充分条件、必要条件
充分条件和必要条件的区别
充分条件和必要条件的区别
必要条件是指必须具备的重要条件，而充分条件是指一定能够保证结果出现的条件；必要条件可以由结果推出条件，而充分条件是由条件一定能够推出结果，但由结果推出的不仅仅是这个条件，还有别的存在。
简单一点就是：由条件能推出结论,但由结论推不出这个条件,这个条件就是充分条件.如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论.此条件为必要条件.如果既能由结论推出条件,又能有条件推出结论.此条件为充要条件。
充分条件与必要条件
§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．知识点一 充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，故p是q的必要不充分条件．6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．答案充分不必要7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以a －4≤1，a ＋4≥3，即a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．五、充要条件的证明例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故有1－m ≥－2，1＋m <10或1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以 1－m ≤－2，1＋m >10或1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练6已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－2 3.又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－23≤a<0.1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．“a<b”是“a b<1”的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案与解析】 1、答案 B解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(4)充分条件、必要条件的判断．(5)充分条件与必要条件的应用．(6)充要条件的证明．(7)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。
充分条件和必要条件关联词
充分条件和必要条件关联词1. 概念入门在日常生活中，我们常常会听到“如果……那么……”这样的句式，这其实就是在说“充分条件”和“必要条件”。
比如，你要是想考好试，那你得好好复习，这是一个典型的充分条件。
意思就是说，只要你复习了，就有可能考好，虽然不是绝对的。
不过，如果你不复习，那肯定是考不好，这就属于必要条件了。
哎，这听起来是不是有点儿复杂？其实没那么难，我们就像喝茶一样，慢慢品味就行了。
2. 生活中的例子2.1 学习想想你上学的时候，老师总是说“认真听课是学习好成绩的必要条件”。
这是肯定的，因为你不认真听，后面的知识就像无源之水，永远也流不进脑子里。
但如果你听课了，哦，那还不一定就能考得好。
毕竟，如果你回家只是在玩游戏，那可就惨了。
因此，听课是必要条件，而努力学习就是充分条件。
就像买了个新手机，充电是必须的，但只有充电不玩手机，也没什么意义，对吧？2.2 生活琐事再举个例子吧，咱们的生活中有很多事情也是如此。
比如，想吃到好吃的饭菜，首先得有个会做饭的人在家，这就是必要条件。
但是，如果那个人一到厨房就打瞌睡，结果最后还是端出个泡面，那就没什么意思了。
为了避免这种情况，你还得让他多喝几杯咖啡，或者给他点儿音乐听，这些都是充分条件。
哎，生活就像一锅炖汤，材料齐全了，火候也对了，才能煮出美味来。
3. 工作与职场3.1 职场晋升说到职场，很多小伙伴都想升职加薪，这时候充分条件和必要条件就显得格外重要。
你想升职，首先得在公司待着，这就是一个必要条件。
没在公司，升什么职啊？但光待着不说话，跟墙壁说话也没用，那你得表现得积极一点，做点儿事，主动找点儿任务来做，这就是充分条件。
就像你想要一朵花，土壤和水是必要条件，但阳光和空气也不能少。
3.2 人际关系人际关系也是如此。
想要交到朋友，首先得有人愿意跟你说话，这就是必要条件。
但是，如果你老是一副冷冰冰的样子，谁会愿意跟你交朋友呢？所以，你还得展现出你的热情，主动和人聊天，这就是充分条件。
必要条件和充分条件的区别 语文
必要条件和充分条件的区别语文全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在逻辑学中，我们常常会听到两个概念，那就是必要条件和充分条件。
这两者虽然看似相似，但实际上却有着本质的区别。
了解这两者之间的区别不仅有助于我们对逻辑关系的理解，也有助于我们在日常生活中更加准确地进行推理和分析。
让我们来看看必要条件和充分条件的定义。
必要条件是指某个情况下必不可少的条件，没有这个条件就不可能达成某种结果；而充分条件则是指某个条件足以导致某种结果，有了这个条件就可以达成某种结果。
简单来说，必要条件是一种约束，而充分条件是一种推理。
举个例子来说明这两者之间的区别。
假如我们要参加某个比赛，那么报名参加比赛就是充分条件，因为只要我们报名了，就可以参加比赛。
身体健康是参加比赛的必要条件，因为如果我们的身体不健康，就无法参加比赛。
可以看出，报名是参加比赛的充分条件，而身体健康是参加比赛的必要条件。
在逻辑推理中，我们常常会用到必要条件和充分条件来进行分析。
如果我们知道某个条件是充分条件，那么我们就可以做出某些推理。
同样，如果我们知道某个条件是必要条件，那么我们就可以排除一些可能性，以便更准确地进行推理。
在日常生活中，了解必要条件和充分条件的区别也可以帮助我们更好地理解他人的言行和行为。
有时候，我们可能会因为缺乏某个必要条件而对他人的行为感到困惑，但是如果我们深入分析，就会发现对方的行为其实并不难理解。
如果想要达到2000字，我们还可以加入一些例子来帮助读者更好地理解必要条件和充分条件之间的区别。
一个常见的例子是“雨后必有彩虹”。
这里，雨是出现彩虹的必要条件，而彩虹的出现则是雨的充分条件。
只有在下过雨之后，我们才会看到美丽的彩虹，这就是必要条件和充分条件之间的关系。
又一个学生要参加某项活动，需要满足两个条件：成绩合格和品行端正。
在这个例子中，成绩合格和品行端正都是参加活动的必要条件，只有同时具备这两个条件，学生才能参加活动。
如果只满足了一个条件，就不能参加活动。
充分条件与必要条件
02 必要条件
定义
必要条件是指某事件发生所必须具备的条件，缺少这个条件 ，事件将不会发生。
必要条件是事件发生的必要不充分条件，即只有满足这个条 件，事件才可能发生，但不一定必然发生。
举例
例如，如果下雨（A），那么地面会 湿（B）。在这里，下雨是地面湿润的 充分条件。
又如，如果一个人努力工作（A），那 么他可能会获得晋升（B）。努力工作 是获得晋升的充分条件。
逻辑推理
在逻辑推理中，充分条件用于构建推理关系，帮助我们理解事件之间的因果关系。
通过充分条件，我们可以预测某一事件或条件出现时，另一事件或结果发生的可能 性。
需要注意的是，必要条件不一定是唯一的条件，可能有多个必要条件共同促成某事件的发生。同时， 在某些情况下，必要条件也可能存在例外情况，即某些条件下，事件的发生可以不满足必要条件。因 此，在逻辑推理中需要综合考虑各种因素，谨慎分析。
03 充分条件与必要条件的区 别与联系
区别
充分条件
如果一个条件A存在，那么另一个 条件B一定存在。在这种情况下， 我们说A是B的充分条件。
在决策制定中，必要条件的运用可以帮助我们更好地确定决策的限制和边界。例如，在制定企业战略时，需要考虑市 场需求、资源、技术等必要条件，以确保战略的可行性和有效性。
总结
在决策制定中，充分条件与必要条件的运用可以帮助我们更好地评估各种方案和可能性，制定出更加科 学、合理的决策。
05 充分必要条件的哲学思考
总结
在科学研究中，充分条件与必要条件的运用可以帮助我们更好地揭示事物的本质和规律， 推动科学的进中，充分条件的运用可以帮助我们更好地评估各种方案和可能性。例如，在制定营销策略时，如果某个产 品具有市场需求大、竞争者少等充分条件，那么它可能是一个很好的选择。
充分条件和必要条件的例子
充分条件和必要条件的例子
以下是 9 条关于充分条件和必要条件的例子：
1. “如果你想在考试中取得好成绩，那认真复习就是一个充分条件呀！就像你要去远方旅行，有一张车票就是能到达的充分条件。
”
2. “对于成为一名优秀的运动员，刻苦训练可真是个必要条件呢！这就好比鸟儿要飞翔，拥有翅膀是多么必要呀！”
3. “要想做出美味的饭菜，掌握烹饪技巧不就是个充分条件嘛！好比汽车要开动，有油就是很关键的呀！”
4. “对获得他人的信任来说，真诚待人绝对是个必要条件啊！就如同植物需要阳光才能生长一样必要！”
5. “想要有健康的身体，合理饮食难道不是个充分条件吗？就像船要航行，需要水的承载一样呀！”
6. “对于交到真心的朋友，善良的心可是个必要条件呢！这不就跟花朵需要土壤的滋养一样嘛！”
7. “要想在职场上获得成功，努力工作就是个充分条件吧！好比战士上战场，有武器就是有力的保障啊！”
8. “对拥有幸福的家庭，相互理解无疑是个必要条件呀！就如同乐器要奏响动听的音乐，各个部件都不可或缺一样！”
9. “想要实现自己的梦想，坚持不懈绝对是个充分条件啊！宛如登山者要登顶，一步一个脚印是多重要啊！”
我的观点结论是：充分条件和必要条件在我们的生活中无处不在，它们帮助我们理解事物之间的关系，让我们能更明确地朝着目标努力。
充分条件与必要条件
充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论；第二步：尝试由条件推结论； 定义法 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条 件就不是结论的充分条件 命题 如果命题：“若 p，则 q”是真命题，则 p 是 q 的充分条件；如 判断法 果命题：“若 p，则 q”是假命题，则 p 不是 q 的充分条件
题型 1◆充分条件的判断
典例 1 设 x∈R，则使 x>3.14 成立的一个充分条件是( C )
A．x>3
B．x<3
C．x>4
D．x<4
解析：因为 x>4⇒x>3.14，
所以 x>3.14 的一个充分条件是 x>4.
典例 2 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件． (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：ab<1； (3)在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (4)已知 a，b∈R，p：a2＋b2＝0， q：a＝b＝0.
(3)因为无理数是无限不循环小数， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件． (4)若 a 与 b 互为相反数，则 a 与 b 的绝对值相等，所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件．
题型 3◆利用充分条件、必要条件求参数范围 典例 已知 p：关于 x 的不等式3－2 m<x<3＋2 m，q：0<x<3，若 p 是 q 的充 分条件，则实数 m 的取值范围是 {m|m≤3} ．
判断下列各题中，q 是否是 p 的必要条件． (1)p：a 是 1 的平方根，q：a＝1； (2)p：4x2－mx＋9 是完全平方式，q：m＝12； (3)p：a 是无理数，q：a 是无限小数；(4)p：a 与 b 互为相反数，q：a 与 b 的绝对值相等．
充分条件与必要条件
第六节 充分条件与必要条件一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A 成立那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。
2．必要条件：如果A 成立那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。
B A ⇒3．充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件；同时B 也是A 成立的充要条件。
（二）充要条件的判断1若B A ⇒成立则A 是B 成立的充分条件，B 是A 成立的必要条件。
2．若B A ⇒且B A ，则A 是B 成立的充分且不必要条件，B 是A 成立必要且非充分条件。
3．若B A ⇔成立则A 、B 互为充要条件。
证明A 是B 的充要条件，分两步：（1）充分性：把A 当作已知条件，结合命题的前提条件推出B ；（2）必要性：把B 当作已知条件，结合命题的前提条件推出A 。
（三）反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。
二、范例选讲例1．（04重庆）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A ）0a < （B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a > 练习1设f(x)=x 2-4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A 、x<0B 、x<0或x>4C 、│x-1│>1D 、│x-2│>3例2．填空题;______)1(条件的是则若p q q p ⌝⌝⇒;______00,_______00)2(条件的是条件的是≥≥>>ba ab b a ab (3)若A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要条件，则A 是D 的 条件. 答案：(1)充分条件 (2)充要、必要不充分 (3)A ＝> B <＝> C ＝> D 故填充分。
充分条件、必要条件
一、充分条件、必要条件、充要条件的定义
1．若p 则q 为真，q p ⇒；若p 则q 为假，q p ⇒
条件 结论
2．定义
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
（2）若p q ⇒，则p 是q 的必要条件
（3）若q p ⇒且p q ⇒，则q 是p 的充要条件
二、充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断断
步骤： ①分清条件、结论
②
技巧：①可先化简命题再进行判断；②否定一个命题只需举出一个反例即可。
（2）集合法：集合A ，B 分别是使命题p ，q 为真命题的对象所组成的集合.
⎩
⎨⎧⇒⇒p q q p 充分不必要条件 A B 必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
三、充分条件与必要条件的应用
例：已知p ：，q ：{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．
令A＝，
……………………………………………………2分
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}
＝{x|[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，m>0}，
∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.………………4分
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B.……………………………………………6分
四、证明充要条件
步骤：①分清条件、结论；
②证明充分性：条件⇒结论；
③证明必要性：结论⇒条件；
④下结论。
技巧：证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．。
充分条件必要条件的定义
充分条件必要条件的定义嘿，朋友们，今天咱们聊聊“充分条件”和“必要条件”这两个听上去有点高深的概念。
其实嘛，这俩东西就像生活中的小窍门，知道了就能让你更明白一些事儿。
好比你想去海边度假，太阳光晒得热烘烘的，想想那沙滩，心里美滋滋的，可你要是没车，那就没法去，这就属于“必要条件”。
没有车，你就算想去也没戏，对吧？但是如果你有车，那就不一定非得去海边，你也可以选择去山上，或者去朋友家聚会，嘿嘿，这就是“充分条件”。
简单来说，有了车，你能去很多地方，但没车就根本没办法去。
说到这里，有点像咱们买东西的时候。
你想买个新手机，没钱那肯定不行，这就是“必要条件”。
你得有钱才能去买，但如果你有了钱，别忘了还得有时间和精力去逛商场哦！这个时候有钱就成了“充分条件”。
所以说，明白这两个概念就像抓住了生活的小窍门，能帮你避免走弯路，真是受益匪浅啊！来，咱们再聊聊生活中的例子。
有时候我们看见朋友们在一起热热闹闹，聚会玩得不亦乐乎。
你想加入他们，那就得先有个朋友邀请你，这就属于“必要条件”。
没有邀请，你就像没票的观众，站在门外看着热闹，心里着急火燎的。
可是，收到邀请后，你要是有时间，有心情，再加上天气不错，那你就可以尽情享受这次聚会，这就变成了“充分条件”。
想想那些欢声笑语，真的是让人心情大好呀！再说说学习。
你想考试通过，首先得学习，这就是“必要条件”。
你不学习，哪怕心里想着“我肯定能过”，结果也很可能是“梦游”状态。
可是如果你认真学习，掌握了知识，再加上好心态，那这就能保证你考试顺利。
这就是“充分条件”的魅力了！明白了这些道理，生活中的许多事情都能迎刃而解。
再回头看看生活中的点滴，朋友们总是说“好事成双”，这句话听着是个老生常谈，但你仔细想想，确实有道理。
在生活里，有时候你干一件事情，结果却能带来意想不到的收获。
比如，你今天去超市买菜，顺便逛了一下，碰上了一个老朋友，聊得热火朝天。
结果你们决定一起去喝咖啡，这种“意外收获”就是生活的调味品。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2.必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3.充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A 是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1.若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2.若AnB且B=^>Λ成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3.若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4.若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5.若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6.若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；i A=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：χ∈Λ,q：x∈B.①若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；②若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；③若A=B,则p、q互为充要条件；④若A 不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为B G A,或A33；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5χ-6=O的两根，Q:X I+X2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∙.∙χι,X2是方程X2+5X-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1∙X I+X2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.Pra≠O,Q:关于X的方程ax=l有唯――解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Q L2X-3>-5=>X V1,,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的（）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B①，YD是C成立的必要条件，,CnD②，C<z>B③，由①③得AnC④，由②④得A=D,,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：∣χ-2∣V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,「0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二•甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时•，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；⑵P:xy2O,Q:∣x∣+∣y∣=∣x+y|；（3）P:m>0,Q：方程χ2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.。
数学充分条件和必要条件
数学充分条件和必要条件
充分条件和必要条件是指在数学中被广泛使用的基本概念。
充分条件是指某一性质满足时，另一个性质也必定满足的条件，而必要条件则是指某一性质必须满足时，另一个性质才能必定满足的条件。
充分条件是十分重要的，它可以帮助我们寻找出某一性质是否满足某一条件所必须的最少条件。
一般来说，充分条件表示某一条件的必要性，但并不能说明这一条件完全决定了所查找的特性。
另一方面，必要条件则表示某一条件是特性的充分性，它明确表明满足必要条件，所查找的特性则必定满足。
这两中概念也被广泛用于不同的数学理论中，比如在行为经济学、数学分析、概率论和抽象代数等方面都极为重要。
用充分条件和必要条件来理解数学概念，有助于形成系统的数学知识框架，帮助我们更好地思考和解决问题。
总之，数学里的充分条件和必要条件是储备较为重要的一门学识，是我们在系统思考数学概念的基础。
只要我们深入理解充分条件和必要条件的含义，就可以有效开展数学推理，有效获取数学结果。
充分条件和必要条件充要条件
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探求充要条件一般有两种方法 1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条 件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明. 2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过 程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分 性和必要性分开来证.
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充X分XX条件、必要条件、充要条件旳应用
是否存在实数 p，使 4x＋p＜0 是 x2－x－2＞0 的充分条件？如果存 在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由.
【精彩点拨】 用集合的观点研究问题，先求出 4x＋p＜0 和 x2－x－2＞0 所对应的集合，再由“4x＋p＜0”⇒“x2－x－2＞0”求 p 的范围.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
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[小组合作型] 充分、必要、充要条件旳判断
件. 【答案】 A
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充分条件与必要条件
假设某个条件不是必要的，然后推导 出与已知事实或逻辑相矛盾的结论， 从而证明该条件是必要的。
03
充分条件与必要条件的转化
转化原理与方法
原理
充分条件和必要条件之间存在逻辑关系，当某一条件成为另一条件的充分条件时，另一条件则成为该 条件的必要条件。通过逻辑推理，可以实现充分条件与必要条件的转化。
方法
不充分性
必要条件虽然重要，但它 本身并不足以保证结果的 实现。还需要其他条件的 配合。
逻辑关系
在逻辑上，必要条件与结 果之间存在“只有...才...” 的关系。
必要条件的判断方法
分析法
通过对结果的产生过程进行详细分析 ，找出其中的关键环节和因素，进而 确定必要条件。
反证法
归纳法
从一系列具体事例中归纳出它们的共 性特征，作为必要条件。这种方法具 有一定的或然性，需要注意反例的存 在。
02
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指在某个逻辑命题中，如果缺少了该条件，则该命题不成立。换句话 说，必要条件是某个结果发生的先决条件，没有它结果就不会发生。
在数学逻辑中，必要条件通常表示为：如果P则Q，其中P是Q的必要条件。这意 味着，如果Q为真，则P必须也为真。
必要条件的性质
必要性
必要条件是不可或缺的， 缺少了它，相应的结果便 无法实现。
充分条件与必要条件
2024-01-23
目录
• 充分条件与必要条件概述 • 必要条件 • 充分条件与必要条件的转化 • 充分条件与必要条件在数学中的应用 • 充分条件与必要条件在生活中的应用
01
充分条件与必要条件概述
定义与概念
充分条件
如果A发生，则B一定发生，即A 是B的充分条件。
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断一、必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
二、充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
三、充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B 这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
高中数学知识点：充分条件和必要条件
高中数学知识点：充分条件和必要条件一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判定法1.定义法：判定B是A的条件，实际上确实是判定B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判定即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判定。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判定有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，明白得其关系（专门是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也能够叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先命题的逆命题；单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
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2019-2020学年高中数学新教材必修一充分条件、必要条件一、选择题 1．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a∈R，则“a＜1”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设，“”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知，则“”是“”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件p ：2≤x ≤3，条件q ：x ＜-3或x ≥1，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件7．已知命题,使 ,则使得为真命题的一个充分不必要条件是( ).2.2.1.0A a B a C a D a >-<≤<8．“x≠1且x≠2”是“x 2－3x ＋2≠0”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件11a>x ∈R 0x >(1)0x x +>0:p x R ∃∈00220()x x a a ++=∈R p9．若、不全为0，必须且只需( ) A ．B ．、中至多有一个不为0C ．、中只有一个为0D ．、中至少有一个不为010．设p ：，q ：，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．命题“∀x ∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a≥4B ．a≤4C ．a≥5D ．a≤5 12．设A ，B ，U 是三个集合，且“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题 13．“a =b ”是“”的_________条件.14．命题“”是命题“”的______条件.15．已知集合A 为数集，则“A ∩{0，1}={0}”是“A ={0}”的______条件． 16．若“”是“”的充分不必要条件，则a 的取值范围为______．三、解答题17．已知p, q 都是r 的必要条件， s 是r 的充分条件， q 是s 的充分条件， 那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)p 是q 的什么条件？a b 0ab ≠a b a b a b 20x a -≤220x x --=1x =-18．已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19．设，或，若是的充分条件，求实数的取值范围.20．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．21．已知命题关于的方程有实数根，命题．（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．22．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.答案解析一、选择题 1．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 “”包含于“”这一范围，反之“”则不一定有“”，根据小范围推大范围得到“”是“”的必要而不充分条件.故答案为：B.2．已知a∈R，则“a＜1”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由a ＜1，不一定能得到（如a =-1时）； 但当时，有0＜a ＜1，从而一定能推出a ＜1， 则“a ＜1”是“”的必要不充分条件， 故选：B ．3．设，“”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】解不等式可得或，11a>11a>11a>11a>x ∈R 0x >(1)0x x +>()10x x +>0x >1x <-所以，由“”能推出“或”； 由“或”不能推出“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选A 4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 由得：.所以“”不能推出“”， “”“”所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 5．已知，则“”是“”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 由可知，而由“”得；故“”的范围是“”范围的真子集，所以是充分不必要条件.6．已知条件p ：2≤x ≤3，条件q ：x ＜-3或x ≥1，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 由于条件，条件或因为集合是集合或的真子集0x >0x >1x <-0x >1x <-0x >0x >()10x x +>所以是的充分非必要条件 本题正确选项：7．已知命题,使 ,则使得为真命题的一个充分不必要条件是( ).2.2.1.0A a B a C a D a >-<≤<【答案】【解析】为真命题⇔ 在R 内有解⇔ ,故使得为真命题的一个充分不必要条件是，选. 8．“x≠1且x≠2”是“x 2－3x ＋2≠0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】“x≠1且x≠2”是“x 2－3x ＋2≠0”的什么条件等价于“x 2－3x ＋2=0”是“x=1或x=2”的什么条件，易于知道“x 2－3x ＋2=0”是“x=1或x=2”的充要条件，故选A. 9．若、不全为0，必须且只需( ) A ．B ．、中至多有一个不为0C ．、中只有一个为0D ．、中至少有一个不为0【答案】D 【解析】“、不全为0”包含三种情况，分别是“为0，不为0”、“不为0，为0”、“、都不为0”，故、中至少有一个不为0，故选D. 10．设p ：，q ：，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由题意得p ：，q ：0:p x R ∃∈00220()x x a a ++=∈R p D p 220x x a ++=22401a a ∆=-≥⇔≤p 0a <D a b 0ab ≠a b a b a b a b b a b a a b a b所以p q ，q p所以p 是q 成立的充分不必要条件.11．命题“∀x ∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a≥4 B ．a≤4C ．a≥5D ．a ≤5【答案】C 【解析】命题“∀x ∈[1，2]，”为真命题，可化为∀x ∈[1，2]，，恒成立，即“∀x ∈[1，2]，”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意． 故选：C ．12．设A ，B ，U 是三个集合，且“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 因为，所以是的充要条件，故选C ．二、填空题 13．“a =b ”是“”的_________条件. 【答案】必要不充分 【解析】 当时，不一定成立，如时无意义；反之，当时，一定成立．所以“”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．14．命题“”是命题“”的______条件.20x a -≤20x a -≤2a x ≥20x a -≤220x x --=1x =-【答案】必要不充分 【解析】的解为或，所以当“”成立时，则“”未必成立； 若“”，则“”成立，故命题“”是命题“”的必要不充分条件，填必要不充分. 15．已知集合A 为数集，则“A ∩{0，1}={0}”是“A ={0}”的______条件． 【答案】必要不充分 【解析】由“A ＝{0}”可推出“A ∩{0，1}＝{0}”，由“A ∩{0，1}＝{0}”不能推出“A ＝{0}”，比如可能是“A ＝{0，2}”； 故“A ∩{0，1}＝{0}”是“A ＝{0}”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分条件 16．若“”是“”的充分不必要条件，则a 的取值范围为______．【答案】【解析】 若“”是“”的充分不必要条件，则，则，故答案为：三、解答题17．已知p, q 都是r 的必要条件， s 是r 的充分条件， q 是s 的充分条件， 那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)p 是q 的什么条件？【答案】（1）充要条件；（2）必要条件 【解析】 (1)，是的充分也是必要条件．(2)是的必要条件．18．已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.220x x --=1x =-2x =220x x --=1x =-1x =-220x x --=220x x --=1x =-【答案】【解析】由是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，从而有：解得：∴实数的取值范围是.19．设，或，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】记或因为是的充分条件，所以，①，即时，，满足；②当，即时，或者，无解；综上可得实数的取值范围是，故答案为.20．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】【解析】：，：，∵是的充分不必要条件，∴，∴即21．已知命题关于的方程有实数根，命题．（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当命题是真命题时，满足，则.∴或∵是真命题∴是假命题，即.∴实数的取值范围是（2）∵是的必要非充分条件∴是的真子集，即或.∴或∴实数的取值范围22．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.。