2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第六章 正弦平面电磁波(3导电媒质中的平面电磁波)(共32张PP

S(z,t) E(z,t) H(z,t)
ez
1 2
Em2
c
e2 az [c os
cos(2t
2z
20
)]
Sav
ez
1 2
Em2
c
e2az
cos
S
1 2
E
H*
ez
Em2
c
e2aze j
导电媒质中平均电能密度和平均磁能密度分别如下：
wav,e
1 4
E
2
1 4
Em2 e
2az
wav,m
1 4
H
2
(1) 电场强度衰减为1μV/m处的深度，应选择哪个频率进行 潜水艇的水下通信；
(2) 频率3 kHz的电磁波从海平面下侧向海水中传播的平均功 率流密度。
解： (1) f=3kHz时：因为
4 36 109 2 3103 80
1
所以海水对依此频率传播的电磁波呈显为良导体，故
2
1
2
H
ey
E0
c
ez
ey
E0
c
e e az jz
ey
E0
c
e e az jze j
其瞬时值为
H (z,t)
ey
Em
c
eaz
cos(t
z
0
)
图 6-5 导电媒质中平面电磁波的电磁场
导电媒质中均匀平面电磁波的相速为
1
2
vp
dz dt
1
2
1
2
1
1
而波长
2 p f
磁场强度矢量的方向与电场强度矢量互相垂直，并都垂直 于传播方向，因此导电媒质中的平面波是横电磁波。导电媒质 中的坡印廷矢量的瞬时值、 时间平均值和复坡印廷矢量分别为
平面电磁波为
E
ex E0e(1 j)az , H
ey
E0
c
e(1 j )az
式中良导体海水的波阻抗为
c
(1 j) 2
e
j
4
2
因此沿+z方向进入海水的平均电磁功率流密度为
Sav
Re[ S ]
Reez
1 2
E02e2az
2
(1
j)
ez
1 2
E02e2az
2
故海水表面下部z=l处的平均电磁功率流密度与海水表面下部z=0
E eaz
2
ea e e2
E0
z
即
E 20 log
20 log e2 54.575dB
E0 z
例 6-5 已知海水的电磁参量σ=51Ω·m，μr=1, εr=81， 作为
良导体欲使90 ％
(仅靠海水表面下部)进入1
m以下的深度，电磁波的频率应如何选择。
解：对于所给海水，当其视为良导体时，其中传播的均匀
处的平均电磁功率流密度之比为
Sav zl e2az Sav z0
依题意
Sav zl e2az 0.9 Sav z0
考虑到良导体中衰减常数与相移常数有如下关系：
2
从而
f
1
1n0.9
2
2l
4
1 10 7
51
1n0.9
2
21
13 .78 Hz
l 1
例 6-4 证明均匀平面电磁波在良导体中传播时，每波长内 场强的衰减约为55dB 。
证： 良导体中衰减常数和相移常数相等。
因为良导体满足条件 1， 所以，相移常数α=衰减常
数 。
2
设均匀平面电磁波的电场强度矢量为
E E0e e az jz
那么z=λ处的电场强度与z=0处的电场强度振幅比为
导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。电
磁波场强振幅衰减到表面处的1/e的深度，称为趋肤深度(穿透深度)，
以δ表示。
因为
E0e
E0
1 e
所以
1 2 1
(m)
f
可见导电性能越好(电导率越大)，工作频率越高，则趋肤
深度越小。例如银的电导率σ=6.15 ×107 S/m，磁导率μ0=4π×10-
ZS
Ex Hy
z0
E0 H0
c
(1
j)
2
RS jX S
RS X S
1 l 2 (w)
l w1
JS
J
0
xdz
0
E0e（1
j）azdz
E0 (1 j)
1
j
E0
H0
图 6-6 平面导体
从电路的观点看，此电流通过表面电阻所损耗的功率为
Pc
1 2
J S 2 RS
1
E(z, t) exEmeaz cos(t z 0 )
其中Em、φ0分别表示电场强度的振幅值和初相角，即
E0 Eme j0
因为
2 2 c
所以
(
ja )2
2
j
故有
2 a2 j2a 2 j
从而有
2 2 2
2
由以上两方程解得
2
1
2
1
j
波动方程：
2E 2E 0
其中γ2=ω2μεc。
2H 2H 0
直角坐标系中，对于沿+z方向传播的均匀平面电磁波，如 果假定电场强度只有x分量Ex，那么式(6-25)的一个解为
E ex E0e jz
令γ=β-jα，则E=exE0e-j (β-jα)z=exE0e-αze-jβz。显然电场强度的复振幅 以因子e-αz随z的增大而减小，表明α是说明每单位距离衰减程度 的常数，称为电磁波的衰减常数。β表示每单位距离落后的相位， 称为相位常数。γ=β-jα称为传播常数。因此电场强度的瞬时值可 以表示为
22
E0
2
1 2
E0 2
2
设想面电流JS均匀地集中在导体表面δ厚度内，此时导体 的直流电阻所吸收的功率就等于电磁波垂直传入导体所耗散 的热损耗功率。
例 6-2 海水的电磁参数是εr=81, μr=1, σ=4 S/m，频率为3 kHz 和30 MHz的电磁波在紧切海平面下侧处的电场强度为1V/m， 求：
7 H/m ，
2
0.0642
2f 4 6.15
f
(m)
良导体中均匀平面电磁波的电磁场分量和电流密度为
Ex
E e(1 j)az 0
Hy
Ex
c
H
e(1
0
j
)
az
,
H
0
E0
c
E0
j
e4
2
J x Ex J 0e(1 j)az , J 0 E0
S
1 2
E
H*
ez
1 2
源自文库
Ex
H
* y
ez
1 2
E02e2az
1
2
3 106
4 107 80 2 36 109
29
21.4
l 13.8 0.645m
由此可见，选高频30MHz的电磁波衰减较大，应采用低频3 kHz的电磁波。在具体的工程应用中，具体低频电磁波频率的选 择还要全面考虑其它因素。
(2) 平均功率密度为
Sav
P
1 2
E02
2
4
E02
2020高中物理竞赛
电磁学B版 6.3 导电媒质中的平面电磁波
6.3 导电媒质中的平面电磁波
6.3.1 导电媒质中平面电磁波的传播特性
无源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程组为
H E jE
(6-22a)
H jH
H 0
E 0
式(6-22a)可以写为
H
j
j
E
j cE
其中：
c
j
1
4 4.6W / m2 4 0.218
例 6-3 微波炉利用磁控管输出的2.45 GHz的微波加热食品。 在该频率上，牛排的等效复介电常数ε′=40ε0，tanδe=0.3，求：
(1) 微波传入牛排的趋肤深度δ， 在牛排内8mm处的微波场强 是表面处的百分之几；
(2) 微波炉中盛牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的， 其等 效复介电常数的损耗角正切为ε′=1.03ε0，tanδe=0.3×10-4。说明为 何用微波加热时牛排被烧熟而盘子并没有被烧毁。
(1 j) 2
在z=0处，平均功率流密度为
Sav
Re[S]
ez
1 2
E02e2az
2
Sav (z
0)
ez
1 2
E02
2
Pc
1 2
E 2dV 1
V
2
0
E0
2 e2azdz
4a
E0
2
1 2
E0
2
2
可见，传入导体的电磁波实功率全部转化为热损耗功率。
导体表面处切向电场强度Ex与切向磁场强度Hy之比定义为 导体的表面阻抗，即
2
1
2
1
H
j
E
ey
E0
c
e jz
ey
E0
c
eaze jz
其中：
c
j
1
j
1
2
c
e j
(6-31)
称为导电媒质的波阻抗， 它是一个复数。 式(6-31)中，
c
1
2
1 4
1 arctan 0 ~
2
4
导电媒质的本征阻抗是一个复数，其模小于理想介质的本征 阻抗，幅角在0~π/4之间变化，具有感性相角。这意味着电场强 度和磁场强度在空间上虽然仍互相垂直，但在时间上有相位差， 二者不再同相，电场强度相位超前磁场强度相位。这样磁场强度 可以重写为
。 因此，电介质中
, ,
2
良导体中，有关表达式可以用泰勒级数简化并近似表达为
2
, p
2 , 2
2
c
(1 j) 2
e
j
4
高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107
S/m量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。 电磁波往往在微米
量级的距离内就衰减得近于零了。因此高频电磁场只能存在于良
1 4
Em2
c 2
e2az
1 4
Em2
e2
az
1
2
wav
wav,e
wav,m
1 4
Em2 e
2az
1 4
Em2 e2az
1
2
1 4
Em2
e2az
1
1
2
能量传播速度为
ve
Sav wav
1/ 2
1
2
1
1
2
p
可见，导电媒质中均匀平面电磁波的能速与相速相等。
6.3.2
通常，按σ/ωε的比值(导电媒质中传导电流密度振幅与位移 电流密度振幅之比|σE|/|jωεE|)把媒质分为三类：
电介质: 1;不良导体: 1;良导体: 1
电介质(低损耗媒质)，例如聚四氟乙烯、聚苯乙烯和石英等
材料，在高频和超高频范围内均有 102 均匀平面电磁波的相关参数可以近似 为
解： (1) 根据牛排的损耗角正切知，牛排为不良导体，
1/ 2
11
2
1
2
1
0.0208m 20.8mm
E ez / e8/ 20.8 68% E0
(2) 发泡聚苯乙烯是低耗介质， 所以其趋肤深度为
12 2 2
1
2 3 108
1.28 103m
2 2.45109 (0.3104 ) 1.03