第五章 回归模型的函数形式

The lin-log model: when the explanatory variable is logarithmic
2、P107例5-4
人口增长率（半对数模型）
已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。
GYH
20
5.5 线性对数模型
• 5-24中，x是幾何级数，y是算術级数。消 费水平等速提高，消费品等量提高 • 消费水平与消费品之间的差距会越来越大 。消费水平可以被新的消费项目所部分消 化，剩餘部分即为金融资产 • 基本原则：根据变量自身的规律选择变形 规则。原本是幾何级数的，就可以取对数 ，原本是算術级数的，仍用原形
2、两个偏弹性系数之和为1.1857，表明1955~1974年间 墨西哥经济是规模报酬递增的。 3、（对数）劳动力和资本解释了大约99.5%的（对数） 产出的变动。 GYH 14
5.4 如何测度增长率：半对数模型
How to measure the growth rate: the semilog model
• 通常经济学家、工商业家和政府对某一经济变量的增 长率很感兴趣。比如，政府预算赤字规划就是根据预 计的GNP增长率这一最重要的经济活动指标而確定的 。类似地，联储根据未偿付消费者信贷的增长率(自动 贷款、分期偿还贷款等等)这一指标来监视其货币政策 的运行效果。
5.4.1瞬时增长率与複合增长率
• 式(5-16)：b2=B2的估计值=ln(1+r) • antilog(b2)=(1+r) • r=antilog(b2)-1 • 由於r是複合增长率，因此一旦计算出b2值 ，就很容易根据式(5-20)估计出Y的複利增 长率。 • 实际中，通常列出的是瞬时增长率 (instantaneous growth rate)，虽然複合增 长率(compound growth rate)很容易计算
c
Log ( L)
GYH
Log ( K )
回归估计 11
GYH
12
t 1.6524 0.3397LnL 0.8460LnK LnY t t
Se= （0.6062） （0.1857） （0.09343）
t= （-2.73）
P值=（0.014） R2=0.995 经济意义检验
（1.83）
需求函数模型
• • • • • • • 需求函数经常使用双对数模型 1992-2008城市奶制品需求函数为 lnY=6.006+0.6062lnX se 0.144 0.039 t 41.66 15.56 p 4.4*10^(-16) 3.1*10^(-10) R2=0.9453 F=242.01 p=3.14*10^(10) • 支出的弹性是0.6062，收入每提高1个百 分点，奶制品支出会提高0.6个百分点， 缺乏弹性
3、P113例5-6
菲利普斯曲线（倒数模型）
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 26 Y / X）不会是常数。 不一样，即Y对X 的斜率（GYH
Y / X 0.79
R 0.6594
2
模型选择： Y / X 20.588*(1/ X 2 ) 1、依据经济理论 以及经验判断； R 2 0.5153 2、辅助于对拟合 优度的比较或是残 差的比较。
1、P106例5-2
柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）

Y AK L

LnY LnA LnK LnL U
偏弹性系数 、
模型设定
先验假定
、 0
+ =1； 1； 1
规模报酬不变、递增、递减
样本数据：墨西哥1955~1974年实际GDP、总就业 人数、固定资本存量（n=20） 估计方程： Log (Y )
GYH
27
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
GYH 图5-8 成本— 产出关系
28
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
Yi B1 B2 X i B3 X i B4 X i ui
2 3
依据价格理论，如果边际成本和平均成本曲线 为U型，则模型中的系数有如下先验值：
第五章 回归模型的函数形式
GYH
1
回归模型的函数形式
一、经济学中常用概念回顾（斜率、弹性、增长率）
二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读 三、示例说明
四、模型（形式）选择的依据
五、对度量单位的关注及标准化变量的回归
GYH 2
一、经济学中常用概念回顾
1、Y对X的斜率
Y / X
2、弹性
X每变动1单位，引起Y变动的绝对额
GYH
34
GYH
35
3、标准化变量的回归 原因：为了消除量纲的影响。
怎么做： 先将所有变量标准化，再对标准化后的变量进行回归。
菲利普斯曲线Philips curve
• 工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变 化一个单位，则在失业率低於自然失业率UN水平时的工 资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。 • B1表明了渐进线的位置。菲利普斯曲线这条特殊的性质 可能是由於制度的因素，比如工会交易势力、最少工资 、失业保险等
Ln (Uspop) 5.3593 0.0107t
GYH 即1975-2007年美国人口增长率为 1.07% 22
5.6 倒数模型reciprocal model
• 这个模型的一个显著特徵是，随着 X的无限增大， (1/Xi)将接近於零， Y将逐渐接近B1渐进值(asymptotic value)或极值。因此，当变量X无限 增大时，形如式(5-28)的回归模型 将逐渐靠近其渐进线或极值。
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2 B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择 和检验有非常关键和重要的意义。 GYH
29
5.7 多项式polynomial回归模型
• 这类回归模型在生产与成本函数领域中广泛 使用。图5-8描绘了总成本函数(是产出的函 数)曲线和边际成本(MC)及平均成本(AC)曲
人口增长率（半对数模型） 菲利普斯曲线（倒数模型）
4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）
GYH
பைடு நூலகம்
5
模型设定
先验假定
回归估计
经济意义检验 变量的显著性检验
方程总体的显著性检验 经济意义解释
GYH 6
• 双对数模型(对数线性模型) 有一个很吸引人 的特性：斜率B2度量了Y对X的弹性，即给X一 个(很小)的变动所引起Y变动的百分比。 • 由於回归线是一条直线(Y和X都是对数形式) ，所以它的斜率(-B2)为一常数。又由於斜率 等於弹性，所以弹性为一常数——它与X的 取值无关。
新古典生产函数的生产阶段
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。 模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等 2、不应过分强调，或者仅仅根据一个统计量（如R2）来 甄选模型。 要比较两个模型中的R2或R2 ，应变量必须是相同的。 3、由于理论本身不是完美的，因而也就没有完美的模 型，只是期望选择的模型能够合理平衡各项标准。 GYH 32
GYH p 0.000 0.05 所以拒绝H0 13
总体显著性检验： H0 : = =0; H1 : 和 至少一个不为0
t 1.6524 0.3397LnL 0.8460LnK LnY t t
R2=0.995
F=1719.23
P值=（0.000）
回归结果经济意义解释： 1、在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加1%， 产出平均增长约0.34%。在劳动投入保持不变的情况下， 资本投入每增加1%，产出平均增长约0.85%。
（0.085）
（9.06）
（0.000）
F=1719.23
P值=（0.000）
变量的显著性检验： H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 1.83所以拒绝H0
H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 9.06所以拒绝H0
双对数线性模型的假设检验
• 就假设检验而言，线性模型与对数线性 模型并没有什么不同。在随机误差项服 从正态分佈(均值为0，方差为σ2)的假定 下，每一个估计的回归系数均服从正态 分佈。或者，如果用σ2的无偏估计量代替 它，则每一个估计的回归系数服从自由 度为(n－k)的t分佈，其中k为包括截距在 内的参数的个数。在双变量模型中， k为 2，在三变量模型中， k为3，如此等等。
2、P107例5-4
人口增长率（半对数模型）
已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。
LnY LnY Ln 1 r * t u t 0 t Yt Y0 1 r 线性趋势模型 LnYt B1 B2 * t ut 平稳性质疑？
t
Y / Y 瞬时增长率：B 2 T 复合增长率：r anti log(B2 ) 1
5.4.2 线性趋势模型
• Yt=B1+B2t+ut
• 即Y对时间t的回归，其中t按时间先後顺序计 算。这类模型称为线性趋势模型，时间t称为 趋势变量 • 在实际中，线性趋势模型和增长模型都应用 的很广泛。但相比较而言，增长模型更有用 一些。人们通常关注的是经济变量的相对变 化而不是绝对变化，比如说，GNP，货币供 给等等。
Y / Y X / X
X每变动1%，引起Y变动的百分数
3、增长率
Y / Y X
X每变动1单位，引起 Y变动的百分数 3 GYH
二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读
GYH
4
三、示例说明 1、P106例5-2
2、P107例5-4 3、P113例5-6
柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）
绝对量与相对量
• 产品市场规模，通常可以视为线性变化 ，应该使用5-22式——每过一年，增长 的绝对量相同 • 近十年左右的中国人口，年人口净增长 率递减，人口数的增加量各年近似，可 使用5-22
• http://gcontent.oeeee.com/f/26/f26dab9bf6a137c3/Blog/dfc/165f00.html
五、对度量单位的关注及标准化变量的回归
1、过原点的回归（regression through the origin）
只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比如奥肯 定律或其他经济和金融理论。 2、注意模型中变量的度量比例和单位
3、标准化变量的回归
原因
怎么做？
如何解释？
GYH
33
2、注意模型中变量的度量比例和单位
恩格尔消费曲线(Engel expenditure curve)
• 消费者对某一商品的支出占其总收入(或总消费支出)的比例。Y为 在某一商品上的支出， X为总收入，则该商品有如下特徵：⑴收 入有一个临界值，在此临界值之下，不能购买某商品(如汽车)。 在图b中，收入的临界水平是-B2/B1。⑵消费有一个满足水平，在 此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会有任何消费。在 图b中，消费的满足水平为渐进线X=B1。双曲函数是描述这类商 品最合適的模型。
5.2比较线性与双对数线性模型
Comparing linear and log-linear regression models
• 虽然经济理论告诉我们价格与需求量负相关 ，但是并未提供足够的信息告示这两者之间 具体的函数形式。也就是说，经济理论本身 并未提供强有力的信息告诉我们是要拟合线 性模型、对数线性模型还是其他的模型。那 么，回归模型的函数形式就成为一个经验性 问题。在选择模型的过程中，是否有规律可 循呢？ • 只有经验，没有通则
5.5 线性对数模型：解释变量是对数形
式
• 应变量是线性形式而解释变量是对数 形式的模型，称为线性-对数模型(linlog model)。 • 线性对数模型常用於研究解释变量每 变动1%，相应应变量的绝对变化量的 情形。形如(5-24)的模型可以有不止一 个的对数形式的解释变量。每一个偏 斜率系数度量了在其他变量保持不变 的条件下，某一给定变量X每变动1% 所引起的应变量的绝对改变量。