矩阵及其运算学习课件

2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
An1
An2 ... Ann
5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列
得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作
AT。
如果 A是一个 m×n 阶矩阵，那么 AT 就是
一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同
序数的列
1 4 A 2 5
3 6
AT
1 4
2 5
3 6
☞ (1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT
(3) ( A)T AT (4) ( AB)T BT AT
证明：设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n 阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正 好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
其中Aij是矩阵 A的元素aij的代数余子式。
证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘
法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
A( 1 A*) ( 1 A*) A E 故 : A1 1 A*
| A|
| A|
| A|
3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明：∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复
数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；
☞AB = O 不一定有A= O或B= O ；
A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
2 2
a22 ...
... ...
a2n ...
0 0 ... ann
a11 0 ... 0
a21 ...
a22 ...
... ...
0 ...
an1 an2 ... ann
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 m×n 阶矩 阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为
aiji ,如果当i>k时,有 ji > jk 时，称 A为行阶梯矩
A(BA)...(BA)B
而
BA 1
1 2
1 3
1 2 3 3
所以：C n
1 2 3n1 3
1
பைடு நூலகம்
1 2
1 3
3n1
1 2 3
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
例2. 设A、B为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵， 证明，BT AB 仍是对称矩阵。 证明：因为 AT A，所以
(BT AB)T BT AT (BT )T BT AB 故 BT AB 是对称矩阵。
例3. 设A、B 都是 n阶对称矩阵，证明AB 是 对称矩阵的充要条件是 AB BA 证明：AB 是对称矩阵 ( AB)T AB 而 ( AB)T BT AT，又AT A，BT B 所以有： ( AB)T BT AT BA 故 AB BA 是 AB 为对称矩阵的充要条件.
例4. 设列矩阵X (x1, x2,..., xn )T 满足 X T X =1, E为n阶单位矩阵，H E 2XX T,证明H是对 称矩阵，且HH T =E 证明：H T (E 2 XX T )T E (2 XX T )T
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使
得
AB=BA=E
恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－1 = B 。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
5.正交矩阵： 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E 称 A为正交矩阵。 6.幂等、幂零、幺幂矩阵： 若 n 阶方阵A满足：
A2 = A，称 A为幂等矩阵 Ak = O，称 A为幂零矩阵 Ak = E，称 A为幺幂矩阵 7.伴随矩阵：设 A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代 数余子式Aij构成的如下矩阵
1.数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。
1 0 ... 0 k 0 ... 0
kE
k
0 ...
1 ...
... ...
0 ...
0 ...
k ...
... ...
0 ...
0 0 ... 1 0 0 ... k
2.上(下)三角矩阵：
a11 a12 ... a1n
0 ...
阵。
若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列
除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行 最简矩阵。
2 3 0 0 1 5
A
0 0
0 0
7 0
8 1
2 0
0 9
0 0 0 0 0 0
1 3 0 0 1 5
B
0 0
0 0
1 0
0 1
2 0
0 9
0 0 0 0 0 0
4.对称矩阵与反对称矩阵： 设 A为 n 阶方阵， 若AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,…,n)，称矩阵A
为对称矩阵；
若AT = A，即 aij = aji (i,j = 1,2,…,n)，称 矩阵 A 为反对称矩阵。
| A| 或 det A。
注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它
们的记号也是不同的。
方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为
n 阶方阵，λ为实数)
☞ (1) | AT || A |
(2) | A | n | A |
(3) | AB || A || B | (4) | AB || BA |
三、几类特殊的矩阵
...
...
cij
(1)( AB)C A(BC )
(2)( AB) ( A)B A(B)
(3) A(B C) AB AC (B C ) A BA CA
☞(4) Em Amn Amn
Amn En Amn
矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列
数与右矩阵的行数相等；
第一节 矩阵的概念
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
a11 a12 ... a1n
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴随矩阵有如下重要性质：
AA* A*A (det A) E
例1 设A 1
2
3T ，B 1
1 2
1 3
，C
AB，
求 Cn
解：C n CC...C ( AB)( AB)...( AB)
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
A
B
a21b21 ...
a22b22 ...
... ...
a2nb2n ...
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
矩阵加法的运算律：
☞(1) A+ B = B+ A
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An AA A (n为正数)
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk