中考数学圆的综合-经典压轴题含答案

BD 4
C ADB ， C的正切值为 3 ；
4 ② Ⅰ、当 AC BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E，
AC BC ， AO BO ，
CE 为 AB 的垂直平分线，
AE BE 3，
在 Rt AEO 中， OA 5 ，根据勾股定理得， OE 4 ，
CE OE OC 9 ，
（3）解：如图 3 中，连接 OC．设⊙O 的半径为 r．
在
Rt△
AHC
中，tan∠
ACH=tan∠
G=
AH HC
=
3 4
，∵
AH= 3
3 ，∴ HC= 4
3 ，在 Rt△ HOC 中，
∵ OC=r，OH=r﹣ 3 3 ，HC= 4 3 ，∴ (r 3 3)2 (4 3)2 r2 ，∴ r= 25 3 ， 6
ABC
432 25
．
【点睛】 圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图，已知 Rt△ ABC 中，C=90°，O 在 AC 上，以 OC 为半径作⊙O，切 AB 于 D 点，且 BC=BD． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；
由题意可知，CD=4cm ∴ 设半径为 xcm，则 OD=（x﹣4）cm 在 Rt△ BOD 中， 由勾股定理得：OD2+BD2=OB2 （x﹣4）2+82=x2 解得：x=10． 答：这个圆形截面的半径为 10cm．
点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行 求解．
∴ OB= 32 62 3 5 . ∴ PB=OB-OE= 3 5 3 .
当 P 点与 F 点重合时，PB 去最大值，
PB=OP+OB=3+ 3 5 .
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、 全等三角形判定与性质的理解.
4．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截 面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径．
∵ A（6，0）、B（0，2），∴ D（3，1），∴ OD= 12 32 = 10 ，∴ CD= 10 ． 根据 CD⊥EF 可得，C、D 之间水平方向的距离为 5 ，铅垂方向的距离为 5 ，∴ C （3+ 5 ，1+ 5 ），代入直线 y=﹣x+m，可得：1+ 5 =﹣（3+ 5 ）+m，解得： m=4+2 5 ，∴ x+y 的最大值为 4+2 5 ．故答案为：4+2 5 ．
（3+ 5 ，1+ 5 ），代入直线 y=﹣x+m，可得 m=4+2 5 ，即可得出 x+y 的最大值为
4+2 5 ．
详解：（1）6； （2）由题可得，点 C 在以 AB 为直径的⊙D 上运动，点 C 坐标为（x，y），可构造新的函 数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大值，此时，直线 y=﹣x+m 与⊙D 相 切，交 x 轴与 E，如图所示，连接 OD，CD．
点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的 性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的 半径进行求解．
6．问题发现． (1)如图①，Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D 是 AB 边上任意一点，则 CD 的 最小值为______． (2)如图②，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求 CM+MN 的 最小值． (3)如图③，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE＝2，点 F 是 BC 边 上的任意一点，把△ BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的 面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度．若不存在，请说明理由．
【详解】
1 如图 1，连接 OB，OA，
OB OC 5 ， AB m 5 ，
OB OC AB， AOB 是等边三角形， AOB 60 ， ACB 1 AOB 30 ，
2
故答案为 30；
2①如图 2，连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 BD，
AD 为 O 的直径， AD 10， ABD 90 ， 在 Rt ABD中， AB m 6，根据勾股定理得， BD 8 ， tan ADB AB 3 ，
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，连结 AC，过 BD 上一点 E 作 EG∥ AC
交 CD 的延长线于点 G，连结 AE 交 CD 于点 F，且 EG=FG，连结 CE． （1）求证：∠ G=∠ CEF； （2）求证：EG 是⊙O 的切线；
∵ sinA= 3 ，∴ CB 3 , 5 AB 5
∵ BC=6，∴ AB=10,
∵ BD=BC=6,
∴ AD=AB-BD=4,
∵ sinA= 3 ，∴ cosA= 4 ，
5
5
∴ OA=5，∴ OD=3，
即⊙O 的半径为：3.
（3）如图：连接 OB，交⊙O 为点 E、F，
由三角形的三边关系可知： 当 P 点与 E 点重合时，PB 取最小值. 由（2）可知：OD=3，DB=6,
【答案】（1）6（2）4+2 5
【解析】 分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论； （2）根据以 AB 为斜边在右上方作 Rt△ ABC，可知点 C 在以 AB 为直径的⊙D 上运动，根据 点 C 坐标为（x，y），可构造新的函数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大 值，此时，直线 y=﹣x+m 与⊙D 相切，再根据圆心点 D 的坐标，可得 C 的坐标为
S
ABC
1 2
AB CE
1 2
69
27
；
Ⅱ、当 AC AB 6 时，如图 4，
连接 OA 交 BC 于 F，
AC AB ， OC OB ，
AO 是 BC 的垂直平分线，
过点 O 作 OG AB于 G，
AOG 1 AOB， AG 1 AB 3，
2
2
AOB 2 ACB，
ACF AOG ，
心，1为半径的一段弧．过 E 作 AC 的垂线，与⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ，由
AEM∽ ACB 求得 GM 的值，再由 S四边形AGCD S ACD S ACG 求解即可.
试题解析：
（1）从 C 到 AB 距离最小即为过 C 作 AB 的垂线，垂足为 D ，
CD AB 2
AC BC 2
【答案】(1) CD 12 ;(2) CM MN 的最小值为 96 .(3) 15
5
25 2
【解析】
试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过
C 作 BC 的垂线，垂足为 N ，求 CN 的长即可;(3) 连接 AC ，则
S四AGCD S ADC S ACG ， GB EB AB AE 3 2 1，则点 G 的轨迹为以 E 为圆
（2）若 BC=6，sinA= 3 ，求⊙O 的半径； 5
（3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求 BP 的最大值与最小值.
【答案】（1）连 OD，证明略；（2）半径为 3；（3）最大值 3 5 +3 ，3 5 -3.
【解析】
分析：（1）连接 OD，OB，证明△ ODB≌ △ OCB 即可.
在 Rt AOG 中， sin AOG AG 3 ， AC 5
sin ACF 3 ， 5
在 Rt ACF中， sin ACF 3 ， 5AF Fra bibliotek AC 18 ，
5
5
CF 24 ， 5
S
ABC
1 2
AF BC
1 2
18 5
24 5
432 25
；
Ⅲ、当 BA
BC 6 时，如图
5，由对称性知， S
（2）由 sinA= 3 且 BC=6 可知，AB=10 且 cosA= 4 ，然后求出 OD 的长度即可.
5
5
（3）由三角形的三边关系，可知当连接 OB 交⊙O 于点 E、F，当点 P 分别于点 E、F 重合
时，BP 分别取最小值和最大值.
详解：（1）如图：连接 OD、OB.
在△ ODB 和△ OCB 中： OD=OC,OB=OB,BC=BD; ∴ △ ODB≌ △ OCB（SSS）. ∴ ∠ ODB=∠ C=90°. ∴ AB 为⊙O 的切线. （2）如图：
似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
2．已知 O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点．
1 如图 ① ，若 m 5 ，则 C 的度数为______ ； 2 如图 ② ，若 m 6 ．
① 求 C 的正切值； ② 若 ABC为等腰三角形，求 ABC 面积．
S
ABC
，
∴ CD AC BC 3 4 12 ，
AB
55
（ 2 ）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过 C 作 BC 的垂线，垂足为 N ，且与 BD 交于 M ，
【答案】 1
30； 2① C 的正切值为
3 4
； ②S
ABC
27
或
432 25
.
【解析】
【分析】
1 连接 OA，OB，判断出 AOB 是等边三角形，即可得出结论；
2①先求出 AD 10 ，再用勾股定理求出 BD 8 ，进而求出 tanADB，即可得出结
论；
② 分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。 （1）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为 A（6，0）、B（0，2）， 点 C（x，y）在线段 AB 上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量 x、 y，若最大值存在，设最大值为 m，则有函数关系式 y=-x+m，由一次函数的图像可知，当 该直线与 y 轴交点最高时，就是 m 的最大值，（x+y）的最大值为 ； （2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题： 如图 2，以（1）中的 AB 为斜边在右上方作 Rt△ ABM.设点 M 坐标为（x，y），求（x+y） 的最大值是多少？
（3）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 tanG = 3 ，AH=3 3 ，求 EM 的值． 4
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 25 3 . 8
【解析】
试题分析：（1）由 AC∥ EG，推出∠ G=∠ ACG，由 AB⊥CD 推出 AD AC ，推出
∠ CEF=∠ ACD，推出∠ G=∠ CEF，由此即可证明； （2）欲证明 EG 是⊙O 的切线只要证明 EG⊥OE 即可； （3）连接 OC．设⊙O 的半径为 r．在 Rt△ OCH 中，利用勾股定理求出 r，证明
△ AHC∽ △ MEO，可得 AH HC ，由此即可解决问题； EM OE
试题解析：（1）证明：如图 1．∵ AC∥ EG，∴ ∠ G=∠ ACG，∵ AB⊥CD，∴ AD AC ，
∴ ∠ CEF=∠ ACD，∴ ∠ G=∠ CEF，∵ ∠ ECF=∠ ECG，∴ △ ECF∽ △ GCE．
（2）证明：如图 2 中，连接 OE．∵ GF=GE，∴ ∠ GFE=∠ GEF=∠ AFH，∵ OA=OE， ∴ ∠ OAE=∠ OEA，∵ ∠ AFH+∠ FAH=90°，∴ ∠ GEF+∠ AEO=90°，∴ ∠ GEO=90°，∴ GE⊥OE， ∴ EG 是⊙O 的切线．
【答案】10cm 【解析】 分析：先过圆心 O 作半径 CO⊥AB，交 AB 于点 D 设半径为 r，得出 AD、OD 的长，在 Rt△ AOD 中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径． 详解：解：过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交⊙O 于 C，连接 OB， ∵ OC⊥AB
∴ BD= 1 AB= 1 ×16=8cm 22
∵ GM∥ AC，∴ ∠ CAH=∠ M，∵ ∠ OEM=∠ AHC，∴ △ AHC∽ △ MEO，∴ AH HC ， EM OE
∴
33 EM
4 25
3 3
，∴ EM= 25 8
3
．
6
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定
理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相