(完整版)北师大版七年级下全等三角形专题训练

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(完整版)北师大版七年级下册_全等三角形证明经典题

七年级下册《全等三角形》证明专题练习1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB =3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证21∠=∠4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBCBA CDF2 1 E5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C6、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7、已知：AB=6，AC=2，D 是BC 中线，求AD 的取值范围。

8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

9、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CADBCCDB DCBA FEA10、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE12．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．13．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA14．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP于D ．求证：AD +BC =AB ．15．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B,求证:AB=AC+CDAB C DPEDCB A D CBA16．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．17．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：18．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．19、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

北师大版七年级数学下册《判定三角形全等的四种思路》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析专训3判定三角形全等的四种思路名师点金：全等三角形是初中几何的重要内容之一，是几何入门最关键的一步，学习了判定三角形全等的几种方法之后，如何根据已知条件说明三角形全等，掌握说明全等的几种思路尤为重要．条件充足时直接用判定方法1．【中考·武汉】如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试说明：AB∥CD.(第1题)条件不足时添加条件用判定方法2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．(第2题)非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3．如图是一个风筝模型的框架，由DE＝DF，EH＝FH，就能说明∠DEH＝∠DFH.试用你所学的知识说明理由．(第3题)4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到点G，使DG＝BD，延长ED到点F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到点H，使H，D，A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．(第4题)答案1．解：在△AOB 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ，所以△AOB ≌△COD.所以∠A ＝∠C.所以AB ∥CD.2．解：补充条件：EF ＝BC ，可使得△ABC ≌△DEF.理由如下：因为AF ＝DC ，点A ，F ，C ，D 在一条直线上，所以AF ＋FC ＝DC ＋FC ，即AC ＝DF.因为BC ∥EF ，所以∠EFD ＝∠BCA.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，∠BCA ＝∠EFD ，AC ＝DF ，所以△ABC ≌△DEF(SAS)．点拨：答案不唯一．(第3题)3．解：如图，连接DH.在△DEH 和△DFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，EH ＝FH ，DH ＝DH ，所以△DEH ≌△DFH(SSS)．所以∠DEH ＝∠DFH(全等三角形的对应角相等)．4．解：在△DEB 和△DFG 中，因为DB ＝DG ，∠BDE ＝∠GDF ，DE ＝DF ，所以△DEB ≌△DFG(SAS)．所以∠E ＝∠F.所以AE ∥FH.所以∠DBA ＝∠DGH.又因为DB ＝DG ，∠ADB ＝∠HDG ，所以△ADB ≌△HDG(ASA)．所以HG ＝AB.。

北师大版七年级数学下册综合题专练：全等三角形含参考答案

全等三角形1．小明不小心将一块三角形玻璃（记ΔABC）打破成三块（分别Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如图所示，他在玻璃碎片Ⅱ上任取一点D，连接DE、DF，度量得到∠EDF=100º，∠1=40º，∠2=20º，根据以上数据，你能计算出原ΔABC中哪个内角的度数，是多少度？说明理由.2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，∠BOE=83°，求∠AOF的度数．3．如图，直线l分别交AB,CD于点M,N(点M在点N的右侧)，若∠1=∠2(1)求证:AB//CD；(2)如图，点E、F在AB，CD之间，且在MN的左侧，若∠MEF+∠EFN=255°，求∠AME+∠FNC的度数；(3)如图,点H在直线AB上,且位于点M的左侧;点K在直线MN上,且在直线AB的上方.点Q在∠MND的角平分线NP 上，且∠KHM=2∠MHQ，若∠HQN+∠HKN=75°，直接写出∠PND和∠QHB的数量关系.4．如图,在三角形ABC中, ∠B=60°, ∠C=α，点D是AB上一点,点E是AC上一点, ∠ADE=60°, 点F为线段BC 上一点，连接EF，过D作DG//AC交EF于点G，(1)若α=40°，求∠EDG的度数；∠BFG，求α.(2)若∠FEC=2∠DEF，∠DGF=345．如图，已知△ABC，按要求做图.(1)过点A 作BC 的垂线段AD(无需尺规作图，直接画出).(2)过点C 作AB 的平行线(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B，M是AB的中点.求证：CM=DM.7．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，且CD=CE.（1）求证：ΔACD≅ΔBCE；（2）若∠A=70°，求∠E的度数.8．如图①，∠MON=70°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠MAB与∠NBA的平分线交于点P．(1)点A、B在运动过程中，∠P的大小会变吗？如果不会，求出∠P的度数；如果会，请说明理由．(2)如图②，继续作BC是平分∠ABO，AP的反向延长线交BC的延长线于点D，点A、B在运动过程中，∠D的大小会变吗？如果不会，求出∠D的度数；如果会，请说明理由.(3)如图②，∠P和∠D有怎样的数量关系？(直接写出答案)9．ΔABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边AB于点D．（1）如图，若∠ABC=40°，则∠AOC= ，∠ADO= ；（2）猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由；10．已知∠α和∠β求作∠AOB=2∠α+∠β（要求：只画图形，不写画法）11．（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O.①线段AE与CD的数量关系为：___________；∠AOC的度数为__________.②ΔCBD可看作ΔABE经过怎样的变换得到的？____________________________.（2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=45°，若AD＝8，CD＝6，请直接写出B，D两点之间的距离12．已知线段a（保留作图痕迹，不必写作法）（1）求作等腰直角三角形ABC，使其斜边BC的长等于线段a的长；（2）作∠B的平分线BD，∠C的平分线CE，BD，CE相交于点O；（3）请直接写出∠BOC的度数_________.13．作图题（不写做法，保留作图痕迹）如图已知∠ABC，请你作一个角，使它等于2∠ABC.14．已知：如图，ΔABC，ΔADE均为等腰直角三角形，点D，E，C在同一直线上，连接BD.(1)求证：ΔADB≅ΔAEC；(2)求∠BDC的度数.15．如图，已知△ABC.（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P到AB边和BC边的距离相等，且⊙P经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）若∠B=60°，AB=6，求⊙P的半径．16．如图，∠AOB = 90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P 为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全如图，并证明PE = PF；（2）如图，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．17．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图，⊙O．求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．作法：如图，①过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；②作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；③顺次连接AB，BC，CD和DA；则正方形ABCD就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全如图中的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC =∠ADC = °，又∵点B在线段AC的垂直平分线上，∴AB = BC，∴∠BAC = ∠BCA = °．同理∠DAC = 45°．∴∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．∴∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填依据），又∵AB = BC，∴四边形ABCD是正方形．18．如图所示，点E在△ABC外部,点D在BC边上，DE交AC于F,若∠1=∠2,∠C=∠E, AE=AC．(1)求证: △ABC≌△ADE;(2) 求证:∠2=∠3;(3)当∠2=90°时，判断△ABD的形状,并说明理由.19．如图，∠B=∠E, AB=EF, BD=CE,请判断AC与FD的关系，并说明理由.20．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1,点A、B、C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点) .(1)标出格点D,使线段AB//CD ;(2)标出格点E,使CE是△ABC中AB边上的高；(3) 求B到AC的距离；(4)求△ABC的面积.21．（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2，在RtΔGMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，GM=3,P为MN中点,求MQ的长度.22．（生活常识）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等。

北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案

最新北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案最新七年级下册三角形全等的证明1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEA B DCE 122、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。

求证：AF=CE。

F EA CDB3、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

AEDCB4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

E6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。

你添加的条件是：________ ___（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。

求证：EB=ED。

DA E CB8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。

求证：∠ACE=∠BDF。

AB CDEFO9、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

求证：BF⊥AC。

AE FDB C10、. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。

(完整word版)北师大版数学七年级下三角形练习题含答案

全等三角形001（总分：171.0 考试时间：132分钟）一、判断题：1、如图, △ABC中AB＞AC, AD是角平分线, P为AD上任意一点. 则: AB-AC＞PB-PC. ( )2、角平分线上的点到角两边的距离相等 ( )3、如果△ABC≌△Ａ'B'C',D在BC上, D'在B'C'上,∠BAD＝∠B'A'D',那么一定有AD＝A'D' ( )4、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角形, △ABD、△BCE、△ACF,则CD＝AE＝BF. ( )5、如图, 已知: △ABC中, D是BC的中点, DE∥AB,且交AC于E, DF∥AC,且交AB于F,则DE＝BF, DF＝CE. ( )二、单选题：6、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为 1 , 则不正确的结论是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等7、若三角形中一角的平分线是它对边的中线 , 则这个三角形一定是______三角形．[ ]A.等腰B.直角C.等边D.等腰直角8、已知：如图 , △ABC是等边三角形 , D、E、F分别是三边上的中点 , 则和△ABD全等的三角形有_______个（除去△ABD）[ ]A.3 B.4 C.5 D.69、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和底边上的高, 能确定一个等腰三角形的是[ ]A.①和②B.③和④C.②和④D.①和④10、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是[ ]A.AC=EDB.AC⊥EDC.∠C+∠E=90°D.∠D+∠C=90°11、在△ABC和△A'B'C'中, 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是[ ]A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'．12、如图等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同侧, 则下列式子中错误的式子是[ ]A.△ABD≌△EBCB.△NBC≌△MBDC.NBE≌△MBAD.△ABE≌△BCD13、已知：如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的组数是[ ]A.5 B.4 C.3 D.214、若△ABC中, 有AB∶BC∶CA=2∶3∶4 , △A'B'C'中必有A'B'∶B'C'∶C'A'=2∶3∶4且周长不同, 则下面结论成立的是[ ]A．AB=A'B' , AC=A'C' , BC=B'C'B．∠A=∠A' , AB=A'B' , AC=A'C'C．△ABC≌△A'B'C'D．△ABC不全等于△A'B'C'15、已知：如图, AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是[ ]A.∠Ａ与∠Ｄ互为余角B.∠A=∠２C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠２三、填空题：16、如图, 已知：AB=AC , D是BC边的中点, 则∠1＋∠C=_________度．17、已知：如图,AB=DE,AC=DF,要证△ABC≌△DEF,所缺一个条件是__________或__________．18、有一边相等的两个等边三角形_________________________．19、在括号里加注理由．已知：△ABC中, AB=AC , BD=DC , B、D、C在同一条直线上．求证：AD⊥BC．证：在△ABD和△ACD中20、三角形全等的四种判定方法是：①________②_______③________④_________．21、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,AD=_______．22、已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是______,另外两组对应角是_____．23、能够完全重合的两个图形叫做_________．24、完成下面的证明．已知：如图AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF证明：∵AF=DE(已知)∴AF-EF=DE-EF( ) 即AE=DF在△ABE和△DCF中∵AB=CD , BE=CF( )AE=DF( )∴△ABE≌△DCF( )25、被等腰直角三角形斜边上的高分成的两个等腰直角三角形___________．26、已知:如图,AB=BE,∠1=∠2,∠ADE=120°,AE、BD相交于F,求∠３的度数为______．27、已知：如图, AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________．29、30、等腰三角形两腰上的高_______________．四、证明题：31、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF32、求证：全等三角形的对应角平分线相等．33、已知:如图,AB⊥CD,垂足为D,AD=BD．求证:AC=BC．34、已知：四边形ABCD中, AC、BD交于O点, AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．求证：AD=BC35、已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C36、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE37、已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D38、已知：如图, A、E、F、B在一条直线上, AC=BD , AE=BF , CF=DE．求证：AD=BC．39、如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等,那么这两个三角形全等．40、已知：如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：OD＝OE．全等三角形001 试卷标准答案（总分：171 考试时间：132分钟）一、判断题：本大题共5小题，从第1小题到第5小题每题 2.0分小计10.0分；共计10.0分。

(完整版)北师大七年级下全等三角形测试题(50分钟)

DACFD D EC FDE 图 9H一．选择题：全等三角形测试题13．已知，如图 13－6，D 是△ABC 的边 ABA上一点, DF 交 AC 于点 E, DE=FE, FC ∥AB,F 1.在△ABC 和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A ．BC=B’C’ B ．∠A=∠A’ C ．AC=A’C’ D ．∠C=∠C’2. 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A ．45°B ．135°C ．45°或 135°D ．都不对 3.现有两根木棒，它们的长分别是 40cm 和 50cm ，若要钉成一个三角形木求证：AD=CF ．BC图 13－6 架，则在下列四根木棒中应选取（） A ．10cm 的木棒 B ．40cm 的木棒 C ．90cm 的木棒 D ．100cm 的木棒二、填空题： 4. 三角形 ABC 中，∠A 是∠B 的 2 倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大 12 度，则这个三角形是＿＿三角形．5. 以三条线段 3、4、x －5 为这组成三角形，则 x 的取值为＿＿＿＿．6. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．7. △ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交 BC 于点 D ，若CD ＝8cm ，则点 D 到 AB 的距离为＿＿＿＿cm ．8．.AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边 BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线 AD 的取值范围是＿＿＿＿．三、解答题：11．已知：如图 13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 14．如图 5－7，△ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D, F 为垂足, DE ⊥AB 于 E ，且 AB>AC ，求证：BE －AC=AE ．BF C16．如图 9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 F ，求证： ∠ADC ＝∠BDE ．求证：△EAD ≌△CAB ． EB图 13－4AEB图 9AB CD⎪⎩六、参考答案提示1. C ．（提示：边边角不能判定两个三角形全等．）2. C ．（提示：由三角形内角和为 180°可求，要注意有两个不同的角．）3. B ．（提示：利用三角形三边的关系，第三根木棒 x 的取值范围是：10cm ＜x ＜90cm ．＝ ∠ECB ，又 ∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△ AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC,∠BAE=∠CAE. C16．如图 11 所示，过 B 点作 BH ⊥BC 交 CE 的延长线于 H 点．∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°，FD∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中,AEB4．C ． (提示：A 不能构成三角形，B 满足边边角，不能判定三角形全等，D 项可画出无数个三角形．) 5．B ．（提示：∠CDE ＝∠B ＋∠－∠＝∠－∠B ，故得到 2（∠B －∠）＋∠＝0．又∵∠－∠B ＝∠－∠C ＝∠CDE ，所以可得到∠CDE ＝，故当∠为定值时，∠CDE 为定值．）∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°，∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ， ∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°⎧BD = BH ,图 11H 26．钝角．（提示：由三角形的内角和可求出∠A 、∠B 和∠C 的度数） 7．6＜x<12．（提示：由三边关系可知：4－3＜x －5＜4＋3． 8．三角形的稳定性．9．8．（提示：点 D 到 AB 的距离与 CD 的长相等．） 10．4＜BC ＜20；2＜AD ＜10．（提示：要注意三角形一边上的中线的取值范围是大于另两边之差的一半，小于两边之和的一半．） 11. 提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由 SAS 即可证明．12. ①△ABC ≌△DBE ，BC=BE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BD ，符合SAS ；②△ACB 与△ABD 不全等，因为它们的形状不相同，△ACB 只是直角三角形，△ABD 是等腰直角三角形；③△CBE 与△BED 不全等，理由同②；④△ACE 与△ADE 不全等，它们只有一边一角对应相等． 13. 提示：由 ASA 或 AAS ，证明△ADE ≌△CFE ．14. 过 D 作 DN ⊥AC, 垂足为 N, 连结 DB 、DC 则 DN=DE ，DB=DC ，又 ∵DE ⊥AB, DN ⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN ， ∴BE=CN ．又 ∵AD=AD ，DE=DN ，∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ，∴AN=AE ，∴BE=AC+AN=AC+AE ，∴BE －AC=AE ． 15. 上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中， ∵BE=CE ， ∴∠EBC=∴在△BED 和 BEH 中， ⎨∠EBD ＝∠EBH, ，∴△BED ≌△BEH ．⎪BE ＝BE, ∴∠BDE ＝∠H ， ② 由①②得，∠ADC ＝∠BDE ．。

专题探索三角形全等的条件(HL)(专项练习)数学七年级下册(北师大版)

专题4.17 探索三角形全等的条件（HL ）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，AC AD =，则判定Rt Rt ABC ABD ≌的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．HLD ．无法确定2．如图，在ABC 中，90C ∠︒＝，DE AB ⊥于点D ，BC BD ＝，若8AC ＝cm ，则AE DE +的值为（）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm3．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（） A ．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B ．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D ．两个面积相等的直角三角形全等4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．⊥BAD ＝⊥CADD ．⊥B ＝⊥C5．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C ，D ，AC BD =，32CBA ∠=︒，则CAD ∠等于（）A ．32︒B ．58︒C ．24︒D ．26︒6．已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程： ⊥⊥⊥BED ＝⊥CFD ＝90°， ⊥⊥()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△． ⊥⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，证明步骤正确的顺序是（） A ．⊥→⊥→⊥→⊥ B ．⊥→⊥→⊥→⊥ C ．⊥→⊥→⊥→⊥D ．⊥→⊥→⊥→⊥7．如图，在ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AF 分别交BE ，BC 于点F ，D ，AE BE =，若依据“HL ”说明AEF BEC ≌，则下列所添条件合理的是（）A ．EF CE =B ．AFEC ∠=∠C ．BD AD ⊥D ．AF BC =8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．39．如图，BD=CF ，FD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BE=CD ，若⊥AFD=135°，则⊥EDF 的度数为（）A ．55°B ．45°C ．35°D ．65°10．如图，在⊥ABC 中， AC ＝BC ，过点 B 作射线 BF ，在射线 BF 上取一点 E ，使得∠CBF ＝∠CAE ，过点C 作射线 BF 的垂线，垂足为点 D ，连接 AE ，若 DE ＝1，AE ＝4 ，则 BD 的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题11．如图，AB BC AD DC ⊥⊥，，请你添加一个条件_______，利用“HL ”，证明Rt Rt ABC ADC ≌．12．如图，在Rt ABC 与Rt DEF △中，90B E ∠=∠=，BF CE =，AB DE =，50A ∠=，则DFE ∠=______．13．如图，点D 、A 、E 在直线m 上AB AC =，90BAC ∠=︒，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，且BD AE =，若3BD =，5CE =，则DE =___________．14．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB 与右边滑梯的高度DE 相等．若右边滑梯与地面的夹角55DFE ∠=︒，则ABC ∠的度数为______°．15．如图，四边形ABCD ，连接BD ，AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，AB ＝CE ，BD ＝CD ．若AD ＝5，CD ＝7，则BE ＝________．16．Rt ⊥ABC 和Rt ⊥DEF 如图放置，其中⊥ACB ＝⊥DFE ＝90°，AB ＝DE 且AB ⊥DE ．若AC ＝6，EF ＝4，CF ＝3，则BD 的长为______．17．如图，四边形ABCD 中，⊥B ＋⊥D ＝180°，AC 平分⊥DAB ，CM ⊥AB 于点M ，若AM ＝4cm ，BC ＝2.5cm ，则四边形ABCD 的周长为_____cm ．18．如图，在Rt ⊥ABC 中，90C ∠=︒，12cm AC =，6cm BC ，一条线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使⊥ABC 和⊥QPA 全等，则AP =_____．三、解答题19．如图，已知A 、F 、B 、D 在同一直线上，且AF BD =，90C E ∠=∠=︒，AC DE =，BC 与EF 相交于点O ．(1) 求证：ABC DFE △≌△； (2) 若50D ∠=︒，求COF ∠的度数．20．如图，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北、正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，均以60km/h 的速度沿直线行驶，2小时后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，1小时后同时到达A 、B 两点．(1) 请写出CE 与DF 的数量关系______，AC 与BD 的数量关系______； (2) 由（1）中的结论，试探究CE 与DF 的位置关系，并说明理由．21．如图，已知AD BC 、相交于点O ，AB CD =，AM BC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，BN CM =．(1) 求证：ABM DCN △≌△；(2) 试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．22．如图，在Rt ABC △和Rt ADE △中，==90?ABF ADE ∠∠，BC 与DE 相交于点F ，且=AB AD ，=AC AE ，连接CD ，EB ．(1) 求证：CAD EAB ∠=∠；(2) 试判断CF 与EF 的数量关系，并说明理由23．如图，在ABC 中，AB AC DE =，是过点A 的直线，BD DE ⊥于D ，CE DE ⊥于点E ；(1) 若B C 、在DE 的同侧（如图1所示）且AD CE =．求证：DAB ECA ∠=∠； (2) 若B C 、在DE 的两侧（如图2所示），其他条件不变，AB 与AC 垂直吗？若垂直请给出证明；若不垂直，请说明理由．24．题提出：学习了三角形全等的判定方法“SSS ”“ SAS ”“ ASA ”“ AAS ”和“HL ”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．初步思考：他们先用符号语言表示了这个问题：在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠．然后，对B ∠进行分类，可分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．深入探究：过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整． (1) 第一种情况：当B ∠是直角时，ABC DEF ≅△△．如图1，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，90B E ∠=∠=︒，根据，可以知道ABC DEF ≅△△．(2) 第二种情况：当B ∠是钝角时，ABC DEF ≅△△．如图2，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是钝角，求证：ABC DEF ≅△△．(3) 第三种情况：当B ∠是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等．在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是锐角，请你用尺规在图3中作出DEF ，使DEF 和ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4) 在（3）中，B ∠与C ∠的大小关系还要满足什么条件，就可以使ABC DEF ≅△△？请根据以上作图过程直接写出结论．参考答案1．C【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等．解：AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴在Rt ABC △和Rt △ABD 中，AC ADAB AB=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt Rt ABC ABD ≌（HL ）．故选：C ．【点拨】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件． 2．B【分析】由条件可证明Rt CBE Rt DBE ≌，则可求得DE EC =，可求得答案．解：⊥DE AB ⊥， ⊥90BDE ∠=︒ ⊥90C BDE ∠=∠=︒，在Rt CBE 和Rt DBE 中，BE BEBC BD=⎧⎨=⎩ ⊥()Rt CBE Rt DBE HL ≌， ⊥CE DE =，⊥8AE DE AE CE AC cm +=+== 故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握HL 证全等及边的转换．3．D【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案．解：A 、利用AAS 来判定全等，不符合题意； B 、利用SAS 来判定全等，不符合题意； C 、利用HL 来判定全等，不符合题意；D 、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、HL 等．4．A【分析】根据已知和公共边科证明⊥ADB⊥⊥ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．解：⊥AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ， ⊥Rt⊥ADB ⊥Rt⊥ACD （HL ），⊥BD ＝CD ，⊥BAD ＝⊥CAD ，⊥B ＝⊥C （全等三角形的对应角、对应边相等）故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立．故选A ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．5．D【分析】根据已知条件可以利用HL ，判定Rt Rt ADB BCA △≌△，全等后可得32DAB CBA ∠=∠=︒，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得58CAB ∠=︒，进而可求得CAD ∠．解：证明：AC BC ⊥，AD BD ⊥，90D C ∴∠=∠=︒，在Rt ADB 和Rt BCA 中，BD ACAB BA =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADB BCA ∴≌△△，⊥32DAB CBA ∠=∠=︒，在Rt BCA 中，90CAB CBA ∠+∠=︒, ⊥58CAB ∠=︒，⊥583226CAD CAB DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒, 故选：D ．【点拨】本题考查全等三角形的判断定理，HL 定理，根据已知条件求证Rt Rt ADB BCA △≌△是解题关键．6．B【分析】根据垂直定义得出⊥BED =⊥CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．解：证明：⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥BED =⊥CFD =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩， ⊥Rt △DEB ⊥Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．7．D【分析】根据“HL ”进行判断即可．解：由题意得，AEF △和BEC 中，有一组直角边对应相等，即AE BE =缺少斜边对应相等，即AF BC =，故选：D ．【点拨】此题主要考查了“HL ”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．8．A【分析】先证明Rt ACD ⊥()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．解：AD 是ABC 的高，AD BC ∴⊥，ADC BDE 90∠∠∴==︒，在Rt ACD 和Rt BED 中，AC BE AD BD =⎧⎨=⎩， Rt ACD ∴⊥()Rt BED HL ，CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，C CAD 90∠∠+=︒，C EBD 90∠∠∴+=︒，BFC 90∠∴=︒，BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，111AC BF AD BD CD AD 222∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，即10BF 8886112=⨯+⨯=，BF 11.2∴=，EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．B【分析】由⊥AFD=135°知⊥DFC=45°，根据“HL”证Rt⊥BDE和Rt⊥CFD得⊥BDE=⊥CFD=45°，从而由⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE可得答案．解：⊥⊥AFD=135°，⊥⊥DFC=45°，⊥DE⊥AB，DF⊥BC，⊥⊥DEB=⊥FDC=90°，在Rt⊥BDE和Rt⊥CFD中，⊥BD CFBE CD=⎧⎨=⎩，⊥⊥BDE⊥⊥CFD（HL），⊥⊥BDE=⊥CFD=45°，⊥⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE=45°，故选B．【点拨】考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．B【分析】连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M，从而易得⊥CDB ⊥⊥CMA，进而根据全等三角形的性质及题意可得CD＝CM ，进而得到Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM，然后问题得解．解：如图，连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M ．CD⊥BF ，CM⊥AM ，∴∠CDB＝∠M＝90︒，∠CBD＝∠CAM ，CB＝AC ，易证⊥CDB ⊥⊥CMA( AAS ) ，∴ CM＝CD ，BD＝AM ，∠M＝∠CDE＝90︒，CE＝CE ，CD＝CM ，∴ Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM (HL) ，∴ DE＝EM＝1 ，∴ BD＝AM＝AE +EM＝AE +DE＝1+4＝5 ．故选B ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．11．AB AD =或BC CD =【分析】根据“HL ”定理内容即可进行解答．解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．由图可知：Rt ABC △和Rt ADC 斜边为公共边，即AC AC =，⊥应添加：AB AD =或BC CD =，故答案为：AB AD =或BC CD =．【点拨】本题主要考查了用“HL ”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”．12．40°【分析】根据HL ，可以证明Rt ABC ≌Rt DEF △，则50D A ∠∠==，再根据余角的性质即可求出DFE ∠的度数．解：在Rt ABC ≌Rt DEF △中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ABC ≌()Rt DEF HL △⊥50D A ∠∠==，⊥90E =∠，⊥180180509040DFE D E ∠=-∠-∠=--=，故答案为：40°【点拨】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 13．8【分析】根据垂直得到直角三角形，利用HL 判定证明(HL)ADB CEA ∆∆≌，即可得到答案．解：⊥BD m ⊥，CE m ⊥，⊥90BDA CEA ∠=∠=︒，在Rt ADB ∆与Rt CEA ∆中，⊥BD AE AB AC =⎧⎨=⎩， ⊥(HL)ADB CEA ∆∆≌，⊥3BD AE ==，5AD CE ==，⊥8DE AD AE =+=，故答案为：8．【点拨】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．14．35【分析】先证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出35DEF ∠=︒即可得到答案．解：由题意得90AB DE BC EF BAC EDF ====︒，，∠∠，⊥()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△，⊥ABC DEF ∠=∠，⊥55DFE ∠=︒，⊥9035DEF DFE ∠=︒-=︒∠，⊥35ABC ∠=︒，故答案为：35．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠是解题的关键．15．2【分析】根据HL 证明Rt Rt ABD ECD ≌，可得5ED AD ==，根据BE BD ED =-即可求解．解： AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，90BAD CED ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 与Rt ECD △中，AB CE BD CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABD ECD ≌，AD ＝5，CD ＝7，∴5ED AD ==，BD =CD ＝7，2BE BD ED ∴=-=故答案为：2【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．16．7【分析】先证明⊥A=⊥D，然后证明Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE得到BC=EF=4，DF=AC=6，即可求出BF=BC-CF=1，则BD=DF+BF=7．解：⊥⊥ACB=90°，⊥⊥A+⊥B=90°，⊥AB⊥DE，⊥⊥B+⊥D=90°，⊥⊥A=⊥D，又⊥⊥ACB=⊥DFE=90°，AB=DE，⊥Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE（HL），⊥BC=EF=4，DF=AC=6，⊥BF=BC-CF=1，⊥BD=DF+BF=7，故答案为：7．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．17．13【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证⊥AEC⊥⊥AMC，得到AE＝AM．证明⊥ECD⊥⊥MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，⊥AC平分⊥BAD，⊥⊥EAC＝⊥MAC，⊥CE⊥AD，CM⊥AB，⊥⊥AEC＝⊥AMC＝90°，CE＝CM，在Rt⊥AEC和Rt⊥AMC中，AC=AC，CE=CM，⊥Rt⊥AEC⊥Rt⊥AMC（HL），⊥AE＝AM＝4cm，⊥⊥ADC ＋⊥B ＝180°，⊥ADC ＋⊥EDC ＝180°，⊥⊥EDC ＝⊥MBC ，在⊥EDC 和⊥MBC 中，DEC CMB EDC MBC CE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EDC ⊥⊥MBC （AAS ），⊥ED ＝BM ，BC ＝CD ＝2.5cm ，⊥四边形ABCD 的周长为AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝AM ＋BM ＋AE ﹣DE ＋2BC ＝2AM ＋2BC ＝8＋5＝13（cm ），故答案为：13．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键． 18．12cm 或6cm##6cm 或12cm【分析】当AP ＝12cm 或6cm 时，⊥ABC 和⊥PQA 全等，根据HL 定理推出即可．解：⊥⊥C ＝90°，AO ⊥AC ，⊥⊥C ＝⊥QAP ＝90°，⊥当AP ＝6cm ＝BC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥QAP 中⊥AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥QAP （HL ），⊥当AP ＝12cm ＝AC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥P AQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥P AQ （HL ），故答案为：12cm 或6cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．19．(1) 见分析； (2) 80︒．【分析】（1根据AF BD =，求出AB DF =，运用HL 即可证；（2）结合全等三角形的性质，利用锐角互余和三角形的外角，求解即可．解：（1）证明：AF BD =,AB DF ∴=，90C E ∠=∠=︒，在Rt ABC △与Rt DFE △中，AB DE AC DE =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DFE HL ∴≌ ；（2）()Rt ABC Rt DFE HL ≌，ABC EFD ∴∠=∠，90C E ∠=∠=︒,50D ∠=︒，9040ABC EFD D ∠=∠=-∠=︒，404080COF ABC DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．【点拨】本题考查了全等三角形的证明和性质、直角三角形锐角互余以及三角形的外角；构建线段相等，证明三角形的全等并正确计算时阶梯的关键．20．(1) CE DF AC BD ==， (2) CE DF ∥，理由见分析【分析】（1）根据路程=速度×时间可知，两车速度相同，同时出发，同时到达目的地，则行驶的路程相同，据此即可得到答案；（2）只需要利用HL 证明Rt Rt ACE BDF △≌△，得到=AEC BFD ∠∠，即可证明CE DF ∥．解：（1）解：由题意得，CE DF AC BD ==，，故答案为：CE DF AC BD ==，；（2）解：CE DF ∥，理由如下：在Rt ACE 和Rt BDF △中，AC BD CE DF =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ACE BDF △≌△，⊥=AEC BFD ∠∠，⊥CE DF ∥．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，正确理解题意得到CE DF AC BD ==，是解题的关键．21．(1) 见分析 (2) OA OD =，理由见分析【分析】（1）根据HL 可证明ABM DCN △≌△；（2）根据AAS 证明AMO DNO ≌△△可得结论．解：（1）证明：⊥BN CM =，⊥BN MN MN CM +=+，即CN BM =，⊥AM BC ⊥，DN BC ⊥，⊥90AMB DNC ∠=∠=︒，在Rt ABM 和Rt DCN △中，AB CD BM CN =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ABM DCN ≌△△；（2）解：OA OD =，理由如下：⊥ABM DCN △≌△，⊥AM DN =，在AMO 和DNO 中，AOM DNO AMO DNO AM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS AMO DNO ≌△△， ⊥OA OD =．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．(1) 见分析 (2) CF EF =，理由见分析【分析】（1）利用“HL ”证明Rt Rt ABC ADE △≌△得∠=∠BAC DAE ，继而知BAC DAB DAE DAB ∠-∠=∠-，据此即可得证；（2）根据三角形全等的判定定理证明ADC ABE △≌△，再证明DFC BFE △≌△，根据全等三角形的性质证明即可．（1）解：在Rt ABC △和Rt ADE △中，==AC AE AB AD⎧⎨⎩ ⊥()Rt Rt HL ABC ADE △≌△，⊥∠=∠BAC DAE ，⊥BAC BAD DAE BAD ∠-∠=∠-∠⊥CAD EAB ∠=∠；（2）在ADC △和ABE △中，===AC AE CAD EAB AB AD ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()SAS ADC ABE ≅△△⊥,DC BE ACD AEB =∠=∠又⊥Rt Rt ABC ADE △≌△，⊥ACB AED ∠=∠⊥ACB ACD AED AEB ∠-∠=∠-∠⊥DCF BEF ∠=∠在DFC 和BFE △中===DCF BEF DFC BFE DC BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()AAS DFC BFE △≌△，⊥CF EF =．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、AAS 或ASA 以及直角三角形的HL 以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．23．(1) 见分析 (2) AB AC ⊥，理由见分析【分析】(1)由已知条件，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌，根据全等三角形的性质即可得解；(2)同(1)，先证Rt ABD Rt CAE ≌，再利用角与角之间的关系求证90BAD CAE ∠+∠=︒，即可证明AB AC ⊥．解：（1）证明：⊥BD DE CE DE ⊥⊥，，⊥90ADB AEC ∠=∠=︒，在Rt ABD △和Rt CAE 中，AB AC AD CE=⎧⎨=⎩， ⊥()Rt ABD Rt CAE HL ≌，⊥DAB ECA ∠=∠；（2）AB AC ⊥，理由如下：同（1）一样可证得Rt ABD Rt CAE ≌，⊥DAB ECA DBA EAC ∠=∠∠=∠，，⊥90CAE ECA ∠+∠=︒，⊥90CAE BAD ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒，⊥AB AC ⊥．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌是解题的关键．24．(1) HL (2) 见分析 (3) 见分析 (4) B C ∠>∠【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF即可；（2）先证⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），则AG=DH，再证Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH，的⊥C=⊥F，然后由AAS证明⊥ABC⊥⊥DEF即可；（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则⊥DEF和⊥ABC 不全等；（4）利用（3）中方法可得出当⊥B≥⊥C时，则⊥ABC⊥⊥DEF．（1）解：⊥⊥B=⊥E=90°，⊥⊥ABC和⊥DEF是直角三角形，⊥AC=DF，AB=DE，⊥Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF（HL），故答案为：HL；（2）明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE 的延长线于点H．则⊥AGB=⊥DHE=90°，⊥⊥ABC=⊥DEF，⊥⊥ABG=⊥DEH，⊥AB=DE，⊥⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），⊥AG=DH，⊥AC=DF，⊥Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH（HL），⊥⊥C=⊥F，又⊥⊥ABC=⊥DEF，AB=DE，⊥⊥ABC⊥⊥DEF（AAS）；（3）：如图3，⊥DEF即为所求；（4）解：⊥B≥⊥C，理由如下：由图3可知，⊥C=⊥AFC=⊥B+⊥BAF，⊥⊥C＞⊥B，⊥当⊥B≥⊥C时，⊥ABC就唯一确定了，则⊥ABC⊥⊥DEF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。

北师大版七年级数学下册(三角形全等)专题训练

七年级数学定制一、选择题1.如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有( )组．A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB.测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是( )A. SASB. ASAC. AASD. SSS3.下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EFB. AB=DE，∠A=∠D，BC=EFC. AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EFD. ∠B=∠DEF，∠A=∠D AB=DE4、如图所示，AD平分∠BAC，AB=AC，连结BD、CD并延长分别交AC、AB于F、E 点，则此图中全等三角形的对数为( )A.2对B. 3对C. 4对D. 5对5、下列判断正确的是( )A. 顶角相等的的两个等腰三角形全等B. 腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等6、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )A. ∠M=∠NB. AM//CNC. AB=CDD. AM=CN7、在△ABC和△A′B′C′中A′B′=AB，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△A′B′C′≌△ABC，则补充的条件是( )A. A′C′=ACB. B′C′=BCC. ∠A′=∠AD. ∠C′=∠C8、观察如图图形，图(1)中有3个三角形，图(2)中有5个三角形，图(3)中有7个三角形，…若依此规律下去，则第2014个图形中三角形的个数是( )A. 4028B. 4029C. 4030D. 4031二、填空题9、按如下规律摆放三角形：第(n)堆三角形的个数为______ ．10、当三角形中一个内角β是另一个内角α的12时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“.如果一个”希望三角形“中有一个内角为54∘，那么这个”希望三角形“的”希望角“度数为______ ．三、解答题11、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．12、如图，ΔABC 中，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ． ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论． ⑵若连结DE ，则DE 与AB 有什么关系？并说明理由．13、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BDB C D AF G E14、如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．(1)△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．(2)猜想线段AD、BE、DE之间的关系.(直接写出答案)14、如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．(1)请判断：AF与BE的数量关系是______ ，位置关系是______ ；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．16、如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120∘的等腰三角形，以D为顶点作一个60∘角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：(1)线段BM、MN、NC之间的数量关系．(2)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．。

北师大版七年级下册全等三角形专项练习

全等三角形专项练习1．已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C=∠C1．求证：△ABC≌△A1B1C1．2．如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．4．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．5．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．6．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．7．如图，已知两条直线AB，CD相交于点O，且CO=DO，AC∥BD，求证：△AOC≌△BOD．8．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．9．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．10．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？11．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．12．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C 的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．13．已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．（1）若BC=4，tan∠ACB=，求S△DCP的值；（2）求证：∠AOB=3∠PAF．14．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．15．如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．16．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的四个条件（请从其中选择一个）：①AB=ED；②∠A=∠D=90°；③∠ACB=∠DFE；④∠A=∠D．17．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．18．在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．19．如图，AC与BD交于点E，且AC=DB，AB=DC．求证：∠A=∠D．20．如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，求证：∠B=∠F．。

北师大版七年级数学下册第三章《全等三角形》测试卷含答案3套

全等三角形一.填空题（每题3分,共30分）1。

如图，△ABC ≌△DBC,且∠A 和∠D,∠ABC 和∠DBC 是对应角,其对应边：_______、2。

如图,△ABD ≌△ACE ，且∠BAD 和∠CAE ，∠ABD 和∠ACE,∠ADB 和∠AEC 是对应角，则对应边_________.3、已知:如图，△ABC ≌△FED ，且BC=DE 、则∠A=__________，A D=_______.4、如图,△ABD ≌△ACE,则AB 的对应边是_________，∠BAD 的对应角是______。

5、已知：如图,△ABE ≌△ACD ，∠B=∠C,则∠AEB=_______，AE=________。

6.已知:如图 , AC ⊥BC 于 C ， DE ⊥AC 于 E ， AD ⊥AB 于 A , BC=AE 。

若AB=5 , 则AD=___________.7。

已知：△ABC ≌△A ’B ’C', △A'B ’C ’的周长为12cm ，则△ABC 的周长为、 8.如图, 已知:∠1=∠2 ， ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB ≌△A EC ，根据是_________再证△BDE ≌△______ , 根据是__________。

4321E D BA9。

如图，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD,则需添加的条件是____________、10。

如图，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ’BC ’的位置时，AA ’∥BC ，∠ABC=70°,则∠CBC'为________度、二.选择题（每题3分,共30分）11、下列条件中，不能判定三角形全等的是 ( )A 、三条边对应相等B 、两边和一角对应相等C 、两角的其中一角的对边对应相等D 、两角和它们的夹边对应相等12、如果两个三角形全等,则不正确的是 ( )A B CD 12AA'BC C'A、它们的最小角相等B、它们的对应外角相等C、它们是直角三角形D、它们的最长边相等13、如图,已知：△ABE≌△ACD,∠1=∠2，∠B=∠C,不正确的等式是（）A、AB=ACB、∠BAE=∠CADC、BE=DCD、AD=DE14、图中全等的三角形是（ )A、Ⅰ和ⅡB、Ⅱ和ⅣC、Ⅱ和ⅢD、Ⅰ和Ⅲ15、下列说法中不正确的是（ )A、全等三角形的对应高相等B、全等三角形的面积相等C、全等三角形的周长相等D、周长相等的两个三角形全等16、 AD=AE ， AB=AC ， BE、CD交于F ，则图中相等的角共有(除去∠DFE=∠BFC） ( )A、5对B、4对C、3对D、2对CEDBOA17.如图,OA=OB，OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED的度数是（ )A、70°B、 85°C、 65°D、以上都不对18、已知:如图，△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF、则不正确的等式是 ( )A、AC=DF B 、AD=BE C、DF=EF D、BC=EF19。

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全等三角形复习
【复习巩固】
1.判断三角形全等的条件有：
2.角边角和角角边的区别：
3.判断三角形全等的一般思路：
【分组练习】
一.分别指出对应顶点，对应角，对应边。

再完成
练习
1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能说明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
A.∠A=∠D =EFC.∠ACB=∠F =DF
变式1：如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．
变式2：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
2.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D =AD
变式1：如图,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.试说明:AC=BD.
变式2：如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补
充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是（只填一个）．
3．如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据
是（）
A．SSS B．SAS C．AAS
D．HL
变式1：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
变式2：如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据
是；
（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是．
变式3：在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
变式4：已知AB=AD给出下列条件：（1）AB=AC（2）∠CDA=∠BDA （3）∠CAD=∠BAD （4）∠B=∠D，若再添一个条
件后，能使△ABD≌△ACD的共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是( )
A.∠A=∠C
B.∠D=∠B ∥BC ∥BE
变式1：如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE ≌△CDF的是（）
A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
:变式2：如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）
CB∥EF．
5.如图,点D,E
分别在线段
AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C =AE =CE =CD
变式1：如图，已知AB＝AC=12 cm，AD=AE=7 cm，CD=10 cm，△ABE 的周长是 .
变式2：如图，AD=AE，∠C=∠B，∠CDB=55°，则∠AEB= ．
变式3：如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判
定△ABC≌△AED的是( ):
=ED B.∠BAD=∠EAC
C.∠B=∠E
D.∠BAC=∠EAD
变式4：如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC
D C
F E B A
G 的中点,且CD=BE,△ADC 与△AEB 全等吗请说明理由.
变式5：如图，已知AB=AC ，E ，D 分别是AB ，AC 的中点，且AF•⊥BD 交BD 的延长线于F ，AG ⊥CE 交CE 的延长线于G ，试判断AF 和AG 的关系是否相等，并说明理由．
6.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O 是
AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'
为( )
cm cm cm cm
7．如图，AB=CD ，AD=CB ，那么下列结论中错误的是（）
A ．∠A=∠C
B ．AB=AD
C ．A
D ∥BC D ．AB ∥CD 变式1：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ；则图中的全等三角形共有（）
A ．5对
B ．4对
C ．3
对 D．2对
7题变式1 变式2
变式2：如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由。

8.如图,点O是线段AB和线段CD的中点.试说
明:
(1)△AOD≌△BOC;
(2)AD∥BC.
9．如图，MN与PQ相交于点O，MO=OP，QO=ON，
∠M=65°，∠Q=30°，则∠P= ，∠N= .
10．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．
求证：△ABC≌△DEF．
【综合练习】
1．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使能用SAS说明△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为______．
2.如图，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（）对对对对
3．如图 , 已知：AB=AC , D是BC边的中点 , 则∠1＋∠C=_______度．
4.如图,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
5．如图所示的方格中，连接AB ，AC ，则∠1+∠2＝
_________度．
6.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD 是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,小明在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC ⊥B ②AO=CO=AC;③△ABD ≌△CBD,其中正确的结
论有( )
个个个个
7．如图，有一个直角三角形ABC ，∠C=90°，AC=8，BC=3，P 、Q 两点分别在边AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，且PQ=AB ．问当AP= 时，才能使△ABC 和△PQA 全等．
8．已知：如图，AD 是△ABC 的高，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于点F ，BE=AC ，DE=DC ，BE 和AC 垂直吗说明理由．
【能力拓展】
1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗为什么 D C
F E B A
D
F A C
E
B
2．已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．
3.如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF.试说
明:BF=DE.
4．如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗若有，请写出来，并证明你的结论。

5．如图，已知AB=CD，AC=BD，说明AD∥BC。

6.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,点B,C,D在同一条直线上.试说明:BD=CE.
7.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AD,FD⊥AD,AE=DF,AB=DC.试说明:∠ACE=∠DBF.
8.如图,四边形ABCD,四边形BEFG均为正方形,连接AG,CE.试说明:
(1)AG=CE;
(2)AG⊥CE.
．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。

10．如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何说明理由。

11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。

（1）求证：△AOC≌△A0E；
（2）求证：OE∥BC。

12．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC。

（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗请证明你的结论。

13．如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。

（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。