多社会科学的观察都只是分类的而 不是连续的。如政治学中否选举某候选人、经济学 中是否签订一个合同、社会学中犯罪、逃学、迁移、 结婚、离婚、生育、患病等都可以按照分类变量来 测量。
（6）做 LnY 对 X 或 LogX 和 Z2i 的回归 如果 Z2i 的系数是统计显著的，则拒绝 H1
2. 半对数模型：如何测度增长率
增长率模型
ln Yt 0 1t t
dY
1
d
ln Y dt
Y dt
增长率
3. 线性-对数模型
增长模型
Yt 0 1 ln X t t
回归方程的函数形式
P
P0
D2
A
dQ P Ed dP Q
D1
Q0
Q
对于对数线性回归模型， ln Y 3.9617 0.2272ln X
其回归系数-0.2272的经济意义是价格每上升1%， 平均而言，需求量会下降0.22%。
对于线性回归模型，
Y 49.667 2.1576 X
其回归系数-2.1576的经济意义是价格每增加1元 钱，平均而言，需求量会减少大约2个单位。
形如Yi B1 B2 X i B3 X i2 B4 X i3 ui的回归模型称为 多项式回归模型,
它只有一个解释变量,不过解释变量以 不同次幂的形式出现在回归模型中
由于参数B1 , B2 , B3 , B4是以一次方的形式出现在回归方程中 因而这是一个线性回归模型
问题？由于解释变量X的不同次幂同时出现在回归模型 中，是否会导致（多重）共线性呢？
Y
LNY
X
LNX
思考：是否可以根据判定系数决定模型形式 的选择？
注意：只有当两个模型的应变量相同时，才 可能根据判定系数的高低评价两个模型的拟合优 度。在线性回归模型中，应变量是绝对形式，在 对数线性回归模型中，应变量是对数形式。
判定系数并不是评价模型优劣的唯一标准， 像回归系数的符号是否与理论预期相一致，是 否在统计上显著等也是评价模型好坏的重要标 准。
X Y B2 ( ) X
5.6
倒数模型
1 形如Yi B1 B2 ( ) ui的模型称为倒数模型 Xi
它的特点是随着X取值的无限增大,应变量Y将趋向于 其渐进值B1
Y
B1 B2
0 0
B1
0
X
Y
B1
第五章：非线性的回归模型
Y 0 1 X 2 X 2 u
一、多项式回归
r = 3时：三次项回归 （cubic model）
Y 0 1 X 2 X 2 3 X 3 u
一、多项式回归
形式：
Y 0 1 X 2 X 2 ...r X r u
1、阶数怎么确定？
三、幂函数曲线
幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：
b ˆ y ax
y
a＞0 b＞1
y
a＞0，b＜0
a＞0 0＜ b＜1
x
x
图11.3 方程
b ˆ ax 的图象 y
四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程 一般有以下3种形式：
x ˆ y a bx
X
模型2：截距相同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型3：
Ln(Y ) 0 1 X 2 D 3 ( X * D) u
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型3：截距不同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
y
a bx ˆ y x
1 b
1 ˆ y a bx
y
a＞0，b＜0
a＞0，b＞0
x
ˆ 图11.4 方程 y
x 的图象 a bx
a b
x
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故 又称生长曲线。
y
ln a b
Logistic曲线方程为：
一、多项式回归
r = 3时：三次项回归 （cubic model）
Y 0 1 X 2 X 2 3 X 3 u
一、多项式回归
形式：
Y 0 1 X 2 X 2 ...r X r u
1、阶数怎么确定？
三、幂函数曲线
幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：
b ˆ y ax
y
a＞0 b＞1
y
a＞0，b＜0
a＞0 0＜ b＜1
x
x
图11.3 方程
b ˆ ax 的图象 y
四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程 一般有以下3种形式：
x ˆ y a bx
X
模型2：截距相同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型3：
Ln(Y ) 0 1 X 2 D 3 ( X * D) u
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型3：截距不同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
y
a bx ˆ y x
1 b
1 ˆ y a bx
y
a＞0，b＜0
a＞0，b＞0
x
ˆ 图11.4 方程 y
x 的图象 a bx
a b
x
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故 又称生长曲线。
y
ln a b
Logistic曲线方程为：
线性回归模型的扩展
t= (-23.494) (27.549) R2 =0.9832
第四节：双曲函数模型
双曲函数模型： Y=b0+b1(1/X)+u 参数线性 变量非线性（X以倒数形式进入模型） 特征：X无限增大时，1/X趋近于0，Y逐渐
接近b0渐近值。
双曲函数模型
平均固定成本 恩格尔消费曲线 菲利普斯曲线
例：美国菲利普斯曲线
数据：美国1958~1969年间小时收入指数 （Y）和城市失业率（X）
在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系 数度量了在其他变量保持不变的条件下， 因变量对某一个解释变量的偏弹性。
例：柯布—道格拉斯生产函数
lnY= b0 +b1lnX1+ b2lnX2+u 令X1表示劳动投入，X2表示资本投入 柯布—道格拉斯生产函数（C-D函数） Y：1955~1974年间墨西哥产出（GDP，百
双对数线性模型
双对数模型特性：斜率b1度量了Y对X的弹 性，即给X一个很小的变动所引起Y变动的 百分比。
弹性=Y变动百分比/X变动百分比 双对数模型又称为不变弹性模型
例：对《widget》教科书的需求
二、双对数模型的假设检验
在随机误差项u满足假定的情形下，线性模 型与双对数模型的假设检验方法相同。
的绝对变化所引起的被解释变量的相对变 动
线性趋势模型
Yt= b0 + b1t+u 将因变量对时间t回归，其中t 按时间先后顺
序计算，这类模型称为线性趋势模型。
时间t称为趋势变量 若斜率为正，则称Y有向上的趋势； 若斜率为负，则称Y有向下的趋势
例：美国为偿付消费者信贷
Yt= 98084 + 35289t se=(23095) (2540.1) t=(4.247) (13.893) R2 =0.9369 因变量不同，不能比较R2
第四节：双曲函数模型
双曲函数模型： Y=b0+b1(1/X)+u 参数线性 变量非线性（X以倒数形式进入模型） 特征：X无限增大时，1/X趋近于0，Y逐渐
接近b0渐近值。
双曲函数模型
平均固定成本 恩格尔消费曲线 菲利普斯曲线
例：美国菲利普斯曲线
数据：美国1958~1969年间小时收入指数 （Y）和城市失业率（X）
在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系 数度量了在其他变量保持不变的条件下， 因变量对某一个解释变量的偏弹性。
例：柯布—道格拉斯生产函数
lnY= b0 +b1lnX1+ b2lnX2+u 令X1表示劳动投入，X2表示资本投入 柯布—道格拉斯生产函数（C-D函数） Y：1955~1974年间墨西哥产出（GDP，百
双对数线性模型
双对数模型特性：斜率b1度量了Y对X的弹 性，即给X一个很小的变动所引起Y变动的 百分比。
弹性=Y变动百分比/X变动百分比 双对数模型又称为不变弹性模型
例：对《widget》教科书的需求
二、双对数模型的假设检验
在随机误差项u满足假定的情形下，线性模 型与双对数模型的假设检验方法相同。
的绝对变化所引起的被解释变量的相对变 动
线性趋势模型
Yt= b0 + b1t+u 将因变量对时间t回归，其中t 按时间先后顺
序计算，这类模型称为线性趋势模型。
时间t称为趋势变量 若斜率为正，则称Y有向上的趋势； 若斜率为负，则称Y有向下的趋势
例：美国为偿付消费者信贷
Yt= 98084 + 35289t se=(23095) (2540.1) t=(4.247) (13.893) R2 =0.9369 因变量不同，不能比较R2
回归模型的函数形式
图5-2数学S.A.T分数的双对数模型散点图
9-12
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归过程
9-13
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归结果
ˆ InYi 4.887712773 0.1258045149InX i se (0.1573)(0.0148) t (31.0740)(8.5095) p (0.0000)(0.0000)
第5章 回归模型的函数形式
Essentials of Econometrics
第5章回归模型的函数形式
本章讨论以下几种形式的回归模型
(1) 双对数线性模型或不变弹性模型 (2) 半对数模型 (3) 倒数模型 (4) 多项式回归模型 (5) 过原点的回归模型，或零截距模型
9-2
5.1 如何度量弹性：双对数模型
ˆ ˆ ˆ B B B 1 2 ˆ Y e L K 3
9-28
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 excel原始数据表
9-29
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 取对数后Eviews数据表
9-30
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 C-D函数Eviews回归过程
9-31
5.3 多元对数线性回归模型
令变量 Yi ln Yi , X ki ln X ki
* *
， B1 LnA 则回归函数可变为：
* Yi* B1 B2 X * B X ui 3 2i 3i
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
ˆ* B ˆ B ˆ X* B ˆ X ˆ* Y 1 2 3 i 2i 3i
第5章 回归方程的函数形式-资料
double log m odel. In the log - linear model, the partial
coefficients are the elasticity of Y over Xs.
For example, in the model above,
1
d ln Y d ln X 1
1967 73.5 75.7 105.4 1979 106.9 118.3 144.5
1968 78.3 79.9 104.3 1980 101.2 119.6
179
1969 83.3 83.8 101.7 1981 98.1 121.1 189.4
1970 88.9 86.2 97.7 1982 95.6 120.6 190.9
第5章 回归方程的函数形式
The function forms of regression model
Contents
• Log-linear model: measure elasticity (double log model)
• Semi-log model
– Log dependent variable: measure growth (log-lin model)
Y
AX11
X 2 2
eu
Then How to estimate the model in OLS?
You see, in the model, dependent variable Y is not
linear with the parameters 1 and 2.
Log-linear model: Measure elasticity
第五章回归模型的函数形式
第五章回归模型的函数形式1.引言回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，我们需要确定一个合适的函数形式来描述变量之间的关系，这个函数形式即为回归模型的函数形式。
本章将介绍回归模型的函数形式的基本概念和常用的函数形式。
2.线性回归模型线性回归模型是最简单的回归模型之一，其函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，Xi是自变量，βi是参数，ε是误差项。
线性回归模型假设自变量与因变量之间的关系是线性的，并且误差项服从正态分布。
3.多项式回归模型多项式回归模型是线性回归模型的一种扩展形式，其函数形式为：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε多项式回归模型允许自变量的幂次大于1，通过引入幂项和交互项，可以更好地拟合非线性关系。
4.对数回归模型对数回归模型是一种特殊的回归模型，其函数形式为：ln(Y) = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε对数回归模型适用于因变量为正数且取值范围较广的情况，通过取对数可以将因变量的范围缩小，使得模型更易拟合。
5.非线性回归模型除了线性回归模型和多项式回归模型外，还存在许多其他形式的非线性回归模型。
非线性回归模型的函数形式通常不容易直接确定，需要通过试验和拟合来确定参数。
常见的非线性回归模型包括指数模型、幂函数模型、对数模型等。
在实际应用中，选择适当的函数形式是回归分析的一个重要问题。
选择不合适的函数形式可能导致模型的预测效果较差。
为了选择适当的函数形式，可以通过观察变量之间的散点图、拟合曲线图、残差图等进行初步判断，然后利用统计方法进行模型的比较和选择。
7.总结回归模型的函数形式是回归分析的基础，选择合适的函数形式对于模型的拟合和预测效果至关重要。
线性回归模型、多项式回归模型、对数回归模型和非线性回归模型是常用的函数形式。
选择适当的函数形式需要综合考虑变量之间的实际关系和统计分析的要求，可以通过观察图形和利用统计方法进行模型的比较和选择。
经济计量学第五讲回归方程的函数形式
计量经济学
Econometrics
王维国
东北财经大学
第五讲 回归方程的函数形式
第一节 双对数模型 第二节 线性模型与对数模型的比较 第三节 多元对数线性回归模型 第四节 半对数模型 第五节 双曲函数模型 第六节 多项式回归模型
第一节 双对数模型（1）
回忆前面学过的widget教科书需求量模型，当时 我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似 的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需 求量和价格之间的关系。
1 Xi
ui
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以 用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消 费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
第六节 多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Y i B 1 B 2 X i B 3 X i 2 B 4 X i 3 u i
第二节 线性模型与对数模型的比较（2）
对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
dYX X
E dXY
B2
Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计 算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
EdYX dXY
B2
X Y
第三节 多元对数线性回归模型（1）
柯布—道格拉斯生产函数
YALK
其中，L表示劳动力投入量，K表示资本投入量，Y表 示产出量。
一、对数模型的参数估计与假设检验（2）
Widget教科书对数回归模型的估计结果：
二、弹性的定义
对于一个一般的函数Y=f (X)，根据弹性的定 义，Y对X的弹性可以表示为：
EY/YYXdY X X/X XY dX Y
三、 B2的含义
Econometrics
王维国
东北财经大学
第五讲 回归方程的函数形式
第一节 双对数模型 第二节 线性模型与对数模型的比较 第三节 多元对数线性回归模型 第四节 半对数模型 第五节 双曲函数模型 第六节 多项式回归模型
第一节 双对数模型（1）
回忆前面学过的widget教科书需求量模型，当时 我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似 的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需 求量和价格之间的关系。
1 Xi
ui
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以 用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消 费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
第六节 多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Y i B 1 B 2 X i B 3 X i 2 B 4 X i 3 u i
第二节 线性模型与对数模型的比较（2）
对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
dYX X
E dXY
B2
Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计 算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
EdYX dXY
B2
X Y
第三节 多元对数线性回归模型（1）
柯布—道格拉斯生产函数
YALK
其中，L表示劳动力投入量，K表示资本投入量，Y表 示产出量。
一、对数模型的参数估计与假设检验（2）
Widget教科书对数回归模型的估计结果：
二、弹性的定义
对于一个一般的函数Y=f (X)，根据弹性的定 义，Y对X的弹性可以表示为：
EY/YYXdY X X/X XY dX Y
三、 B2的含义
回归模型的函数形式
如果用符号 Y 代表Y的一个微小变动，X 代表X的一个微 小变动，则弹性E定义为：
E Y 变动的百分数 Y / Y •100 Y • X slop( X )
X变动的百分数 X / X •100 X Y
Y
从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而 双对数模型的图形是一条曲线，并且对于不同的X值来说， 都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模 型。
倒数模型的一个显著特征是，随着X 的无限增大，(1/ Xi ) 趋于零，Y 接近渐进值或极限值 B1 。因此，当变量 X 无限增大 时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。
下图描绘了倒数模型的一些曲线形状： 倒数模型：Yi B1 B2 (1/ X i )
上图ａ）中，若Ｙ表示生产的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表产出，则 根据经济理论，随着产出的不断增加，平均固定成本将逐渐降低，最 终接近产出轴。
４.线性－对数模型：解释变量是对数形式
考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系 （1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：
1993.1～1998.3个人总消费支出与各类支出的季度数据（10亿美元）
以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性－ 对数模型如下：
Variable Coefficient
C
0.420412
DASSET 0.054930
Std. Error t-Statistic 0.012858 32.69715 0.022099 2.485610
Prob. 0.0000 0.0322
R-squared
0.381886
Adjusted R-squared 0.320075
第5章 回归模型的函数形
第五章 回归模型的函数形式
本章主要内容
1. 对数模型（5.1节一元、5.3节多元） 2. 半对数模型（5.4节对数-线性模型、 5.5节线性-对数模型） 3. 倒数模型（5.6节） 4. 多项式回归模型（5.7节） 5. 零截距模型（5.8节）
第五章 回归模型的函数形式
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数据：国民总收入与居民储蓄存款 单位：亿元
年 份
1978
国民生产 总值 (GNP)
3624.1
城乡居民 人民币储 蓄存款年 底余额(Y)
210.6
城乡居民人 民币储蓄存 款增加额 (DY)
NA 70.4 118.5 133.2 142.7 217.1 322.2 407.9 615 835.7 728.2 1345.4 1972.9
折线回归
Yi B1 B2 X i B3 ( X i X * ) Di ui
附：案例分析——折线回归
为了考察改革开放以来中国居民的储蓄存 款与收入的关系是否已发生变化。 以城乡居民人民币储蓄存款年底余额代表 居民储蓄Y，以国民生产总值GNP代表城乡居
民收入，分析居民收入对储蓄存款影响的数量
从上图中，尚无法得到居民的储蓄行为发生 明显改变的详尽信息。
创建新变量——居民储蓄的增量DY，并画出 其趋势图。
数据：国民总收入与居民储蓄存款 单位：亿元
年 份
1978
国民生产 总值 (GNP)
3624.1
城乡居民 人民币储 蓄存款年 底余额(Y)
210.6
城乡居民人 民币储蓄存 款增加额 (DY)
F 652.70(0.00)
DYt 821.79 0.14GNPt et DYt 19233.36 0.16GNPt et DYt 31953.96 0.42GNPt et
第5章 回归方程函数形式
Example : the original data
year Y
L
K
year Y
L
K
1955 114043 9310 182113 1965 212323 11746 315715
1956 120410 8529 193749 1966 226977 11521 337642
1957 134705 8738 205192 1967 241194 11540 363599
第5章 回归方程的函数形式
The function forms of regression model
Contents
• Log-linear model: measure elasticity (double log model)
• Semi-log model
– Log dependent variable: measure growth (log-lin model)
year demand gdp
price year demand gdp
price
1960 54.1 54.1 111.9 1972 97.2 94.3 95.6
1961 55.4 56.4 112.4 1973
100
100
100
1962 58.5 59.4 111.1 1974 97.3 101.4 120.1
1958 129187 8952 215130 1968 260881 12066 391847
1959 139960 9171 225021 1969 277498 12297 422382
1960 150511 9569 237026 1970 296530 12955 455049
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新古典生产函数的生产阶段
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。 模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等 2、不应过分强调，或者仅仅根据一个统计量（如R2）来 甄选模型。 要比较两个模型中的R2或R2 ，应变量必须是相同的。 3、由于理论本身不是完美的，因而也就没有完美的模 型，只是期望选择的模型能够合理平衡各项标准。 GYH 32
GYH p 0.000 0.05 所以拒绝H0 13
总体显著性检验： H0 : = =0; H1 : 和 至少一个不为0
t 1.6524 0.3397LnL 0.8460LnK LnY t t
R2=0.995
F=1719.23
P值=（0.000）
回归结果经济意义解释： 1、在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加1%， 产出平均增长约0.34%。在劳动投入保持不变的情况下， 资本投入每增加1%，产出平均增长约0.85%。
3、P113例5-6
菲利普斯曲线（倒数模型）
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 26 Y / X）不会是常数。 不一样，即Y对X 的斜率（GYH
Y / X 0.79
R 0.6594
2
模型选择： Y / X 20.588*(1/ X 2 ) 1、依据经济理论 以及经验判断； R 2 0.5153 2、辅助于对拟合 优度的比较或是残 差的比较。
2、P107例5-4
人口增长率（半对数模型）
已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。
LnY LnY Ln 1 r * t u t 0 t Yt Y0 1 r 线性趋势模型 LnYt B1 B2 * t ut 平稳性质疑？
t
Y / Y 瞬时增长率：B 2 T 复合增长率：r anti log(B2 ) 1
c
Log ( L)
GYGYH
12
t 1.6524 0.3397LnL 0.8460LnK LnY t t
Se= （0.6062） （0.1857） （0.09343）
t= （-2.73）
P值=（0.014） R2=0.995 经济意义检验
（1.83）
5.5 线性对数模型：解释变量是对数形
式
• 应变量是线性形式而解释变量是对数 形式的模型，称为线性-对数模型(linlog model)。 • 线性对数模型常用於研究解释变量每 变动1%，相应应变量的绝对变化量的 情形。形如(5-24)的模型可以有不止一 个的对数形式的解释变量。每一个偏 斜率系数度量了在其他变量保持不变 的条件下，某一给定变量X每变动1% 所引起的应变量的绝对改变量。
五、对度量单位的关注及标准化变量的回归
1、过原点的回归（regression through the origin）
只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比如奥肯 定律或其他经济和金融理论。 2、注意模型中变量的度量比例和单位
3、标准化变量的回归
原因
怎么做？
如何解释？
GYH
33
2、注意模型中变量的度量比例和单位
菲利普斯曲线Philips curve
• 工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变 化一个单位，则在失业率低於自然失业率UN水平时的工 资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。 • B1表明了渐进线的位置。菲利普斯曲线这条特殊的性质 可能是由於制度的因素，比如工会交易势力、最少工资 、失业保险等
绝对量与相对量
• 产品市场规模，通常可以视为线性变化 ，应该使用5-22式——每过一年，增长 的绝对量相同 • 近十年左右的中国人口，年人口净增长 率递减，人口数的增加量各年近似，可 使用5-22
• /f/26/f26dab9bf6a137c3/Blog/dfc/165f00.html
The lin-log model: when the explanatory variable is logarithmic
2、P107例5-4
人口增长率（半对数模型）
已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。
GYH
20
5.5 线性对数模型
• 5-24中，x是幾何级数，y是算術级数。消 费水平等速提高，消费品等量提高 • 消费水平与消费品之间的差距会越来越大 。消费水平可以被新的消费项目所部分消 化，剩餘部分即为金融资产 • 基本原则：根据变量自身的规律选择变形 规则。原本是幾何级数的，就可以取对数 ，原本是算術级数的，仍用原形
需求函数模型
• • • • • • • 需求函数经常使用双对数模型 1992-2008城市奶制品需求函数为 lnY=6.006+0.6062lnX se 0.144 0.039 t 41.66 15.56 p 4.4*10^(-16) 3.1*10^(-10) R2=0.9453 F=242.01 p=3.14*10^(10) • 支出的弹性是0.6062，收入每提高1个百 分点，奶制品支出会提高0.6个百分点， 缺乏弹性
（0.085）
（9.06）
（0.000）
F=1719.23
P值=（0.000）
变量的显著性检验： H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 1.83所以拒绝H0
H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 9.06所以拒绝H0
第五章 回归模型的函数形式
GYH
1
回归模型的函数形式
一、经济学中常用概念回顾（斜率、弹性、增长率）
二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读 三、示例说明
四、模型（形式）选择的依据
五、对度量单位的关注及标准化变量的回归
GYH 2
一、经济学中常用概念回顾
1、Y对X的斜率
Y / X
2、弹性
X每变动1单位，引起Y变动的绝对额
Ln (Uspop) 5.3593 0.0107t
GYH 即1975-2007年美国人口增长率为 1.07% 22
5.6 倒数模型reciprocal model
• 这个模型的一个显著特徵是，随着 X的无限增大， (1/Xi)将接近於零， Y将逐渐接近B1渐进值(asymptotic value)或极值。因此，当变量X无限 增大时，形如式(5-28)的回归模型 将逐渐靠近其渐进线或极值。
Y / Y X / X
X每变动1%，引起Y变动的百分数
3、增长率
Y / Y X
X每变动1单位，引起 Y变动的百分数 3 GYH
二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读
GYH
4
三、示例说明 1、P106例5-2
2、P107例5-4 3、P113例5-6
柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）
• 通常经济学家、工商业家和政府对某一经济变量的增 长率很感兴趣。比如，政府预算赤字规划就是根据预 计的GNP增长率这一最重要的经济活动指标而確定的 。类似地，联储根据未偿付消费者信贷的增长率(自动 贷款、分期偿还贷款等等)这一指标来监视其货币政策 的运行效果。
5.4.1瞬时增长率与複合增长率
• 式(5-16)：b2=B2的估计值=ln(1+r) • antilog(b2)=(1+r) • r=antilog(b2)-1 • 由於r是複合增长率，因此一旦计算出b2值 ，就很容易根据式(5-20)估计出Y的複利增 长率。 • 实际中，通常列出的是瞬时增长率 (instantaneous growth rate)，虽然複合增 长率(compound growth rate)很容易计算
GYH
34
GYH
35
3、标准化变量的回归 原因：为了消除量纲的影响。
怎么做： 先将所有变量标准化，再对标准化后的变量进行回归。
GYH
27
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
GYH 图5-8 成本— 产出关系
28
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
Yi B1 B2 X i B3 X i B4 X i ui
2 3
依据价格理论，如果边际成本和平均成本曲线 为U型，则模型中的系数有如下先验值：
1、P106例5-2
柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）
Y AK L
LnY LnA LnK LnL U
偏弹性系数 、
模型设定
先验假定
、 0
+ =1； 1； 1
规模报酬不变、递增、递减
样本数据：墨西哥1955~1974年实际GDP、总就业 人数、固定资本存量（n=20） 估计方程： Log (Y )
2、两个偏弹性系数之和为1.1857，表明1955~1974年间 墨西哥经济是规模报酬递增的。 3、（对数）劳动力和资本解释了大约99.5%的（对数） 产出的变动。 GYH 14
5.4 如何测度增长率：半对数模型
How to measure the growth rate: the semilog model
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2 B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择 和检验有非常关键和重要的意义。 GYH
29
5.7 多项式polynomial回归模型
• 这类回归模型在生产与成本函数领域中广泛 使用。图5-8描绘了总成本函数(是产出的函 数)曲线和边际成本(MC)及平均成本(AC)曲