高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)8_1 多元函数-PPT课件
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念
连续函数具有局部有界性、局部保号 性、可积性等性质。
多元函数连续性的性质
局部有界性
对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 所有自变量满足|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε 。
局部保号性
如果函数在某点的极限值大于0，则存在一个正数δ ，使得当所有自变量满足|x-x0|<δ时，f(x)>0。
多元函数可微性的定义
如果函数在某点的偏导数都存在，则该函数在该点可微。
偏导数的定义
对于多元函数，在某点的某个自变量变化时，其他自变量保持不变，得到的导数称为偏 导数。
多元函数可微性的性质
可微函数的偏导数连续
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 连续。
可微函数的偏导数存在
如果一个多元函数在某点可微，那么它的偏导数在该点 都存在。
学中一个重要的概念。
02
多元函数的极限
一元函数极限的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，若在点$x_0$的某一 去心邻域内，当$x$无限趋近于$x_0$ 时，函数值$f(x)$无限趋近于某一常 数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在点 $x_0$处的极限。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部有界 性、局部保号性、四则运算法则等。
大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概 念
目录 Contents
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限 • 多元函数的连续性 • 多元函数的可微性
01
多元函数的定义与表示
定义
多元函数
设D是一个非空实数集合，P是实 数集合中的一个非空子集，若对 于每一个x∈D，P中有一个确定 的数值y与之对应，则称y是x的函 数，记作y=f(x)，其中x是自变量 ，y是因变量，P称为定义域，D 称为值域。
同济大学《高等数学》(第四版)1-8节-无穷小的比较全篇
解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例4 求 limtan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
x2 lim 0,
观 x0 3x
x
x 2比3 x要快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 限
x0 x
lim
x0
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
证 lim lim( )
lim lim lim lim .
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
(2 x )2
lim x0
1 x2
8.
2
高等数学-第9章---(多元函数的极值)PPT课件
•21
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为 零的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点
极值点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
•.
•26
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
•.
•27
•.
•28
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
•8
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
•9
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
•10
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
的图形
•.
•16
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
同济第三版-高数-(8.1) 第一节 多元函数的基本概念解析
• 作定义域的图形 定义域由三个不等式表出。其中， 不等式 0 < x 2a 表示介于 y 轴和直线 x = 2a 间的平
面区域，它不含 y 轴，但包含直线 x = 2a . 不等式 0 < y 2 2ax 表示抛物线 y 2 = 2ax 下方、x 轴
上方的区域，它包含该抛物线，但不含 x 轴。 结合前两组不等式，不等式 0 2ax x2 y 可改
1
2ax x 2 y
1,
可解得
2ax x 2 y ,
y 0.
x 2a x 0.
由
1
y2 2ax
1,
可解得
0
y2
2ax ,
x 0 .
0 x.
综合两不等式组求得函数定义域为
D f x, y 0 x 2a, 0 y2 2ax, 0 2ax x 2 y .
知，它们之间具有联系
R
R1R2 . R1 R2
R1
R
R2 在这一问题中，当 R1、R2 在集合
{( R1, R2 )R1> 0 , R2 > 0 }
内取定一组值( R1, R2 )时，R 的对应值就随之确定。
以上三个问题的具体意义虽各不相同，但都有共同 性质，即一个变量的变化受到两个变量的影响和制约， 抽像出这些共同性质就得出以下二元函数的定义。
写成 x > 0 ，y > 0 ,( x - a )2+ y 2 a 2，因此该表示圆周 ( x - a )2 + y 2 = a 2 的外部位于 x 轴上方的区域，且包含 圆周，但不含 x 轴。
y
y2 2ax
D
0 y2 2ax
x a2 y2 a2
Df
:
《高等数学》 第八章(上)多元函数微积分简介
第一节 空间解析几何简介
在空间任取一点 M，过点 M 分别作与坐标轴垂直的平 面，交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P，Q，R，如图所示．点 P， Q，R 称为点 M 在三条坐标轴上的投影．设点 P，Q，R 在 三条坐标轴上的坐标分别记为 x，y，z，于是点 M 确定了 唯 一 的 有 序 数 组 (x ，y ，z) ； 反 之 ， 给 定 一 个 有 序 数 组 (x ，y ，z) ，总能在 x 轴、y 轴和 z 轴上分别确定以 x，y，z 为坐标的三个点 P，Q，R，过这三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的平面，这三个平面必相交于唯一一点 M．
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限， 含有三个正半轴的卦限称为第一卦限，它位于 xOy 面的上 方．在 xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第 三卦限和第四卦限．在 xOy 面的下方，与第一卦限对应的 是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限 和第八卦限．八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
2．常见曲面的方程
1）球面 在空间中到定点的距离等于定值的点的轨迹称为球面，定点称为球心， 定值称为半径． 例 3 建立球心在点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 、半径为 R 的球面的方程．
特别地，球心在原点 O(0，0，0) 、半径为 R 的球面的方程为 x2 y2 z2 R2 ．
由于 M2M3 M1M3 ，所以原结论成立．
第一节 空间解析几何简介
例 2 设点 P 在 x 轴上，它到点 P1(0 ， 2 ，3) 的距离为到点 P2 (0，1，1) 的 距离的两倍，求点 P 的坐标．
高等数学第四版下册教材
高等数学第四版下册教材高等数学是一门广泛应用于科学与工程领域的学科，它主要探讨的是函数、极限、微分、积分等数学概念与技巧。
高等数学第四版下册教材以理论与实践相结合的方式系统介绍了数学的高级内容，为读者提供了深入学习和理解数学的机会。
第一章：多元函数的极限与连续多元函数是指以多个自变量作为输入，输出一个或多个因变量的函数。
在这一章节中，我们将学习多元函数的极限与连续。
首先，我们介绍了多元函数的极限概念，包括函数的收敛性、无穷小量、无穷大量等。
然后，我们讨论了多元函数的连续性，包括连续函数的定义、连续函数的性质以及连续函数的运算法则等。
第二章：一元函数微分学微分学是高等数学的重要分支，它主要研究函数的变化率以及相关的概念和方法。
本章节主要介绍了一元函数的微分学知识。
我们首先讨论了函数的导数概念，包括导函数的定义、导数的几何意义以及导数的性质。
然后，我们介绍了一元函数的微分法，包括微分的定义、微分的几何意义以及微分的应用等。
第三章：一元函数积分学积分学是高等数学的另一重要分支，它主要研究函数的累加效应以及相关的概念和方法。
本章节主要介绍了一元函数的积分学知识。
我们首先讨论了函数的不定积分概念，包括不定积分的定义、不定积分的性质以及不定积分的计算方法。
然后，我们介绍了一元函数的定积分概念，包括定积分的定义、定积分的性质以及定积分的应用等。
第四章：常微分方程常微分方程是描述自然现象中变化规律的重要数学工具。
本章节主要介绍了常微分方程的基本概念和解法。
我们首先讨论了一阶常微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程等的解法。
然后，我们介绍了二阶常微分方程，包括齐次线性方程、非齐次线性方程等的解法。
此外，我们还讨论了常微分方程的应用，包括生物学、物理学、经济学等领域中的相关问题。
第五章：多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的变化率以及相关的概念和方法。
本章节主要介绍了多元函数的偏导数、全微分以及隐函数的求导等内容。
人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性
于是
lim
PP0
f
(P)
f
(P0 )
例6
求
lim
x0 y0
2x x2
y2 y2
解 函数 f (x, y) 2x y2 的定义域 x2 y2
D {(x, y) x2 y2 0}
显然 (1,0) D
故
lim 2x x x0 2
y0
y2 y2
1 2
例７ 求 lim xy 1 1.
点间的距离．
二、多元函数的概念
1 多元函数的定义
设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y)D，变量z 按照一定的法则总有确定的值
和它对应，则称 z 是变量x, y 的二元函数，记为
z f ( x, y)（或记为z f (P) )
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2时，n 元函数统称为多元函数.
在(0,0)处的连续性．
解
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
x2
y2
sin
x
2
1
y2
x2
y2
e 0, e ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
e
lim( x2
x0
y2 )sin
x2
1
y2
0
y0
lim f ( x, y) f (0,0),
U (P0, ) P | PP0 |
•
(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 . P0
点P0的去心邻域 Uˆ (P0, ) P 0 | PP0 |
高等数学教材第四版同济
高等数学教材第四版同济高等数学是大学本科阶段的重要基础课程之一，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的作用。
同济大学出版社出版的《高等数学教材》第四版是一本经典的教材，本文将对该教材进行全面细致的介绍和评价。
一、教材概述《高等数学教材》第四版是由同济大学数学系编写的，主要面向经济学、物理学、力学等专业的本科生。
本教材全面、系统地介绍了高等数学的基本理论、方法和应用，具有深入浅出、逻辑严谨的特点。
二、教材结构本教材共分为十章，每章都有详细的知识点、例题和习题，使得学生可以有系统地学习和巩固知识。
第一章介绍了函数的概念和性质，承上启下，为后续章节的学习打下了基础。
第二章讲述了极限和连续函数，这是高等数学的核心内容之一，教材对此进行了深入浅出的阐述。
第三章介绍了导数和微分，将极限的概念应用到了实际问题中。
第四章详细介绍了定积分和不定积分，让学生对积分有了更深入的理解。
第五章到第七章分别介绍了常微分方程、多元函数微分学和多元函数积分学，为进一步学习微积分的应用打下基础。
第八章到第九章介绍了向量代数和空间解析几何，培养了学生的几何直观。
第十章介绍了多元函数的级数表示，为复习章节提供了重要的参考。
三、教材特点《高等数学教材》第四版同济具有以下几个特点：1. 整体性强：本教材能够全面覆盖高等数学的各个重要内容，涵盖了函数、极限、微分、积分、微分方程、向量代数、空间解析几何等多个方面。
2. 逻辑性强：教材内容呈现有严格的逻辑性，知识点的阐述合理有序，方便学生对所学知识有系统的认识。
3. 应用性强：教材通过大量实例和习题的设计，使学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中去，提高解决实际问题的能力。
四、教材实用性评价《高等数学教材》第四版同济实用性较高，适合本科阶段的学生使用。
该教材在内容选择上覆盖了大部分高等数学的核心知识点，并通过实例和习题的设计帮助学生巩固和应用所学知识。
同时，教材的语言简明易懂，对于刚接触高等数学的学生来说很友好。
高等数学同济版第一节多元函数的基本概念
显然: E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
4. 多元函数的连续性
1) 函数 f (P) 在 P0 连续
lim
PP0
f (P)
f (P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
备用题
lim x ln(1 xy) 是否存在？ 不存在 x0 x y
y0
作业 P62
2. 区域 (1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
E
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ;
若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E 中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
说明：若不要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
例如,
平面上, U ( P0 ,δ ) (x, y)
空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
。P0 ) (x, y)
• 区域
连通的开集
2. 多元函数概念
高等数学8.1多元函数的基本概念ppt课件
函数的间断点： 若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的
间断点． 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点．
例
f(x，y)
xy
x2
y
2
,
x2
y2
0,
点(0，0)是f(x，y)的间断点；
0 , x2 y2 0.
z
sin
x2
1 y2
1
，
x2y21上的点是其间断点．
E的边界点的全体称为E的边 界．
开集： E{(x，y)|1<x2 +y2<4}
E
P
边界 ：x2 +y2 1和x2y24
连通性：
设D是开集．如果对于D 内
任何两点，都可用属于D的折线
连结起来，则称开集D 是连通
的区域：
．
连通的开集称为区域或开区 域．
闭区域：
开区域连同它的边界称为闭 区域．
E1 P1
时，总有
|(x2y2)sin 1 0|<e
x2 y2 成立，所以 lim f (x, y) 0 ．
x0 y0
必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无
限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，
则函数的极限不存在．
例
函数f(x，y)
xy x2 y2
z=f(x，y)(或z=f(P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x2y21
{(x，y)|x+y>0}(无界开区域)；
函数zarcsin(x2y2)的定义域为
同济大学（高等数学）_第六篇_多元微积分学
同济⼤学（⾼等数学）_第六篇_多元微积分学第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应⽤我们以前学习的函数只有⼀个⾃变量，这种函数我们称为⼀元函数．⼀元函数的微积分解决了很多初等数学⽆法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多⽅⾯的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在⼀元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应⽤．从⼀元函数的情形推⼴到⼆元函数时会产⽣⼀些新的问题，⽽从⼆元函数推⼴到⼆元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学⽣要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决⼏何、经济与管理、⼯程等领域的实际问题的具体⽅法.第1节多元函数的基本概念1.1 平⾯点集为了介绍⼆元函数的概念，有必要介绍⼀些关于平⾯点集的知识，在⼀元函数微积分中，区间的概念是很重要的，⼤部分问题是在区间上讨论的．在平⾯上，与区间这⼀概念相对应的概念是邻域．1.1.1 邻域设000(,)P x y 是xOy 平⾯上的⼀定点，δ是某⼀正数，与点000(,)P x y 的距离⼩于δ的点(,)P x y 的全体，称为点000(,)P x y 的δ邻域，记为0(,)δU P ，即 {}00(,)U P P P P δδ=<,亦即 {}0(,)(,U P x y δδ=<．0(,)δU P 在⼏何上表⽰以000(,)P x y 为中⼼，δ为半径的圆的内部(不含圆周)．上述邻域0(,)δU P 去掉中⼼000(,)P x y 后，称为000(,)P x y 的去⼼邻域，记作o0(,)U Pδ． {}o0(,)(,)0U P x y δδ=<<.如果不需要强调邻域的半径δ，则⽤0()U P 表⽰点000(,)P x y 的邻域，⽤o0()U P表⽰000(,)P x y 的去⼼邻域．1.1.2 区域下⾯⽤邻域来描述平⾯上的点与点集之间的关系．设E 是xOy 平⾯上的⼀个点集，P 是xOy 平⾯上的⼀点，则P 与E 的关系有以下三种情形：(1) 内点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()?U P E ，则称点P 为E 的内点．(2) 外点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()=? U P E ，则称P 为E 的外点． (3) 边界点：如果在点P 的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边界，记作?E ．例如：点集(){}221,|01=<+y ，除圆⼼与圆周上各点之外圆的内部的点都是1E 的内点，圆外部的点都是1E 的外点，圆⼼及圆周上的点为1E 的边界点；⼜如平⾯点集(){}2,|1=+≥E x y x y ，直线上⽅的点都是2E 的内点，直线下⽅的点都是2E 的外点，直线上的点都是2E 的边界点(图9—1)．图9—1 显然，点集E 的内点⼀定属于E ；点集E 的外点⼀定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．如果点集E 的每⼀点都是E 的内点，则称E 为开集，点集(){}221,|01=<+y 是开集，(){}2,|1=+≥E x y x y 不是开集．设E 是开集，如果对于E 中的任何两点，都可⽤完全含于E 的折线连接起来，则称开集E 是连通集(图9—2) ．点集E 1和E 2都是连通的，点集(){}3,|0=>E x y xy 不是连通的(图9—2)．图9—2连通的开集称为开区域(开域)．从⼏何上看，开区域是连成⼀⽚的且不包括边界的平⾯点集．如E 1是开区域．开区域是数轴上的开区间这⼀概念在平⾯上的推⼴．开区域E 连同它的边界E ?构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即=E E E +?)．闭区域是数轴上的闭区间这⼀概念在平⾯上的推⼴．如E 2及(){}224,|1=+≤E x y xy 都是闭域，⽽(){}225,|12=≤+y 既⾮闭域，⼜⾮开域．闭域是连成⼀⽚的且包含边界的平⾯点集．本书把开区域与闭区域统称为区域．如果区域E 可包含在以原点为中⼼的某个圆内，即存在正数r ，使(),E U O r ?，则称E 为有界区域，否则，称E 为⽆界区域．例如E 1是有界区域，E 2是⽆界区域．记E 是平⾯上的⼀个点集，P 是平⾯上的⼀个点．如果点P 的任⼀邻域内总有⽆限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点．显然，E 的内点⼀定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．例如，设(){}226,|01=<+≤E x y xy ，那么点()0,0既是6E 的边界点⼜是6E 的聚点，但6E 的这个聚点不属于6E ；⼜如，圆周221x y +=上的每个点既是6E 的边界点，也是6E 的聚点，⽽这些聚点都属于6E ．由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．再如点()7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，E n n ?，原点()0,0是它的聚点，7E 中的每⼀个点都不是聚点．1.1.3 n 维空间R n⼀般地，由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间，记作R n ．即(){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈= ．n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的⼀个点，数x i 称为该点的第i 个坐标．类似地规定，n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为PQ =前⾯关于平⾯点集的⼀系列概念，均可推⼴到n 维空间中去，例如，0∈nP R ，δ是某⼀正数，则点0P 的δ邻域为(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈．以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等⼀系列概念．1.2 多元函数的概念 1.2.1 n 元函数的定义定义1 设D 是nR 中的⼀个⾮空点集，如果存在⼀个对应法则f , 使得对于D 中的每⼀个点()12,,,n P x x x ，都能由f 唯⼀地确定⼀个实数y ，则称f 为定义在D 上的n 元函数，记为()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈．其中12,,,n x x x 叫做⾃变量，y 叫做因变量，点集D 叫做函数的定义域，常记作()D f ．取定()12,,,n x x x D ∈，对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f 的值域，常记为()f D ［或()R f ］，即()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈．当n =1时，D 为实数轴上的⼀个点集，可得⼀元函数的定义，即⼀元函数⼀般记作(),,y f x x D D R =∈?；当n =2时，D 为xOy 平⾯上的⼀个点集，可得⼆元函数的定义，即⼆元函数⼀般记作()()2,,,,z f x y x y D D R =∈?，若记(),P x y =，则也记作⼆元及⼆元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与⼀元函数⼀样，包含对应法则和定义域这两个要素．多元函数的定义域的求法，与⼀元函数类似．若函数的⾃变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从⽽确定函数的定义域. 对⼀般的⽤解析式表⽰的函数，使表达式有意义的⾃变量的取值范围，就是函数的定义域．例1 在⽣产中，设产量Y 与投⼊资⾦K 和劳动⼒L 之间的关系为Y AK L αβ=（其中,,A αβ均为正常数)．这是以K ，L 为⾃变量的⼆元函数，在西⽅经济学中称为⽣产函数．该函数的定义域为(){},|0,0K L K L >>．例2 求函数()ln z y x =-D ，并画出D 的图形．解要使函数的解析式有意义，必须满⾜220,0,10,y x x x y ->??≥?-->即(){}22,|0,,1D x y x x y xy =≥<+<,如图9—3划斜线的部分．图9—3 图9—41.2.2. ⼆元函数的⼏何表⽰设函数(),=z f x y 的定义域为平⾯区域D ，对于D 中的任意⼀点(),P x y ，对应⼀确定的函数值()(),=z z f x y ．这样便得到⼀个三元有序数组(),,x y z ，相应地在空间可得到⼀点(),,M x y z ．当点P 在D 内变动时，相应的点M 就在空间中变动，当点P 取遍整个定义域D 时，点M 就在空间描绘出⼀张曲⾯S (图9—4)．其中()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈．⽽函数的定义域D 就是曲⾯S 在xO y ⾯上的投影区域．例如z ax by c =++表⽰⼀平⾯；z =1的上半球⾯．1.3⼆元函数的极限⼆元函数的极限概念是⼀元函数极限概念的推⼴．⼆元函数的极限可表述为定义1 设⼆元函数()z f P =的定义域是某平⾯区域D ，P 0为D 的⼀个聚点，当D 中的点P 以任何⽅式⽆限趋于Ｐ0时，函数值f (P )⽆限趋于某⼀常数A ，则称A 是函数()f P 当P 趋于P 0时的(⼆重)极限．记为lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→，此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在，否则称()f P 的极限不存在．若0P 点的坐标为00(,)x y ，P 点的坐标为(),x y ，则上式⼜()()00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A （x →x ０，y →y ０）．类似于⼀元函数，()f P ⽆限趋于A 可⽤()f P A ε-<来刻画，点(),P P x y =⽆限趋于0000(,)P P x y =可⽤0P P δ=刻画，因此，⼆元函数的极限也可如下定义．定义2 设⼆元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的⼀个聚点，A 为常数．若对任给的正数ε，不论ε多⼩，总存在0δ>，当(,)P x y D ∈，且0P P δ=<时，总有(),f P A ε-<则称A 为()z f P =当0P P →时的(⼆重)极限．注①定义中要求0P 是定义域D 的聚点，是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点．②注意到平⾯上的点P 趋近于0P 的⽅式可以多种多样：P 可以从四⾯⼋⽅趋于0P ，也可以沿曲线或点列趋于0P ．定义1指出：只有当P 以任何⽅式趋近于0P ，相应的()f P 都趋近于同⼀常数A 时，才称A 为()f P 当0P P →时的极限．如果(,)P x y 以某些特殊⽅式(如沿某⼏条直线或⼏条曲线)趋于000(,)P x y 时，即使函数值()f P 趋于同⼀常数A ，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时，()f P 趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．③⼆元函数极限有与⼀元函数极限相似的运算性质和法则，这⾥不再⼀⼀叙述．例3 设222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?判断极限()(),0,0lim (,)→x y f x y 是否存在?解当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时，有y =0，于是()()22,0,00lim (,)lim00→→===+x y x y f x y x ；当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时，有x =0，于是()()22,0,00000→→===+x y y x f x y y ．但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊⽅式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的⼆重极限存在．因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时，有()()2222,0,00lim(,)lim (1)1→→===++x y x y kxkx kf x y k x k，这个极限值随k 不同⽽变化，故()(),0,0lim (,)→x y f x y 不存在．例4 求下列函数的极限：(1) ()(,0,0lim →x y ；(2)()()222,0,0lim→+x y xy x y ； (3)()(,0,0ln 1lim →+x y xy 解 (1)()()()(()(,0,0,0,0,0,01limlim lim 4→→→==-=-x y x y x y ．(2)当0,0→→x y 时，220x y +≠，有222x y xy +≥．这时，函数22xyx y +有界，⽽y 是当x →0且y →0时的⽆穷⼩，根据⽆穷⼩量与有界函数的乘积仍为⽆穷⼩量，得()()222,0,0lim 0→=+x y xy x y ． (3)()(()(()(,0,0,0,0,0,0ln 1limlimlim1→→→+===x y x y x y xy ．从例4可看到求⼆元函数极限的很多⽅法与⼀元函数相同．1.4 ⼆元函数的连续性类似于⼀元函数的连续性定义，我们⽤⼆元函数的极限概念来定义⼆元函数的连续性．定义3 设⼆元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义，如果()()()00,0,0lim.(,)→=x y f x y f x y ,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点；否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续)，000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点．与⼀元函数相仿，⼆元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续，必须满⾜三个条件：①函数在点000(,)P x y 有定义；②函数在000(,)P x y 处的极限存在；③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等，只要三条中有⼀条不满⾜，函数在000(,)P x y 处就不连续．由例3可知，222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处间断；函数1z x y =+在直线0x y +=上每⼀点处间断．如果(,)f x y 在平⾯区域D 内每⼀点处都连续，则称(,)f x y 在区域D 内连续，也称(,)f x y 是D 内的连续函数，记为()(,)f x y C D ∈．在区域D 上连续函数的图形是⼀张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲⾯．⼀元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适⽤，故⼆元连续函数经过四则运算后仍为⼆元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；⼆元连续函数的复合函数也是连续函数．与⼀元初等函数类似，⼆元初等函数是可⽤含,x y 的⼀个解析式所表⽰的函数，⽽这个式⼦是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如()sin x y +,22xy x y +,arcsin xy等都是⼆元初等函数．⼆元初等函数在其定义域的区域内处处连续．与闭区间上⼀元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质．性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必取得最⼤值与最⼩值．推论若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界．性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，M 和m 分别是(,)f x y 在D 上的最⼤值与最⼩值，则对于介于M 与m 之间的任意⼀个数C ，必存在⼀点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =．以上关于⼆元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去．习题9—11．判断下列平⾯点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、⽆界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.(1) (){},|0,0≠≠x y x y ； (2) (){}22,|14<+≤x y xy ；(3)(){}2,|>x y y x ．2．求下列函数的定义域，并画出其⽰意图：(1)z =； (2)1ln()z x y =-；(3)=z(4)=u ．3．设函数()32,23f x y x xy y =-+，求 (1)()2,3f -; (2)12,f x y ??； (3) (),f x y x y +-. 4．讨论下列函数在点()0,0处的极限是否存在： (1) 24xy z x y=+； (2)x yz x y +=-． 5．求下列极限： (1)()(),0,0sin lim→x y xy x ； (2)()()22,0,11lim →-+x y xyx y ；(3)()(,1,0ln lim→+y x y x e ； (4)()(),0,0lim→x y ．6．证明：⼆元函数()22220,,0,0.+≠=+=?x y f x y x y 在()0,0点连续．7．设⼆元函数()()11sin sin ,0,,0,0.?+≠?=??=?x y xy x y f x y xy ，试判断(),f x y 在点()0,0处的连续性．8．函数2222+=-y xz y x在何处是间断的？第2节偏导数与全微分2.1 偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义在研究⼀元函数时，我们从研究函数的变化率引⼊了导数概念．由于⼆元函数的⾃变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲⼆元函数在某点的变化率．在这⼀节，我们考虑⼆元函数关于某⼀个⾃变量的变化率，这就是偏导数的概念．设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义，x 在0x 有改变量()0x x ??≠，⽽0y y =保持不变，这时函数的改变量为()()0000,,x z f x x y f x y ?=+- ，x z ?称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量)．类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为()()0000,,y z f x y y f x y ?=+- ．有了偏增量的概念，下⾯给出偏导数的定义．定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义，如果000000(,)(,)limlim x x x z f x x y f x y x x ?→?→?+?-=??存在，则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导．记作000000,,,(,).======x x x x y y y y x x xy y x zf z f x y xx类似地，可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于⾃变量y 的偏导数为00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy→?→?+?-=??，记作000000,,,(,).======x x x x y y y y x x yy y y z f z f x y yy如果函数(),z f x y =在区域D 内每⼀点(),x y 处的偏导数都存在，即(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+?-=?(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y→+?-=?存在，则上述两个偏导数还是关于x ，y 的⼆元函数，分别称为z 对x ，y 的偏导函数(简称为偏导数)．并记作,,,(,)(,)或或或，x y x y z z f fz z f x y f x y x y x y．不难看出，(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在()00,x y 处的函数值，⽽00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值．由于偏导数是将⼆元函数中的⼀个⾃变量固定不变，只让另⼀个⾃变量变化，相应的偏增量与另⼀个⾃变量的增量的⽐值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求⼀元函数的导数问题．求f x ??时，把y 看做常量，将(),z f x y =看做x 的⼀元函数对x 求导；求fy时，把x 看做常量，将(),z f x y =看做y 的⼀元函数对y 求导．三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这⾥就不讨论了．例1 求函数()sin +xyz x y e =在点()1,1-处的偏导数．解将y 看成常量，对x 求导得e [cos()sin()]xy zx y y x y x=+++；将x 看成常量，对y 求导得e [cos()sin()]xy zx y x x y y=+++．再将1,1x y ==-代⼊上式得111111e ,e x x y y z z xy--===-=-??==??．例2 求函数22ln 4z x y y x =++的偏导数．解22z y xy x x=+，22ln zx y x y ?=+?．例3 设()0,1yz xx x =>≠，求证：12ln x z zz y x x y+= ．证因为1y z yx x -?=?，ln y z x x y=，所以111ln 2ln ln y yy y x z z x yx x x x x z y x x y y x-??+=+=+=?? ．例4 求函数()2sin xu x y e =+-的偏导数．解将y 和z 看做常量，对x 求导得()2cos z ux y e x=+-，同样可得()22cos x uy x y e y=+-，()2cos z z u e x y e z ?=-+-?． 2.1.2 ⼆元函数偏导数的⼏何意义由于偏导数实质上就是⼀元函数的导数，⽽⼀元函数的导数在⼏何上表⽰曲线上切线的斜率，因此，⼆元函数的偏导数也有类似的⼏何意义．设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在，由于00(,)x f x y 就是⼀元函数()0,f x y 在0x 处的导数值，即00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =??，故只须弄清楚⼀元函数()0,f x y 的⼏何意义，再根据⼀元函数的导数的⼏何意义，就可以得到00(,)x f x y 的⼏何意义．(),z f x y =在⼏何上表⽰⼀曲⾯，过点()00,x y 作平⾏于xz ⾯的平⾯0y y =，该平⾯与曲⾯(),z f x y =相截得到截线1Γ：0(,),.z f x y y y =??=? 若将0y y =代⼊第⼀个⽅程，得()0,z f x y =．可见截线Γ１是平⾯0y y =上⼀条平⾯曲线，1Γ在0y y =上的⽅程就是()0,z f x y =．从⽽00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =??表⽰1Γ在点()()000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5)．同理，00(,)y f x y ＝00d (,)d y y f x y y =??表⽰平⾯0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ：0(,),.=?在()()000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5)．图9—5例5 讨论函数222222,0,(,)0,0,xyx y x yf x y x y ?+≠?+=??+=?在点(0,0)处的两个偏导数是否存在．解 0(0,0)(0,0)(0,0)l i m x x f x f f x→+?-=220(0)0(0)0lim 0x x x x ?→+?-+?+==? ．同样有(0,0)0=y f ．这表明(),f x y 在(0,0)处对x 和对y 的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在．由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续．本例指出，对于⼆元函数⽽⾔，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续．但在⼀元函数中，我们有结论：可导必连续．这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴⽅向的变化率，00(,)x f x y 存在，只能保证⼀元函数()0,f x y 在x 0处连续，即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续．同时00(,)y f x y 只能保证2Γ在()0000,,M x y z 处连续，但两曲线1Γ,2Γ在()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲⾯(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续．2.2 ⾼阶偏导数设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数z x ??=(,)x f x y ,(,)?=?y zf x y y,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都是x , y 的⼆元函数．如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函数(),z f x y =的⼆阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个⼆阶偏导数：22()(,)==xx z z f x y x x x ，2()(,)==?xy z z f x y y x x y， 2()(,)==?yx z z f x y x y y x ，22()(,)==yy z z f x y y y y，其中xy f (或12f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的⼆阶混合偏导数．同样可定义三阶，四阶，…，n 阶偏导数．⼆阶及⼆阶以上的偏导数统称为⾼阶偏导数．sin =+z xy x y 的所有⼆阶偏导数和32zy x．解因为z x ??=y +2x sin y , z y=x +x 2cos y , 所以 22z x ??=2sin y , 2zx y＝1＋2x cos y , 2z y x=1+2x cos y , 22z y ??=x 2sin y ， 322c o s zy y x ?=??．从本例我们看到22z zx y y x=,即两个⼆阶混合偏导数相等，这并⾮偶然．事实上，有如下定理．定理1 如果函数(),z f x y =的两个⼆阶混合偏导数2z x y 和2zy x在区域D 内连续，则在该区域内有22z z x y y x=．定理1表明：⼆阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序⽆关.对于⼆元以上的函数，也可以类似的定义⾼阶偏导数，⽽且⾼阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序⽆关．例7 验证函数ln z =22220z zx y+=．解 ()221l l n 2z x y ==+ 所以2222,,z x z yx x y y x y==?+?+()()()2222222222222x y x x z y x x x y x y +-??-==++， ()()()2222222222222x y y y z x y y x y x y +-??-==?++，故 ()()222222222222220z z y x x y x y x y x y ??--+=+=??++．2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，⼀元函数()y f x =如果可微，则函数的增量Δ y 可⽤⾃变量的增量Δx 的线性函数近似求得．在实际问题中，我们会遇到求⼆元函数(),z f x y =的全增量的问题，⼀般说来，计算⼆元函数的全增量Δ z 更为复杂，为了能像⼀元函数⼀样，⽤⾃变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量，我们引⼊⼆元函数的全微分的概念．定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义，如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ?=+?+?-可表⽰成()+ρ?=?+?z A x B y o ，其中A ，B 是与Δx ，Δy ⽆关，仅与00,x y 有关的常数，ρo （ρ）表⽰当Δx →0，Δy →0时关于ρ的⾼阶⽆穷⼩量，则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微，⽽称+A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分，记作00d x x y y z ==或00d x x y y f==，即d ===?+?x x y y zA xB y ．若(),z f x y =在区域D 内处处可微，则称(),f x y 在D 内可微，也称(),f x y 是D 内的可微函数．(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ，即d =?+?z A x B y ．⼆元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质： (1) d z 是,??x y 的线性函数，即d =?+?z A x B y ；(2) z d ?≈z ,()()z d 0ρρ?-=→z o ，因此，当,??x y 都很⼩时，可将dz 作为计算Δ z 的近似公式．多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续．但是对于可微函数却有如下结论：定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则函数在该点必连续．这是因为由可微的定义，得()()(),,+ρ?=+?+?-=?+?z f x x y y f x y A x B y o()(),0,0lim 0x y z ??→?=，即()(),0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ??→+?+?=．即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续．⼀元函数可微与可导是等价的，那么⼆元函数可微与可偏导之间有何关系呢? 定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则(),z f x y =在该点的两个偏导数,z zx y都存在，且有 z zdz x y x y=+．证因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，故()+ρ?=?+?z A x B y o ，ρ令0y ?=，于是()(),,x z f x x y f x y A x o ?=+?-=?+．由此得 ()()000(),,limlim lim x x x x x x f x x y f x y zx x x xοA A ?→?→?→??+?-?==+= ，即zA x=．同理可证得zB y=．定理3的逆命题是否成⽴呢? 即⼆元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? ⼀般情况下答案是否定的．如函数222222,0,(,)0,0xyx y x yf x y x y ?+≠?+=??+=?在()0,0处两个偏导数都存在，但(),f x y 在()0,0处不连续，由定理2知，该函数在()0,0处不可微．但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的．我们不加证明地给出如下定理．定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数,z zx y存在且连续，则函数(),z f x y =在该点可微．类似于⼀元函数微分的情形，规定⾃变量的微分等于⾃变量的改变量．即d ,d =?=?x x y y ，于是由定理3有d d d z zz x y x y=+??．以上关于⼆元函数的全微分的概念及结论，可以类推到三元以上的函数中去．⽐如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微，则它的全微分为d d d d u u uu x y z x y z=++．例8 求下列函数的全微分：(1) 2sin 2=z x y ； (2) =yzu x ．解 (1) 因为2sin 2?=?z x y x ,22cos 2?=?zx y y ，所以22sin 22cos2=+dz x ydx x ydy ． (2) 因为1-?=?yz u yzx x ，ln ?=?yz u zx x yln ?=?yz u yx x z ，所以 1ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz ．例9 求xy z xy e =+在点()1,2处的全微分．解因xy z y ye x ?=+?, xy zx xe y=+得11222222e ,1e x x y y zz xy====??=+=+??，于是 ()()1222d 22e d 1e d x y zx y ===+++ ．3.1.2全微分的运算法则类似于⼀元函数微分的运算法则，有定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ，(),g x y 在(),P x y 处可微，则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微，且[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;2) 若k 为常数，()+kf x y 在点(),x y 处可微，且[][]()()+=+d kf x y kd f x y ；3) ()()+?+f x y g x y 在点(),x y 处可微，且[][][]()()()()()()+?+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;4) 当g (x ,y )≠0时，()()f x yg x y ++在点(),x y 处可微，且 2()()d ()()d ()d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ??++++++=?++．例10 求()22sin z x x y =+的全微分．解()()22222sin 2cos z x y x x y x ?=+++?，()222cos zxy x y y=+， ()()()222222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx =+=+++ ()()()2222222sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ??=+++++??习题9—21．求下列各函数的偏导数：(1) 22365z x xy y =++; (2) ln y z x=； (3) xyz xye =； (4) yz u x =．2．已知()(),2xf x y x y e =+，求()0,1x f ，()0,1y f ．3．设z x y =+，求()()3,40,5,z z xy．4．设11+=e x y z ??-，求证：222z z xy z x y+=．5．求下列函数的所有⼆阶偏导数．(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+； (3) ()ln z x xy =； (4) arctan x u y=． 6．设()222,,f x y z xy yz zx =++，求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0x x x z y zf f f -及()2,0,1zzx f ．7．验证r =2222222r r r x y z r++=．8．求下列函数的全微分.(1) 32645z xy x y =+； (2) xyz e =； (3 ) xz xyy=+； (4) z =9．设()1,,zy f x y z x ??=，求()1,1,1|dz ． 10．设,1,1,0.15,0.1,xy z e x y x y ===?=?=求dz ．。
高等数学课件 同济四版
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)1_1 函数-PPT精选文档
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
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由自变量的对称性知 f y 0,0 0. 又例 z
x2 y2 d( x ) f x 0,0 不存在 dx x 0
y
x
9
二、高阶偏导数
例6
z 3 x 2 y 2 3 y 3 y, x
二阶偏导数 2 z z 6 xy2 , x x 2 x
12
第三节
全微分及其应用
一．全微分的定义 *二．全微分在近似计算中的应用 1．定义 函数 z f ( x, y ), z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 称为全增量,
若
z Ax By o( ), 其中 ( x ) 2 ( y ) 2 , A, B仅与x, y 有关，与 x , y 无关，则称函数 z f ( x, y )
4
f x 0 , y 0 y f x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 lim y 0 y
存在， 则这个偏导数就是 x , y 的函数, 称为函数 f x , y 对 x 的 z f , , z x , f x x , y . 偏导(函)数。记作 x x 类似定义函数 f x , y 对 y 的偏导(函)数。 记作 若函数 f x , y 在区域 D 内每一点 x , y 处对 x 的偏导数都
2 2
y2 x2
2
,
x2 y2
2z 2z y2 x2 x2 y2 2 0. 2 2 2 2 2 x y x y x 2 y 2
11
1 例8.证明函数 u r r
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课ppt课件
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
y
y
(x1)2y21
y ex
o
x
o
x
.
(2) 函数的奇偶性:
设 D 关于原 ,对 点 于 x 对 D ,有 称
f(x)f(x) 称 f(x)为偶 ; 函数
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
定义 1 设函数 f ( x )在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x )在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连
x x 0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记 lif ( 作 m x ) ( 或 li f ( x m ) ).
x x 0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
点
无穷型
y
0
x
振荡型
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x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
邻域,记做 U ( p0 , ) ,或简记为U （p0 ) .几何上,点 p0 的邻域, 就是以 p0 为圆心, 为半径的圆的内部.
2.区域的概念 若点集 D 是由一条或几条曲线所围成的部分平面，且是 连通的(连通是指: D 内任意两点，都能用一条全部在 D 内的 折线连接),则称点集 D 为区域， 围成 D 的曲线称为 D 的边界. 区域 D 内的点及边界上的点的集合称为闭区域. 如果区域 D 能包含在一个以原点为圆心的圆内，那么称 D 是有界区域，否则称无界区域.
例 1 求函数 z
ln （y x） 1 x2 y 2
的定义域.
解 x, y 应满足不等式组 y x 0, y x, 即 2 2 2 2 1 x y 0, x y 1, 所以定义域为 （ x, y) | x 2 y 2 1且y x （图 8-1）.
第八章
多元函数微分学及其应用
多元函数 偏导数 全微分 复合函数的求导法则 多元函数的极值
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第一节
一、邻域和区域 一、区域
多元函数
1.邻域的概念 设 p0 ( x0 , y0 ) 是 xOy 面上一点, 是一个(较小的)正 数 , 点 集（x0 , y0 ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 称 为 点 p0 的
复合而成,而
f (u , v ) eu sin v （ f (u, v) 与 f ( x, y ) 是同一函数）,
所以
f ( xy , x y ) e xy sin( x y ) .
2. 二元函数的极限 三、 二元函数的极限
（ y的某一邻 定义 2 设二元函数 的某一邻 z , x, y ) 在点 设二元函数 z = f (x y)f ( 在点 P0 (xP , yx )， 0 0） 0 00 域U （P0） 内有定义 ( 点 P0 可除外 ), U （P0） 内异于P0 的任意一 点，如果当 P( x, y ) 以任何方式无限接近P0 ( x0 y0 ) 时,函数对 应的函数值 f ( x, y ) 无限接近于某个确定的常数 A,那么称 x x0, y y0 时, f ( x, y ) 有极限 A,记作 lim f ( x, y ) A . x x
y x2 y2 1 y=x O 图8-1
例 2 求函数 Z
y
x
-3
O
3 y=-x 图8-2
x
1 x arcsin 的定义域. x y 3 x y 0, 解 x, y 应满足不等式组 x 1 1, 3
即
y x, 3 x 3,
lim
x0 y1 1 2
xy 例 5 证明 lim 2 不存在 x0 x y 2 y 0
证 要证明极限不存在， 只需说明 P 以两种特殊的方 式趋于 P0 时, f ( x, y ) 趋于不同的常数. 当 P( x, y ) 沿直线 y=0 趋于点(0,0)时,有 xy x0 lim 2 lim 2 lim 0 0 , x 0 x y 2 x 0 x 0 2 x 0 y 0 当 P( x, y ) 沿直线 y=x 趋于点(0,0)时,有 xy x2 1 1 lim 2 lim 2 lim , 2 2 x 0 x 0 x 0 2 x y x x 2 y x 0 所以 lim f ( x, y ) 不存在.
二、二元函数
二、二元函数 1. 二元函数的概念
实例 正圆锥体的体积 V 和它的高 h 及底面半径 r 之 1 V πr 2 h 间有如下关系: 3 如果 r 和 h 是变量，那么当 r 和 h 变化时,V 也变化;当 r 和 1 h 取定一组数时， 通过关系式V πr 2 h ,V 有惟一确定的值 3 与之对应.数学上称 V 是 r, h 的函数. 定义 1 设 D 是一个平面点集,如果对于 D 的任意一点
P ( x, y ) ,变量 z 按照一定的法则总有惟一确定的值与之对应，
那么称 z 是变量 x, y 的二元函数(或称 z 是点 P 的函数),记作
z f ( x, y )( 或 z f ( P ))
点集 D 称为函数的定义域, x, y 称为自变量.
类似地,可以定义三元函数u f ( x, y , z ) 及三元以上的 函数.二元及二元以上的函数称为多元函数. 二元函数的图形一般是一张曲面 . 例如，二元函数 z x 2 y 2 ,几何上表示上半圆锥面.
y y0
0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限 ,二重极限 是一元函数极限的推广 ,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例4 求极限
lim
x 0 y 0
x2 y2 1 x2 y2 1
解 显然，当 x 0, y 0 时 , x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理 ,有
所以定义域为（ x, y ) | 3 x 3且y x(图 8-2)
例 3 设 f ( x, y ) e x sin y ,求 f ( xy, x y )
解 设
u xy , v x y , 则
f ( xy, x y ) 是由 f (u , v), u xy, v x y