最短路算法
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
networkx 最短路算法
一、网络图简介网络图是一种表示对象之间关系的数学结构，它由一组节点和连接这些节点的边组成。
在现实生活中，网络图可以用来表示交通网络、社交网络、电力网络等各种复杂系统。
在计算机科学中，网络图通常被用于建模和解决各种问题，比如最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等。
二、 NetworkX 简介NetworkX 是一个用 Python 语言编写的开源图论和复杂网络分析工具包，它提供了创建、操作和研究复杂网络的功能。
NetworkX 支持创建各种类型的网络图，包括有向图、无向图、加权图等，并提供了丰富的图算法和分析工具。
其中，最短路径算法是 NetworkX 中的一个重要功能，它可以用来寻找网络图中的最短路径。
三、最短路径算法概述最短路径算法用于寻找网络图中两个节点之间的最短路径，其中路径的长度可以通过边的权重来定义。
最短路径算法有多种实现方式，常见的算法包括 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法等。
这些算法在不同场景下具有不同的适用性和效率。
四、 NetworkX 中的最短路径算法在 NetworkX 中，最短路径算法主要包括两种实现方式：单源最短路径算法和全源最短路径算法。
单源最短路径算法用于寻找网络图中某个特定节点到其他所有节点的最短路径，常见的算法有 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法；全源最短路径算法用于寻找网络图中任意两个节点之间的最短路径，常见的算法有 Floyd-Warshall 算法。
五、单源最短路径算法1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种用于计算单源最短路径的贪心算法，它的基本思想是从起始节点开始，逐步扩展到其他节点，并更新节点之间的最短距离。
具体步骤如下：（1）初始化起始节点到其他所有节点的距离为无穷大，起始节点到自身的距离为 0；（2）选择距离起始节点最近的未访问节点，并更新该节点到其相邻节点的距离；（3）重复上述步骤，直至所有节点都被访问过。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
最短路算法
最短路径在一个无权的图中，若从一个顶点到另一个顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。
由于从一个顶点到另一个顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫作最短路径或者最短距离。
对于带权的图，考虑路径上各边的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或带权路径长度。
从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或最短距离。
最短路径算法Dijkstra算法：该算法是用于求解单源点最短路径的实用算法。
Dijkstra算法的基本思想如下：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S其中，V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个用V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
Dijkstra算法的具体步骤；（1）设源点为V1，则S中只包含顶点V1，令W=V-S，则W中包含除V1外图中所有顶点。
V1对应的距离值为0，即D[1]=0。
W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧 <v1,vk>，则Vj顶点的距离为此弧权值，否则为一个无穷大的数；（2）从W中选择一个其距离值最小的顶点 vk，并加入到S中；（3）每往S中加入一个顶点vk后，就要对W中各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vk做中间顶点，使<v1,vk> + <vk+vj>的值小于<v1,vj> 值，则用<v1,vk> + <vk+vj>代替原来vj 的距离值；（4）重复步骤2和3，即在修改过的W中的选距离值最小的顶点加入到S 中，并修改W中的各个顶点的距离值，如此进行下去，知道S中包含图中所有顶点为之，即S=V。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
最短路算法总结---单源最短路径（SSSP）
最短路算法总结---单源最短路径（SSSP）众所周知，最短路算法在⽐赛中占有相当部分的分值在⼤多数情况下，甚⾄使⽤并⾮最佳的算法也可以的得到相当⼤部分的分数。
以下选⾃书中核⼼内容，是竞赛⽣要熟练掌握且清晰理解的⼏种最基本算法。
（全部化为有向图做，双向边就化为两条单向边，恩，就这样操作）以下所有讨论不考虑环，全部INF处理，请悉知。
⼀.Dijkstra算法（贪⼼）(O(n^2))（效率⼀般，但相当可做）（边权⾮负，否则。
qwq）1.dist[1]=0 ，其余 dist = INF->2.找出⼀个未标记，dist[x]最⼩的节点x，标记x。
->3.扫描节点x的所有出边（x,y,z），if （dist[y]>dist[x]+z ） dist[y]=dist[x]+z （这是这个最基本的算法的核⼼语句，具体可想象三⾓形三边关系）。
（注意这⾥边权为负数的话，那么我们2中最先选择出的起点就不⼀定最⼩了，那万⼀以后跑出来个负边，全局都会受影响，那咱还贪个啥⼼，还跑个啥Dijkstra）4.重复2-3直到全部点都被标记（233要是所有点⾛的线路都试过了，没有答案你来打我啊）⼆.Bellman-Ford算法(O(nm))（我不咋⽤，但这个是SPFA的原型）->1.扫描所有边(x,y,z)，if （dist[y]>dist[x]+z）dist[y]=dist[x]+z （我没看错吧？我把上⽂抄了下来?没错，⼏种算法的基本套路是⼀样的）（但要注意，这⾥不同的是这⾥Bell-ford的2并⾮像Dijkstra那样要求对所有点扫描，⽽仅仅是某⼀部分。
）（为神魔呢？这是样做有道理的。
证明：若⼀张有向图的⼀条边满⾜三⾓形不等式，即dist[y]<=dist[x]+z，那么所有这样的边连起来的⼀条路肯定最短啦，⼲嘛还要把所有边都跑⼀边呢，这样就剪掉很多不必要去扫的边）2.重复，直到1那家伙扫完（即基于三⾓不等式的关系下不再发⽣任何更新）。
单元最短路算法
单元最短路算法
单元最短路算法是基于图论的一种算法，用于确定一个图中从源节点到目标节点的最短路径。
以下是一个常见的单元最短路算法——Dijkstra算法的简要说明：
1.初始化：将源节点的距离设置为0，将其他节点的距离设
置为无穷大。
将源节点标记为当前节点。
2.标记邻接节点：对于当前节点，计算到其邻接节点的距离。
如果计算得到的距离小于邻接节点当前的距离，则更新邻
接节点的距离。
3.选择下一个节点：从尚未标记的节点中选择一个距离最短
的节点作为下一个当前节点。
将其标记为当前节点。
4.重复标记邻接节点和选择下一个节点的步骤，直到达到目
标节点或者所有节点都被标记为止。
5.最短路径还原：从目标节点开始，沿着距离最短的路径反
向依次找到前一个节点，直到达到源节点。
这样就可以得
到从源节点到目标节点的最短路径。
Dijkstra算法的核心思想是通过不断更新节点距离和选择当前节点的方式来逐步逼近最短路径。
它适用于没有负权边的图，并且能够求解从一个源节点到图中所有其他节点的最短路径。
需要注意的是，Dijkstra算法的时间复杂度与图中节点和边的数量有关。
在稠密图中，它的时间复杂度较高。
如果需要对大规模图进行最短路径计算，可以考虑使用其他优化算法，如A*算
法、Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法。
最短路算法 题
最短路算法题最短路算法是用于解决图论中一类重要问题的算法，即寻找图中从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
这里的最短路径可以是路径的长度（边的数量）或路径的权重之和（边的权重）。
以下是一些常见的最短路算法题目类型及其解法：1.单源最短路问题：给定一个图和一个起点，找到从起点到图中所有其他点的最短路径。
2.Dijkstra算法：适用于带权重的图，且权重非负。
该算法每次迭代都会选取当前距离起点最近的一个顶点，并更新该顶点与起点的最短距离。
所有顶点都被访问后，算法结束。
3.Bellman-Ford算法：适用于带权重的图，权重可以为负。
该算法通过对图中的所有边进行迭代松弛操作来找到最短路径。
此外，它还可以检测并处理负权重环。
4.Floyd-Warshall算法：适用于所有顶点对之间的最短路径问题。
它使用动态规划的思想，逐步构建中间点集合，并利用中间点来更新最短路径。
5.多源最短路问题：给定一个图和多个起点，找到从这些起点到图中所有其他点的最短路径。
一种常见的解决方法是对每个起点分别运行单源最短路算法。
但这种方法可能不够高效，特别是当起点数量较大时。
另一种方法是使用更高级的数据结构或算法，如优先队列优化的Dijkstra算法或基于矩阵乘法的Floyd-Warshall算法变种。
5.特定条件下的最短路问题：除了基本的最短路问题外，还有一些特定条件下的最短路问题，如有向无环图（DAG）中的最短路径、边权重受限制的最短路径等。
这些问题通常需要结合特定的图论知识和技巧来解决。
6.在解决最短路问题时，需要注意以下几点：确保理解问题的具体要求，如路径的长度是按边的数量还是按边的权重计算。
根据问题的特点选择合适的算法和数据结构。
例如，对于稠密图，邻接矩阵可能是更好的选择；而对于稀疏图，邻接表可能更合适。
注意处理特殊情况，如负权重环、不连通图等。
这些情况可能导致最短路径不存在或无穷大。
在实现算法时，注意优化性能和减少不必要的计算。
带有必经点的最短路算法
带有必经点的最短路算法1.引言1.1 概述概述部分是文章引言的一部分，其主要目的是为读者提供关于带有必经点的最短路算法的背景信息和引发兴趣的内容。
以下是一种可能的概述内容编写方式：引言带有必经点的最短路算法是一种在图论中常用的算法，用于求解在给定图中，从一个起始点到达目标点的最短路径，并要求路径经过指定的必经点。
随着社会的进步和科技的发展，我们生活在一个高度互联的世界。
在这个信息时代中，交通网络的发展非常迅速，人们需要在最短的时间内到达目的地，但同时还要满足经过一些必经点的需求，例如医院、学校、商业中心等。
最短路径算法作为一种基本的图算法，在解决路线规划、网络传输等问题中起着重要的作用。
然而，传统的最短路径算法并不能满足我们对必经点的要求，因此带有必经点的最短路算法应运而生。
本文将对带有必经点的最短路算法进行详细介绍和探讨。
首先，我们将对最短路径算法进行概述，包括其基本原理和常用的算法，然后重点阐述带有必经点的最短路算法的原理，并给出具体的算法实现步骤和示例。
通过本文的学习，读者将能够了解带有必经点的最短路算法的背景、原理和应用前景，为解决实际生活中的路径规划问题提供一种有效的解决方案。
接下来，我们将介绍文章的结构和各章节的内容安排，以帮助读者更好地理解和阅读本文。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织结构，提供读者对文章的整体框架有一个清晰的认识。
本文分为以下几个主要部分。
1. 引言部分：该部分为文章的开篇，通过引入最短路径算法的概念以及其应用背景，引起读者的兴趣。
同时介绍本文的目的和重要性。
2. 正文部分：本部分主要介绍最短路径算法的相关概述和带有必经点的最短路算法原理。
首先，将对最短路径算法进行概述，包括介绍其基本原理和常用的算法类别。
接着，详细介绍带有必经点的最短路算法的原理，包括其基本思想和算法流程。
同时，对该算法在实际应用中的一些限制和优化方法进行探讨。
最短路算法
一 、狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959)
• 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路
的直接距离(两点之间有边 两点之间有边)， 令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离 两点之间有边 ，若两点之间 没有边， 两点之间是有向边， 没有边，则令 dij = ∞，若两点之间是有向边，则 dji = ∞； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 ， 表示始点，
j dij i dik djk k
4
6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962) for i=1 to n do dii=∞; ∞ for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if i≠j then ≠ for k=1 to n do if k≠j then ≠ begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;
1
例1 狄克斯特拉算法 ∞ 10 11 ∞
2 10
0 s
1 8 9 3 4
12 15 ∞
5 20 2 2 30
∞ t 31
பைடு நூலகம்15
8 4 ∞ 8
7
6
13 ∞ 15
2
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 最短路算法的特点和 最短路算法的特点
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上 每次迭代只有一个节点获得永久标记， 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一 节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记； 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij≥0， 的最短路， ， 次迭代得到的永久标记， 条边， 第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因 此最多有n 此最多有 −1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻 可以应用于简单有向图和混合图 在临时标记时， 简单有向图和混合图， 必须是箭头指向的节点； 必须是箭头指向的节点；若第 n−1 次迭代后仍有节点的标记 为 ∞，则表明 vs 到该节点无有向路径 • 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束 的最短路， 了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n−1 次 ，可以求所有点间的最短路 • vs 到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树 到所有点的最短路也是一棵生成树，
最短路算法伪代码
最短路算法伪代码1. 引言最短路算法是一种在图中计算两个节点之间最短路径的算法。
它被广泛应用于网络路由、城市规划、物流配送等领域。
本文将介绍最短路算法的常见实现方式和伪代码，以便读者更好地理解和掌握。
2. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪心算法的最短路算法。
这个算法首先会把起点到各个节点的距离初始化成无限大，然后从起点开始，不停地寻找距离起点最近的一个节点，进而更新与这个节点相邻的节点的距离。
具体操作过程如下：1. 初始化：定义一个dist数组（dist[i]表示起点到i节点的距离）和一个visited数组（记录节点是否已访问）；将dist数组初始为无穷大，将visited数组初始为false；将起点s的dist[s]设为0。
2. 迭代找出距离起点最短的节点：从未访问的节点中选出距离起点最近的节点u；设该节点为visited，对与节点u相邻的节点v进行操作。
3. 更新与节点u相邻的节点v的距离：若dist[u]+w(u,v)<dist[v]，则更新dist[v]=dist[u]+w(u,v)，其中w(u,v)表示节点u和节点v之间的边权。
4. 重复2、3步骤，直至所有节点都被访问过。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N表示节点数。
如果利用堆优化可以将时间复杂度降为O(MlogN)，其中M表示边数。
3. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种基于动态规划的最短路算法。
该算法对边进行松弛操作，直到找到最短路或者判断出存在负权环。
其具体操作过程如下：1. 初始化：定义一个dist数组（dist[i]表示起点到i节点的距离）；将dist数组初始为无穷大，将dist[s]设为0。
2. 迭代进行松弛操作：进行V-1轮松弛操作，其中V表示节点数；每轮松弛操作都会遍历图中所有的边，对每条边进行更新。
3. 检查是否存在负权环：进行第N轮松弛操作，当存在松弛操作后dist数组还能再次更新时，就意味着存在负权环。
最短路问题的启发式搜索算法
最短路问题的启发式搜索算法最短路问题是指在带权重的有向图或无向图中，寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
启发式搜索算法是一种利用启发信息来指导搜索的方法。
本文将介绍两种常用的启发式搜索算法——Dijkstra算法和A*算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的最短路算法，它适用于无负权边的有向图或无向图。
下面是Dijkstra算法的伪代码：1. 初始化距离数组dist，将起始顶点的距离初始化为0，其他顶点距离初始化为正无穷。
2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。
- 遍历u的所有邻接顶点v，如果从起始顶点到v的距离dist[u]加上u到v的边权重小于dist[v]，则更新dist[v]的值，将v入队。
4. 当队列为空时，算法结束。
Dijkstra算法的核心思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的距离值，直到找到最短路径。
该算法保证了每次从队列中取出的顶点都是到起始顶点距离最短的顶点，因此可以得到最短路径。
二、A*算法A*算法是一种常用的启发式搜索算法，它适用于带有启发信息的有向图或无向图。
下面是A*算法的伪代码：1. 初始化起始顶点的估计距离值为0。
2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队，估计距离值作为优先级。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。
- 如果u是目标顶点，则算法结束。
- 遍历u的所有邻接顶点v，计算从起始顶点到v的实际距离和估计距离之和f.- 如果f小于v的估计距离值，则更新v的估计距离值为f，并将v入队。
4. 当队列为空时，算法结束。
A*算法的核心思想是通过启发式估计函数，将优先级队列中的顶点按照估计距离值进行排序。
其中，估计距离值等于实际距离值加上启发式函数给出的估计值。
通过这种方式，A*算法可以在保证搜索效率的同时，找到最短路径。
结语最短路问题的启发式搜索算法为解决最短路径提供了有效的方法。
最短路问题Dijkstra算法
2-
0-
vs
v1
2
27
- 54
5 v2 5
- ∞9
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-4
-∞
考察v1 , T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]= min[5,2+2]=4 T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=97
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 2
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
14
最短路
2-
v1
2
27
0-
4-
8-
13 -
vs
5 v2 5
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
4-
7-
• Dijkstra算法不仅找到了所求最短路，而且找到 了从 vs 点到其他所有顶点的最短路；这些最短 路构成了图的一个连通无圈的支撑子图，即图 的一个支撑树。
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9
(5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4, 记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
17
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所 有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
最短路问题迪杰斯特拉算法
min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3
X={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
② v j 具有T 标号，即v j s ，s 为T 标号点集.
修改 v j 的T标号为 min{T (v j ), p(v1) l1 j} ，并将结
果仍记为T(vj)。= l1j
最短路floyd算法
最短路floyd算法
最短路Floyd算法
在计算机科学中，最短路算法是指从一个源节点到其他所有节点的最短路径。
最短路径问题在生产、交通运输、通信、电子商务等领域中都有广泛应用。
而Floyd算法是其中一种经典的最短路算法，也是最为简单易懂的一种算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出有向图或者无向图中任意两点之间的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n 为图中节点的个数。
虽然其时间复杂度较高，但其简单易懂，容易实现，因此在实际应用中也得到了广泛的使用。
Floyd算法的思路是动态规划，其核心是通过不断更新节点之间的距离来求解最短路径。
具体实现时，通过一个二维数组来存储每个节点之间的距离，初始化时，对于任意两个节点i,j，如果存在直接相连的边，则将其距离赋值为边的权值，否则赋值为一个很大的数。
接着，对于每一个节点k，遍历所有节点i,j，若i到j的路径通过k 节点比原来的路径更短，则更新i到j的距离为i到k再到j的距离，即d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])。
最终，当所有节点遍历完之后，二维数组中存储的就是任意两点之间的最短路径。
Floyd算法的优点是可以处理带负权边的图，但是如果图中存在负
权环，则该算法会出现错误的结果。
因此，如果存在负权环，则需要使用其他的算法来求解最短路径问题。
Floyd算法是一种简单易懂的最短路算法，适用于求解任意两点之间的最短路径问题，其时间复杂度较高，但在实际应用中得到了广泛的使用。
在实际应用中，可以通过合理的优化，来降低算法的时间复杂度，提高算法的效率。
最短路算法的应用
最短路算法的应用最短路径算法的应用最短路径算法（Shortest Path Algorithm）是图论中的经典问题，其目标是在一个加权有向图或无向图中找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径算法在现实生活中有着广泛的应用，包括交通导航、网络路由、物流运输等领域。
本文将详细介绍最短路径算法的原理及其应用。
一、最短路径算法的原理最短路径算法的核心思想是通过遍历图中的节点，并计算出每个节点到起始节点的最短路径值（即距离）。
最短路径算法主要有以下两种经典算法：1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）：迪杰斯特拉算法用于求解单源最短路径问题，即给定一个起始节点，计算其到图中所有其他节点的最短路径。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）选择最短路径值最小的节点，并将其标记为已访问。
（3）更新相邻节点的最短路径值：对于当前节点的所有相邻节点，通过比较经过当前节点的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（4）重复步骤（2）和（3），直到所有节点都被标记为已访问。
（5）得到起始节点到图中其他节点的最短路径值。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）：贝尔曼-福特算法用于求解任意两个节点之间的最短路径，可以处理存在负权边的图。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）对所有边进行松弛操作：遍历图中的所有边，通过比较经过当前边的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次（其中|V|为图中节点的个数），以保证所有节点的最短路径值被正确计算。
（4）检测是否存在负权回路：再次遍历图中的所有边，如果经过某条边的路径长度仍然可以被缩短，则说明图中存在负权回路，无法得到最短路径。
（5）得到任意两个节点之间的最短路径值。
networkx 最短路算法
networkx 最短路算法在网络分析和图论中，最短路算法是一种用于寻找网络中两个节点之间最短路径的重要方法。
NetworkX 是一个强大的 Python 图论库，提供了多种最短路算法的实现。
本文将介绍 NetworkX 中几种常用的最短路算法，并通过具体的示例来展示它们的用法和效果。
一、Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。
它以一个源节点作为起点，逐步寻找出发节点到其他所有节点之间的最短路径。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(|V|^2)，其中 |V| 表示节点的数量。
在 NetworkX 中，使用 dijkstra_path 函数可以方便地实现 Dijkstra 算法。
下面是一个示例代码：```pythonimport networkx as nxG = nx.Graph()G.add_edge('A', 'B', weight=4)G.add_edge('A', 'C', weight=2)G.add_edge('B', 'C', weight=1)G.add_edge('B', 'D', weight=5)G.add_edge('C', 'D', weight=8)G.add_edge('C', 'E', weight=10)G.add_edge('D', 'F', weight=6)G.add_edge('E', 'F', weight=3)shortest_path = nx.dijkstra_path(G, 'A', 'F')print(shortest_path)```上述代码首先创建了一个简单的无向图 G，并添加了一些带有权重的边。
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我写的Dijkstra最短路算法通用Matlab程序%dijkstra最短路算法通用程序，用于求从起始点s到其它各点的最短路%D为赋权邻接矩阵，d为s到其它各点最短路径的长度，DD记载了最短路径生成树function [d,DD]=dijkstra_aiwa(D,s)[m,n]=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd==1))<mfor i=1:mif dd(i)==0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i));endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)==0&&d(i)<dddddd=d(i);endendyy=find(d==ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1))=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;endfunction[D,R]=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendRfor k=1:n for i=1:n for j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(i,k); end end end k D R例9 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500用矩阵n n a ⨯（n 为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量pb 、1index 、2index、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(；)(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号；)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下： clear; clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];a(5,:)=[zeros(1,5),55];a(6,:)=zeros(1,6);a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1;while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1));pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1)));if length(index)>=2index=index(1);endindex2(temp)=index;endd, index1, index2Floyd算法的Matlab程序如下：clear;clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];a(5,:)=[zeros(1,5),55];a(6,:)=zeros(1,6);b=a+a';path=zeros(length(b));for k=1:6for i=1:6for j=1:6if b(i,j)>b(i,k)+b(k,j)b(i,j)=b(i,k)+b(k,j);path(i,j)=k;endendendendb, path6.3.2 旅行商（TSP ）问题一名推销员准备前往若干城市推销产品，然后回到他的出发地。
如何为他设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这个问题称为旅行商问题。
用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个有最小权的Hamilton 圈。
称这种圈为最优圈。
与最短路问题及连线问题相反，目前还没有求解旅行商问题的有效算法。
所以希望有一个方法以获得相当好（但不一定最优）的解。
一个可行的办法是首先求一个Hamilton 圈C ，然后适当修改C 以得到具有较小权的另一个Hamilton 圈。
修改的方法叫做改良圈算法。
设初始圈121v v v v C n =。
（i ）对于n j i <<+<11，构造新的Hamilton 圈: 12112121v v v v v v v v v v v C n j j i j j j i ij +++--=,它是由C 中删去边1+i i v v 和1+j j v v ，添加边j i v v 和11++j i v v 而得到的。
若)()()()(1111+++++<+j j i i j i j i v v w v v w v v w v v w ，则以ij C 代替C ，ij C 叫做C 的改良圈。
（ii ）转（i ），直至无法改进，停止。
用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。
为了得到更高的精确度，可以选择不同的初始圈，重复进行几次算法，以求得较精确的结果。
这个算法的优劣程度有时能用Kruskal 算法加以说明。
假设C 是G 中的最优圈。
则对于任何顶点v ，v C -是在v G -中的Hamilton 轨，因而也是v G -的生成树。
由此推知：若T 是v G -中的最优树，同时e 和f 是和v 关联的两条边，并使得)()(f w e w +尽可能小，则)()()(f w e w T w ++将是)(C w 的一个下界。
这里介绍的方法已被进一步发展。
圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条边更为有效；然而，有点奇怪的是，进一步推广这一想法，就不利了。
例13 从北京（Pe ）乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)五城市做旅游，每城市恰去一次再回北京，应如何安排旅游线，使旅程最短？各城市之间的航线距离如下表：clc,cleara(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60; a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70; a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;a(5,6)=13;a(6,:)=0;a=a+a';c1=[5 1:4 6];L=length(c1);flag=1;while flag>0flag=0;for m=1:L-3for n=m+2:L-1ifa(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1 ))flag=1;c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);endendendendsum1=0;for i=1:L-1sum1=sum1+a(c1(i),c1(i+1));endcircle=c1;sum=sum1;c1=[5 6 1:4];%改变初始圈，该算法的最后一个顶点不动flag=1;while flag>0flag=0;for m=1:L-3for n=m+2:L-1if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<...a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))flag=1;c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);endendendendsum1=0;for i=1:L-1sum1=sum1+a(c1(i),c1(i+1));endif sum1<sumsum=sum1;circle=c1;endcircle,sum用Kruskal算法构造例3的最小生成树Matlab程序如下：clc;clear;M=1000;a(1,2)=50; a(1,3)=60;a(2,4)=65; a(2,5)=40;a(3,4)=52;a(3,7)=45;a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;a(5,6)=70;[i,j]=find((a~=0)&(a~=M));b=a(find((a~=0)&(a~=M)));data=[i';j';b'];index=data(1:2,:); loop=max(size(a))-1;result=[];while length(result)<looptemp=min(data(3,:));flag=find(data(3,:)==temp);flag=flag(1);v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);if index(1,flag)~=index(2,flag) result=[result,data(:,flag)];endif v1>v2index(find(index==v1))=v2;elseindex(find(index==v2))=v1;enddata(:,flag)=[];index(:,flag)=[];endresult。