用二分法求方程的近似解的教学设计

第三章《函数的应用》内容中“用二分法求方程的近似解”
一节进行教学设计。

用二分法求方程的近似解的教学设计
交城一中郭冬妮
教材分析：
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。

它是在上节课所学知识的基础上，以“函数的零点与方程的解之间的关系”以及“连续函数的零点存在定理”为依据，确定方程的解所在区间，并用“逼近”的思想求方程近似解，这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。

在求方程近似解过程中隐含着“逼进”的数学思想。

学情分析：
学生有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。

其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出
“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生努力才能达到的。

三维目标:
1、知识与技能：
理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

2、过程与方法：
让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题。

3、情感态度与价值观
通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。

教学重点:
能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

教学难点:
1.方程近似解所在初始区间的确定
2.在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难。

教学方法:
游戏导入-- 推出课题--实践探究--总结提炼--学生感悟
教具准备:
多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel和《几何画板》软件等。

教学流程示意:
情境创设--二分法的定义--用二分法求函数的零点近
似值的步骤--用二分法求方程的近似解
教学过程:
一、导入新课
师：同学们,下面进行商品价格竞猜。

（师手拿一款MP3）生1：（猜师手中一款的MP3价格）。

师:你猜这件商品的价格，是如何想？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。

生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；……
师：是按照生1每隔10米，还是按照生2那样来检测呢？
生：（齐答）按照生2那样来检测。

师：生2的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。

上述动态过程，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品的价格。

这种思想就是二分法。

师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。

譬如，翻字典查英语单词(类似二分法)；再譬如，一条电缆上有15
个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？
二、讲授新课
师：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？
（多媒体）能否求函数f（x）＝lnx+2x-6的零点？（分组探讨）
①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= lnx+2x-6的图象，能够缩小零点所在区间，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出零点所在区间(2,3)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小零点所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④引发学生思考在有效缩小零点所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。

学生简述上述求函数零点近似值的过程。

（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）
（思考，解决。

问题激励，语言激励）
（生推导，师欣赏，鼓励学生，生口答，得出）
第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.
5)≈－0.084.因为 f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.
第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512. 因为f(2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小，依次继续下去，直到2.5390625-2.5 3125|< 0.01在区间（2.53125,2.5390625）内任何点的值与精确值的误差都不超过0.01，所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解，所以此函数零点的近似解为x=2.53125.
揭示二分法的定义：
上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y =f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
二分法求方程近似解的步骤探索：
（1）求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？（确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0）
（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（求区间的中点c，并计算f(c)的值）
（3）若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f (b)<0 ，则分别说明什么？
（若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)<
0 ，则零点x0∈(a,c)；若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,
b).）
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
1.确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，给定精度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c
3. 计算f(c)：
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a)·f(c)<0 ，则令b=c，此时零点x0∈(a, c)；
(3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点x0∈(c,
b).
4. 判断是否达到精确度ε：若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤 2～4．
三、例题剖析
例1：利用计算器，用二分法求方程2 ＋3x＝7的近似解（精确度0.1）
分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
四、课堂练习：
1.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定在( )内，其中f(1.75)<0
(A) [-2,1] (B) [2.5,4](C) [1,1.75] (D) [1.75,2.
5]
2.P91，练习2
五、课堂小结
请同学们回顾一下本节课你掌握了哪些知识？
（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）
1.二分法的定义，知道二分法是一种求一元方程近似解的通法。

2.利用二分法求一元方程近似解的操作步骤。

3.可以利用函数的图象来判断方程根的个数。

六、布置作业。