二阶非线性抛物方程解的定性性质
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＝
Ｌ ＋（ ｕ ａ
）（ ） Ｔ ＇ ∈Ｄ
（．） １１
（ ．） １ ２
＋ （ ） ） ， ） Ｔ ６ ＝ｏ （ ∈ｒ ｕ ｘ ０ ＝ （） ＥＱ （，） ，
其中．
（ ．） １ ３பைடு நூலகம்
Ｌ
啬＋
＝ ｏ ｃ ｓ （
等＋ ｄｔ ｃ （） （ ｘ， ，
等，
ｉ＝ ｊｌ
同时 ａｘ ｔ １０ （ ｔ ∈ ； （ ，） ０ （ ｔ ∈Ｆ ； ＞ ， （ ， ＞ ， ） ＤＴ６ ｔｔ ， ） ， ＞ ，） Ｔ‰（ ）０ ∈ｎ， 且满足 相性条 件 ： ＋ （ ， ） （ｏ ＝０ ｘ １ ６ Ｏ ｇ ｕ） ， ∈０２ 对于 ｓ ０ ‘ ｓ ＞ ｓ ＞ ，（ ）０ 且均 为递增 函数 。在 有关 文章 中 ， Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 在［ｌ 对 系 ＞ ， （ ）０ ｐ ）０ ｇ ｓ ＞ ， 如 ｈ ｏｏｅＫ— ｏ ｉ １ｑ ￣
第 ２ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ７月
浙 江 万里 学 院学报
Ｊ ｕ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｎ ｉＵｎｖ ｒｉ ｏ ｍａ ｆＺ ｅｉ ｚ Ｗａ ｌ ａ ｉｅｓ
Ｖｏ１２３ Ｎｏ． ． ４
Ｊｌ ０ ０ ｕ ２ １
二 阶非 线性 抛 物 方 程解 的定 性 性 质
何 文 平 ， 周 杰 荣
ｃ ２ ｔ 一（ 口 ） ＞ 勘 一（ 。 Ｖ ， ） ）（ ∈ ｒ Ｔ
笙 塑
（ ．） １ ４ （．） １ ５ （ ．） １ ６
＋ （ ）（ ＞ ６ ｇ ）
＋ （ ）（ ， ６ ｇ ）
ｕ ｘ ０ ＞ｖ ｘ ０ ， （，） （，） ∈Ｑ
么 有 Ｍ（ ｔ ＞， ｔ ， ，） ，） １（ ） （ ｔ ∈ＤＴ ， 。
是 ａ 上 的单位 外法 向量 ， Ｔ ｎ Ｄ ＝Ｑ× Ｏ Ｔ ，￣Ｏｌ （ ， ） （ ， ）Ｆ ｆｘ Ｏ Ｔ 。
系数 （ ｔ ， ，）Ｃ ， ， （ ，） ， 儡（ ｔ ，（ ｔ ｄ ｘ ｔ定义 在 ， ） ） 而且 嘞 满 足下列不 等式 ： ａ ，∈ ２ 仅 ， Ａｘ ￡ ｌ ≥ ∈Ｒ ）
（ 兵 学 院南 京 分 院 基础 部 ，江 苏 南 京 炮 ２ １３ ） １ １２
摘 要 ：研 究 了一类 带 有非 线 性 边界 条 件 的二 阶 非线 性 抛 物方 程 正 解 的性 质 。利用 比较 原 理 ． 到该 方 程 的解 整 得
体 存 在 的条 件 ， 用数 学分 析 的 方法 ， 到 该 方程 的 解 的爆 破 的条 件 。 利 得
厂
＝， 问 （ 解 能 定 在 有 ￡ 。 时 在 个 数 （ ） （） × ∞ 么 题 ） 够 义 所 的≥ 同 ， 一 函 ，， ∈ 那 ， 的 ０ 存 当， ＿ ０ ￡
『，。 时 连续 ， 且 问题 （） ０ ｏ） 并 ， 的任何解 Ｕ满 足 （ ０ ＜ ， ） 有关 系 ： ，） （ ，） ，） （ ０ 则 （ ｆ ， ∈Ｑ 成 立 。
定理 １假设 Ｏ ｂ≤６ ，）０ （ ￡ ≤咖。对 于 ｚ Ｏ ‘（） ｚ ，（） ＜ 。 （ ￡ ， ≤口 ，） ＞ ， ｚ ）ｇ ｚ 均是 连续 的正 函数且 函数 ‘ ｚ ， ｐ Ｐ ） （
（） 是递 增 的。又假 定存 在一个 单位 向量 ＾∈Ｒ 和一 个正 常数 Ａ， 得 ： ｙ 使
关 键 词 ：抛 物 方 程 ；爆破 与整 体 存 在 ；比较 原 理 。
中图 分类 号 ：０１ ５２ ７ ．６ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编号 ：１ ７ —２ ５ ２ １ ０ ６ １ ２ ０（ ０ ０） ４—０ ５ —０ ０８ ４
１ 引 言
令 Ｑｃ尺 有 界 ，Ｑ 适 当光滑 。考虑 下列关 于 ｕｘ ｔ的初边值 Ｉ （） ａ （ ，） Ｎ￣ Ｉ ：
证明： 构造函 （，： （ ， ￡ ￡ 数 ￡ 仅下 下 （一∑ ，（ 是下 程的 仪（．（（） （） 。 ） ）： ） 仅Ｔ 列方 解： １ｇｄ￡ ， ０＝ 其中ｃ ） ，） ）ｄ ｃ 。
∑ａｘｔ ≤Ａ ￡ ， ｆ ， ， ∈ （，） ｄ ，ｘ ， （， － ｃ ， （ ￡ ｎ （ ∞ 。 ） ， ∑ ） Ａ （ ） ）Ｉ ０ ＞ ×
ｉ＝ ｊｌ ｌ ＝１
让８ 够 得：∑ 足 小使 ｓ
＜。 ∈ ６ Ｐ ， 。
令 （）￡ １ｇ（）￡（）ｖ ｖ／ ｖ＝ （） ＋ｇｖ＋＋ Ｊ ｖ ）Ａ。如果对于 ｖ Ｏ 函数 ‘（）（）（ １＋ ） ＞， ｐ ＶｇＶ／ （）１是递减的 ， ，
数 （ ，） ，）Ｃ ｔ， （ ，） 加 某些 条 件 以及 构 造 某个 比较 函数 ， ｔ， （ ｔ ， （ ，）ｄ ｘ ￡施 已经得 到 该 方程 爆 破 的充 分 条 件 。本 文 中笔者将借 鉴 ＬＥＰ ｙ ｅ２， Ｗａｔ ［］Ｊ ｓｅ［］ ．．ａｎ ［］Ｗ： ｌ ｒ ，． ｈｒ 等的研究 方法 ， ｅ３ Ｅ ４ 即构 造方程 的上 、 下解 ， 由比较 原理 ， 探讨方 程 的正解 Ｕ满足 怎样 的条件 ｓ使得 它整体存 在 以及该 方程在 特殊情 形下 有 限时刻爆 破 的充 ，
分条件 。笔 者构造 的 比较 函数 的方法 与 Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 有所 不 同。 ｈ ｏ ｏｅＫ．ｏ ｉ
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０— ３—３ ０
作 者 简 介 ： 文 平 （９７ ）男 ， 何 １ ５ 一 ， 江苏 泰兴 人 ， 兵 学院 南京 分 院基 础 部 教授 ， 究 方 向 ： 物 型偏 微 分 方程 。 炮 研 抛
－
５８ ・
何文平， 周杰荣： 非线 抛物方 解的定 性质 二阶 性 程 性
２ 定 理及 其 证 明
文献［］ １已经证 明 了该 方程 的比较原 理成 立 ， ： 即 比较原 理 设 Ｍ ∈Ｃ（ ［ ， ｎＣ （ ） 足下 列不 等式 ： ， １ ０ 刀） 满
Ｌ ＋（ ｕ ａ
）（ ） Ｔ ＇ ∈Ｄ
（．） １１
（ ．） １ ２
＋ （ ） ） ， ） Ｔ ６ ＝ｏ （ ∈ｒ ｕ ｘ ０ ＝ （） ＥＱ （，） ，
其中．
（ ．） １ ３பைடு நூலகம்
Ｌ
啬＋
＝ ｏ ｃ ｓ （
等＋ ｄｔ ｃ （） （ ｘ， ，
等，
ｉ＝ ｊｌ
同时 ａｘ ｔ １０ （ ｔ ∈ ； （ ，） ０ （ ｔ ∈Ｆ ； ＞ ， （ ， ＞ ， ） ＤＴ６ ｔｔ ， ） ， ＞ ，） Ｔ‰（ ）０ ∈ｎ， 且满足 相性条 件 ： ＋ （ ， ） （ｏ ＝０ ｘ １ ６ Ｏ ｇ ｕ） ， ∈０２ 对于 ｓ ０ ‘ ｓ ＞ ｓ ＞ ，（ ）０ 且均 为递增 函数 。在 有关 文章 中 ， Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 在［ｌ 对 系 ＞ ， （ ）０ ｐ ）０ ｇ ｓ ＞ ， 如 ｈ ｏｏｅＫ— ｏ ｉ １ｑ ￣
第 ２ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ７月
浙 江 万里 学 院学报
Ｊ ｕ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｎ ｉＵｎｖ ｒｉ ｏ ｍａ ｆＺ ｅｉ ｚ Ｗａ ｌ ａ ｉｅｓ
Ｖｏ１２３ Ｎｏ． ． ４
Ｊｌ ０ ０ ｕ ２ １
二 阶非 线性 抛 物 方 程解 的定 性 性 质
何 文 平 ， 周 杰 荣
ｃ ２ ｔ 一（ 口 ） ＞ 勘 一（ 。 Ｖ ， ） ）（ ∈ ｒ Ｔ
笙 塑
（ ．） １ ４ （．） １ ５ （ ．） １ ６
＋ （ ）（ ＞ ６ ｇ ）
＋ （ ）（ ， ６ ｇ ）
ｕ ｘ ０ ＞ｖ ｘ ０ ， （，） （，） ∈Ｑ
么 有 Ｍ（ ｔ ＞， ｔ ， ，） ，） １（ ） （ ｔ ∈ＤＴ ， 。
是 ａ 上 的单位 外法 向量 ， Ｔ ｎ Ｄ ＝Ｑ× Ｏ Ｔ ，￣Ｏｌ （ ， ） （ ， ）Ｆ ｆｘ Ｏ Ｔ 。
系数 （ ｔ ， ，）Ｃ ， ， （ ，） ， 儡（ ｔ ，（ ｔ ｄ ｘ ｔ定义 在 ， ） ） 而且 嘞 满 足下列不 等式 ： ａ ，∈ ２ 仅 ， Ａｘ ￡ ｌ ≥ ∈Ｒ ）
（ 兵 学 院南 京 分 院 基础 部 ，江 苏 南 京 炮 ２ １３ ） １ １２
摘 要 ：研 究 了一类 带 有非 线 性 边界 条 件 的二 阶 非线 性 抛 物方 程 正 解 的性 质 。利用 比较 原 理 ． 到该 方 程 的解 整 得
体 存 在 的条 件 ， 用数 学分 析 的 方法 ， 到 该 方程 的 解 的爆 破 的条 件 。 利 得
厂
＝， 问 （ 解 能 定 在 有 ￡ 。 时 在 个 数 （ ） （） × ∞ 么 题 ） 够 义 所 的≥ 同 ， 一 函 ，， ∈ 那 ， 的 ０ 存 当， ＿ ０ ￡
『，。 时 连续 ， 且 问题 （） ０ ｏ） 并 ， 的任何解 Ｕ满 足 （ ０ ＜ ， ） 有关 系 ： ，） （ ，） ，） （ ０ 则 （ ｆ ， ∈Ｑ 成 立 。
定理 １假设 Ｏ ｂ≤６ ，）０ （ ￡ ≤咖。对 于 ｚ Ｏ ‘（） ｚ ，（） ＜ 。 （ ￡ ， ≤口 ，） ＞ ， ｚ ）ｇ ｚ 均是 连续 的正 函数且 函数 ‘ ｚ ， ｐ Ｐ ） （
（） 是递 增 的。又假 定存 在一个 单位 向量 ＾∈Ｒ 和一 个正 常数 Ａ， 得 ： ｙ 使
关 键 词 ：抛 物 方 程 ；爆破 与整 体 存 在 ；比较 原 理 。
中图 分类 号 ：０１ ５２ ７ ．６ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编号 ：１ ７ —２ ５ ２ １ ０ ６ １ ２ ０（ ０ ０） ４—０ ５ —０ ０８ ４
１ 引 言
令 Ｑｃ尺 有 界 ，Ｑ 适 当光滑 。考虑 下列关 于 ｕｘ ｔ的初边值 Ｉ （） ａ （ ，） Ｎ￣ Ｉ ：
证明： 构造函 （，： （ ， ￡ ￡ 数 ￡ 仅下 下 （一∑ ，（ 是下 程的 仪（．（（） （） 。 ） ）： ） 仅Ｔ 列方 解： １ｇｄ￡ ， ０＝ 其中ｃ ） ，） ）ｄ ｃ 。
∑ａｘｔ ≤Ａ ￡ ， ｆ ， ， ∈ （，） ｄ ，ｘ ， （， － ｃ ， （ ￡ ｎ （ ∞ 。 ） ， ∑ ） Ａ （ ） ）Ｉ ０ ＞ ×
ｉ＝ ｊｌ ｌ ＝１
让８ 够 得：∑ 足 小使 ｓ
＜。 ∈ ６ Ｐ ， 。
令 （）￡ １ｇ（）￡（）ｖ ｖ／ ｖ＝ （） ＋ｇｖ＋＋ Ｊ ｖ ）Ａ。如果对于 ｖ Ｏ 函数 ‘（）（）（ １＋ ） ＞， ｐ ＶｇＶ／ （）１是递减的 ， ，
数 （ ，） ，）Ｃ ｔ， （ ，） 加 某些 条 件 以及 构 造 某个 比较 函数 ， ｔ， （ ｔ ， （ ，）ｄ ｘ ￡施 已经得 到 该 方程 爆 破 的充 分 条 件 。本 文 中笔者将借 鉴 ＬＥＰ ｙ ｅ２， Ｗａｔ ［］Ｊ ｓｅ［］ ．．ａｎ ［］Ｗ： ｌ ｒ ，． ｈｒ 等的研究 方法 ， ｅ３ Ｅ ４ 即构 造方程 的上 、 下解 ， 由比较 原理 ， 探讨方 程 的正解 Ｕ满足 怎样 的条件 ｓ使得 它整体存 在 以及该 方程在 特殊情 形下 有 限时刻爆 破 的充 ，
分条件 。笔 者构造 的 比较 函数 的方法 与 Ｔ ｅｄ ｒ Ｂ ｎ 有所 不 同。 ｈ ｏ ｏｅＫ．ｏ ｉ
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０— ３—３ ０
作 者 简 介 ： 文 平 （９７ ）男 ， 何 １ ５ 一 ， 江苏 泰兴 人 ， 兵 学院 南京 分 院基 础 部 教授 ， 究 方 向 ： 物 型偏 微 分 方程 。 炮 研 抛
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５８ ・
何文平， 周杰荣： 非线 抛物方 解的定 性质 二阶 性 程 性
２ 定 理及 其 证 明
文献［］ １已经证 明 了该 方程 的比较原 理成 立 ， ： 即 比较原 理 设 Ｍ ∈Ｃ（ ［ ， ｎＣ （ ） 足下 列不 等式 ： ， １ ０ 刀） 满