数学建模复习题

1．什么是数学模型和数学建模？数学建模的方法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。

数学建模：利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解和检验

一种抽象模型，是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这个数学结构：是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

2．椅子放稳问题

§2.1椅子能在不平的地面上放稳吗

问题分析

模型假设

通常~ 三只脚着地放稳~ 四只脚着地

•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形

;

•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

•通过旋转的方式调整椅子的位置

3．核军备竞赛的模型及分析，如乙安全线的性质及分析等，模型解释及应用

4．存贮模型相关内容和方法

§3.2存贮模型

背景及问题

配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付一次性生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。

该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。

已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。

要求建立最佳生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。

问题分析与思考

•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。

日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。

•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100

=122500元，准备费5000元，总计127500元。

平均每天费用950元

平均每天费用2550元

10天生产一次平均每天费用最小吗?

每天费用5000元

模型假设

1. 产品每天的需求量为常数r；

2. 每次生产准备费为c

1, 每天每件产品贮存费为c

2

；

3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量

为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；

建模目的

设r, c

1, c

2

已知，求T, Q使每天总费用的平均值最小。

4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

不允许缺货的存贮模型

6．指数增长模型和Logistic模型，求解、性质及其应用

图3-5

模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945

图3-6

Malthus 模型和Logistic 模型的总结

Malthus 模型和Logistic 模型均为对微分方程（3）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r 为一常数，（r 被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。

Malthus 模型与Logistic 模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有类似的性质即可。

7．某企业生产两种混合配料A 和B ，每100千克的成本分别为100元和80元。两种混合配料含三种营养成分，但它们的含量各不相同，在每100千克混合配料中各种营养成分的含量分别如下表:

少25千克，营养成分丙至少36千克，问满足这些要求的最低成本为多少？用LINDO 软件如何求解。

8. 钢管下料问题及其数学规划模型

5．植物基因的分布

植物基因的分布

设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA 、Aa 和aa 。研究所计划采用AA 型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？

2. 模型假设n n n c b a ,,分别表示第n 代植物中基因型为AA,Aa,aa

的植物占植物总数的百分率。

1

=++n n n c b a 第n 代植物的基因型分布为,)

(⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n n n n c b a x

,)

(⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0000c b a x 表示植物基因型初始分布。

假设1

()01

10021011100

021000

110021011

1x n

-⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=/0

1

1000212102112111x n n n n ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=--//)/()/(⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--++=--021212121010010000c b c b c b a n n n n )/()/()/()/(⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=--021*********

001

0c b c b n n n n )/()/()/()/(

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛+--=--021*********

0010c b c b n n n n )/()/()/()/(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n c b a x )

(当时，∞→n 001→→→n n n b b a ,,经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA 型。

5. 结论

10. 差分方程，市场经济中的蛛网模型