连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析经典法

在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比,x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k,有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以,特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时,选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2)求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式,设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统的时域分析

连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析,可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种:解析法和数值法。
1. 解析法:通过解析方法可以得到系统的解析表达式,从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法:对于线性时不变系统,可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程,然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法:通过对系统进行拉普拉斯变换,将微分方程转化为代数方程,从而得到系统的传递函数,进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法:通过对系统输入和输出进行傅里叶变换,将时域信号转化为频域信号,从而分析系统的频率响应。
2. 数值法:当系统的解析表达式难以获得或无法求解时,可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法:通过差分近似,将微分方程转化为差分方程,然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法:在欧拉法的基础上,在每个时间步长内,通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值,从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法:在中点法的基础上,通过对导数进行多次计算和加权平均,从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外,还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点:系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点:系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图:零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应:频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
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第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
-14B1+2B2-6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
连续时间信号的时域分析和频域分析

时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律,主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域, 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号, 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示,即波形图 ,也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析:通过观察音频信号的时域波形,可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取:从音频信号中提取出各种特征,如 短时能量、短时过零率等,用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换:将音频信号从时域转换 到频域,便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中,傅里叶变 换用于信号调制和解调, 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性,能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性, 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数,能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中,两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中,两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中,通过对频域信号进行加权处理,可以设计
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式

零状态响应 rzs ( t ) 的求解有两种方法 方法一:直接求解微分方程 步骤: (1)求出通解;
(k ) (0 + ) = r (k ) (0 + ) − r (k ) (0 − ) 确定 n 个待定常数。 (2)由跳变量 rzs
方法二:卷积积分法 步骤: (1)先求冲激响应 h(t ) ; (2)再利用 rzs (t ) = h(t ) ∗ e(t ) 求零状态响应。 五、冲激响应 h ( t ) 和阶跃响应 g ( t ) 1、冲激响应 h ( t ) 的定义 定义: 系统在单位冲激信号 δ ( t ) 的激励下产生的零状态响应, 称为冲激响应。 冲激响应 h ( t ) 满足的微分方程为:
4
方法一:比较系数(等式两端奇异函数项相平衡)法求 h ( t ) 步骤:a. 先求特征根,直接写出冲激响应的函数形式; b. 再用冲激函数平衡法确定系数 Ak 。 方法二:利用系统的线性时不变特性求 h ( t ) 对于 h ( t ) 满足的微分方程
dn d n −1 d h(t ) + a n −1 n −1 h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) n dt dt dt
dn d n −1 d ( ) r t a + r (t ) + + a1 r (t ) + a 0 r (t ) n −1 n n −1 dt dt dt
= bm dm d m −1 d ( ) e t b e(t ) + + b1 e(t ) + b0 e(t ) + m −1 m m −1 dt dt dt
dn d n −1 d ( ) h t a h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) + n −1 n n −1 dt dt dt
第二章_连续时间系统的时域分析

2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点: 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解; 理解冲激响应、阶跃响应的意义,掌握其求解方法;
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入,系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法:根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
(1)首先求出vC(0-)和iL(0-),即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 (2)根据能量连续性原理: a)当没有冲激电流(或阶跃电压)作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t):系统固有的响应
信号与系统引论 课件 郑君里 第2章 连续时间系统的时域分析

网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系,
KCL,KVL。
例2-1
电阻 电感 电容
求并联电路的端电压v(t)与激励is(t)间的关系。
1 iR iR t v t R i s t R L 1 t i L t v d L d v t iC t C 元件特性约束 dt
E (常数)
B(常数)
B1t p B2 t p1 B p t B p1
tp e t
cos t sin t
Be t
B1 cos t B2 sin t
t p e t sin t B1t p B2 t p 1 B p t B p 1 e t cos t
2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
对于其他物理系统,根据实际系统的物理特性列写系 统的微分方程。 元件特性约束:表征元件特性的关系式。例如二端元
件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及
四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
所以,特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
i L (0 ) i L (0 )
例2-6 如图示出RC一阶电路,电路中无储能,起始电
压和电流都为零,激励信号e(t)=u(t),求t >0系统的响
应——电阻两端电压vR(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析

2.3 卷积积分
2 f 1( τt )
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐,但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。确定积 分的上下限是关键。 例:f1(t)、 f2(t)如图所示,已知 f(t) = f2(t)* f1(t),求f(2) =? 解: f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d
1
swfc
第二章 连续时间系统的时域分析
西南林学院 计科系
鲁莹
主讲
2018年11月4日9时42分
2
swfc
引言
• LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并
求解线性微分方程。
• 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时
间t,故称为时域分析法。
• 时域分析法比较直观,物理概念清楚,是
学习各种变换域分析法的基础。
16
swfc
三、零输入响应和零状态响应
2018年11月4日9时42分
17
swfc
零输入响应和零状态响应
r ( t ) c i e i t r p ( t )
i 1 n
自由响应
强迫响应
c xi e
i 1
n
i t
c fi e
i 1
n
i t
rp ( t )
rzi (t ) 零输入响应
t 1
0
t
1
0
t 0(左移)
t 1 1
t
2
0 t 1(右移)
1 t 2 (右移)
f1 ( )
1
f 2 (t )
0
1 t 1
t2
2
t
2018年11月4日9时42分
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告

实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现,达到如下目的:1、了解连续时间LTI(线性时不变)系统的性质和概念;2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究;3、通过实验的设计和实现,了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中,我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是,在本实验中,我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t),输出为 y(t),系统的微分方程为:其中,a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数,diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数,也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有:其中,h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为:H(s)=Y(s)/X(s)在时域内,系统的输出y(t)可以表示为:其中,Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换,即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中,构建连续时间LTI系统模型,其中系统的微分方程为:y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试,绘制出系统的单位冲激响应函数h(t);4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程,并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像;6、利用数据记录栏,记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么,当输入信号为单位冲激函数δ(t)时,根据系统的微分方程,可以得知输出信号的形式为:即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
第二章 连续时间系统的时域分析

19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定)
分析 激励加入:t=0时刻
响应区间:t≥0+
0
0
0
t
起始状态(0-状态):激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统,其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系,可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 , 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态;当t=0时,S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 : (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件(0+状态/导出的起始状态):
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时,是考虑了激励作用以 (k ) 后的解, 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
连续时间系统的时域分析

四.求解系统微分方程旳经典法
分析系统旳措施:列写方程,求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积典应分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是:齐次解 + 特解。
经典法
齐次解:由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
a ic
vt
b
代入上面元件伏安关系,并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一种代表RLC并联电路系统旳二阶微分方程。
三.n 阶线性时不变系统旳描述
一种线性系统,其鼓励信号 e(与t) 响应信号 之r(t间) 旳 关系,能够用下列形式旳微分方程式来描述
一.物理系统旳模型
•许多实际系统能够用线性系统来模拟。 •若系统旳参数不随时间而变化,则该系统能够用 线性常系数微分方程来描述。
二.微分方程旳列写
•根据实际系统旳物理特征列写系统旳微分方程。 •对于电路系统,主要是根据元件特征约束和网络拓扑 约束列写系统旳微分方程。
元件特征约束:表征元件特征旳关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自旳电压与电流旳关系以及四 端元件互感旳初、次级电压与电流旳关系等等。
第二章 连续时间系统旳时域分析 §2.1 引言
系统数学模型旳时域表达
时域分析措施:不涉及任何变换,直接求解系统旳 微分、积分方程式,这种措施比较直观,物理概念比 较清楚,是学习多种变换域措施旳基础。
输入输出描述 : 一元 N 阶微分方程 状态变量描述 : N 元一阶微分方程
本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。
连续时间系统的时域分析实验报告

实验二连续时间系统的时域分析一、实验目的通过使用MATLAB 软件对连续时间线性非时变系统的时域特性进行仿真分析,熟悉IT 系统在典型激励下的响应及特征,熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用,熟悉井掌握用MATLAB 函数求解冲激响应、阶跃响应、零输入响应、零状态响应及全响应的方法。
二、实验原理(一)连续时间系统的时域分析方法 连续时间线性非时变系统(LTI )的输入()t f 与输出()t y 可以用线性常系数微分方程来描述:()()()()()()()()()()t f b t f b t fb t y a t y a t y a t y a m m n n n n 0'10'111++=++++--如果已知系统的输入信号()t f 及系统的初始条件为()()()()()-----0,,0,0,01'''n y y y y ,就可以利用解析方法求出系统的响应。
线性系统的全响应由零输入响应分量和零状态响应分量组成。
零输入响应是指当输入为零时仅由t=0的初始条件产生的系统响应,零状态响应是当初始条件(在t=0)假定为零时仅由0≥t 时的输入产生的系统响应分量。
零输入响应(单极点时)为:()∑==+++=nk t k tn ttx k n e c ec ec ec t y 12121λλλλ f式中,n c c c 、、、 21为任意待定常数,由初始条件确定。
零状态响应为:()()()τττd t h f t y f -=⎰∞∞-此式是对任意输入()t f ,用单位冲激响应()t h 形式表示的零状态响应()t y f 的公式。
已知()t h 就可确定任意输入()t f 的零状态响应()t y f ,即系统对任意输入的响应都可以用单位冲激响应确定。
系统总响应为:()()()()()τττλd t h f ec t y t y t y tnj j f x j -+=+=⎰∑∞∞-=1对于高阶系统,手工计算非常繁琐。
第二章连续时间系统的时域分析

O
t
2u (t ) + 2 (一般式)
e(t )在t 0处有跳变 2 4相对跳变为2 即 r (0 + ) r (0 - ) + 2 = 故t 0时,有e(t ) 2u (t )
(2)
方程右端的冲激函数项最高阶次是 ,因而有
d u (t ) (t ) + Ku (t ) u (t )的积分为零 dt
给 定 如 图 所 示 电 路 , 0开 关S处 于 的 位 置 而 且 已 经 t 1 达 到 稳 态 。 当 0时S由1转 向2。 建 立 电 流(t )的 微 分 t i 方 程 并 求 解(t )在t 0时 的 变 化 。 i
把t<0电路看作起始状态,分别求t >0时的零输入响应和零 状态响应。 2 S R1 1 i L (t ) iC (t ) 1 i (t ) 1 L H C 1F e (t ) 4 V 4 3 e (t ) 2 V R2 2
可见,零输入响应是齐解中的一部分 分自由响应) 次 (部 零输入响应
k 1
n
Azik e k t
由于没有外界激励作用因而系统的状态不会生变化, , 发 即r (k ) (0 + )=r (k ) (0 - ), 所 以 zi (t )中 的 常 数 zik 可 以 由 (k ) (0 - )确 定 。 r A r
k
m
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材P43-44
Fs
两个不同性质的系统具有相同的数学模型(二阶微分方 程),都是线性常系数微分方程,只是系数不同。对于复杂 系统,则可以用高阶微分方程表示。
三.n 阶线性时不变系统的描述
MATLAB仿真之连续时间LTI系统仿真和时域分析

r=conv(h,e);t=-10:l/a:10;PlOt(I.r);title('零状态响应r(t)'); xlabel('t');ylabel('r');零输入程序及仿真建模当UT系统的输入为零时,其零输入响应为微分方程的其次解(即令微分方程的等号右端为零),其形式为(设特征根均为单根)Mf)=GeR÷Ge网+••••+”'其中PbP2,,∙∙,Pn是特征方程alλn+a2λn-l+∙∙∙+anλ+an=O的根,它们可以用rool(八)语句求得。
各系数IIIy及其各阶导数的初始值来确定。
对此有G+G+•…+G=NOp l C l+p2C2+--+P ll C n=Dy0PFG+〃2”工+•…3Y写成矩阵形式为:PJC+IY1C J+∙∙∙+PJC=D"*PlPi - P nC*-∣C∣t-∣JU-IP∣Pi…P…V为范德蒙矩阵,在matlab的特殊矩阵库中有Vandero以下面式子为例:√(r)+5y(0+4y(r)=2∕(∕)-4∕(r)y(OJ=l,y(OJ=5:MAT1.AB程序:a=input(,输入分母系数a=[al,a2,...]=');n=length(八)-l;YO=inputC输入初始条件向量YO=[yO,DyO,D2yO,.p=roots(八);V=rot90(vander(p));c=V∖Y0';dt=inρut('dt=');te=inpιιt('te-);t=O:dt:te;y=zeros(1,length(t));fork=kny=y÷c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridon:xlabel(,t');ylabel('y');litle('零输入响应');程序运行结果:用这个通用程序来解一个三阶系统,运行此程序并输入a=[l,5,4]Y0=[l,5]dt=O.Olte=6结果如下列图:依据图可以分析零输入响应,它的起始值与输入函数无关,只与它的初始状态值有关,其起始值等于y(0_)的值。
连续时间系统的时域分析实验报告

连续时间系统的时域分析实验报告连续时间系统的时域分析实验报告引言:时域分析是研究信号在时间上的变化规律,是连续时间系统分析的基础。
本实验旨在通过实际操作,探究连续时间系统的时域特性,并对实验结果进行分析和总结。
实验目的:1. 了解连续时间系统的时域分析方法和技巧;2. 掌握连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应的测量方法;3. 理解连续时间系统的零极点分布对系统特性的影响;4. 分析和总结实验结果,得出结论。
实验设备和材料:1. 信号发生器2. 示波器3. 连续时间系统实验箱4. 电缆、连接线等实验步骤:1. 连接信号发生器输出端和连续时间系统实验箱的输入端,调节信号发生器的频率和幅度,观察输出信号的波形,并记录数据;2. 改变信号发生器的频率和幅度,重复步骤1,记录不同条件下的输出信号数据;3. 切换到连续时间系统实验箱的单位冲激响应模式,输入单位冲激信号,观察输出信号的波形,并记录数据;4. 切换到连续时间系统实验箱的单位阶跃响应模式,输入单位阶跃信号,观察输出信号的波形,并记录数据;5. 根据实验数据,绘制系统的幅频响应曲线、相频响应曲线、零极点分布图等;6. 对实验结果进行分析和总结,得出结论。
实验结果分析:通过实验数据的记录和分析,我们可以得出以下结论:1. 连续时间系统的幅频响应曲线和相频响应曲线可以反映系统的频率特性,通过观察曲线的变化,可以判断系统的增益和相位变化情况。
2. 单位冲激响应是连续时间系统的重要特性之一,通过观察单位冲激响应的波形,可以了解系统的时域特性,如系统的稳定性、响应时间等。
3. 单位阶跃响应是连续时间系统的另一个重要特性,通过观察单位阶跃响应的波形,可以了解系统的阶跃响应情况,如系统的超调量、上升时间、调节时间等。
4. 零极点分布图可以直观地展示连续时间系统的零点和极点位置,通过观察分布图的形状,可以判断系统的稳定性和阻尼情况。
结论:通过本次实验,我们深入了解了连续时间系统的时域分析方法和技巧。
连续时间系统的时域分析

连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型,用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在实际应用中,我们经常需要对连续时间系统进行时域分析,以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。
时域分析是指在时间域上通过观察时域响应,分析系统的动态特性和稳态特性,进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。
对于连续时间系统,一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统,从而进行时域分析系统的微分方程形式为:$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中,$y(t)$代表系统的输出,$x(t)$代表系统的输入,$a_i$和$b_j$是系数。
时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。
为了简单起见,我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换,可以得到系统的传递函数:其中,$G(s)$代表系统的传递函数,$s$代表变换域变量。
通过求解系统的传递函数,我们可以得到系统的单位施加输入下的响应,进而进行时域分析,研究系统的动态和稳态特性。
$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中,$\omega_n$代表系统的固有频率,$\xi$代表系统的阻尼比。
应用拉普拉斯变换,可以得到系统的传递函数:。
2第二章、连续时间系统的时域分析

1 4p
2
H2(
p)
2
p3
1 3p2
4
p
2
H1(
p)
2
2 p2 p3 3p2
p
1 4p
2
H2(
p)
2 p3
1 3p2
4
p
2
讨论:
1、在电路中有三个独立的储能元件,为一个三阶系 统,特征方程应为三次方程,即H(p)的分母多项式 的最高次数应为三次。
2、所以这类题目也可直接求解,最后通过核对电路 的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。
1 C1 r(0)
n
C2
r(0)
n2 C3 r(0)
nn1 Cn r(n1) (0)
C1 1
C2
1
C3 12
Cn 1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
1
r(0)
n
r(0)
n2 r(0)
nn1 r(n1) (0)
一、特征根为异(实)根 算子方程写为: ( p 1)( p 2 ) ( p n )r 0
由前面的讨论可写出解的一般形式:
r(t) C1e1t C2e2t Cnent
若给定系统的n个初始条件:r(0), r(0), r(n1) (0)
我们就可以确定其中的待定常数C1,C2,…Cn。
)i1
1 p
i2
e
1 p
i1
(2 p
1
1 p
)i2
0
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p
1)
1 p
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1 p
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第二章 连续时间系统的时域分析§2-1 引 言线性连续时间系统的时域分析,就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。
线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为:)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------二、求解(时域解)1、时域法将响应分为通解和特解两部分:1) 通解:通过方程左边部分对应的特征方程所得到的特征频率,解得的系统的自然响应(或自由响应);2) 特解:由激励项得到系统的受迫响应;3)代入初始条件,确定通解和特解中的待定系数。
经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单,但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易,这时候很难确定特解的形式。
2、卷积法(或近代时域法,算子法)这种方法将响应分为两个部分,分别求解:1)零输入响应:系统在没有输入激励的情况下,仅仅由系统的初始状态引起的响应r)(t;zi2)零状态响应: 状态为零(没有初始储能)的条件下,仅仅由输入信号引起的响应r)(t。
zs●系统的零输入响应可以用经典法求解,在其中只有自然响应部分;●系统的零状态响应也可以用经典法求解,但是用卷积积分法更加方便。
借助于计算机数值计算,可以求出任意信号激励下的响应(数值解)。
●卷积法要求激励信号是一个有始信号,否则无法确定初始状态。
● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等,具体对比见§2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。
本课程中重点介绍近代时域法。
§2-2 系统微分方程的算子表示一、算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。
微分算子:令dtd p =,n n n dt d p =, 积分算子:⎰∞-=t d p τ)()(1● 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为:L L L i p L dtdi L u ⋅⋅==C t C C i pC d i C u ⋅⋅==⎰∞-11τ 即可以将电感和电容记成阻值为p L ⋅和p C ⋅1的电阻,即感抗和容抗。
利用算子可以将线性时不变系统的微分方程: )()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------表示为:)()(...)()()()(...)()(01110111t e b t pe b t e p b t e p b t r a t pr a t r p a t r p m m m m n n n ++++=++++---- 按照代数运算法则,提取公因子,可以将上式简化为:)()...()()...(01110111t e b p b p b p b t r a p a p a p m m m m n n n ++++=++++----或进一步简化为: )()...()...()(01110111t e a p a p a p b p b p b p b t r n n n m m m m ++++++++=---- 定义:)()()...()...()(01110111p D p N a p a p a p b p b p b p b p H n n n m m m m =++++++++=----则:)()()(t e p H t r =注意上面只是微分方程的一种简单记法,并不代表能进行这样的计算。
二、算子运算法则1、p n m np mp )(+=+,其中m,n 为任意常数。
2、n m n m p p p +=,其中m,n 同为任意正整数(或负整数)。
3、x x p p =1,但是:1)px p 1不一定等于x —— 微分和积分的次序不能交换:x d x dtd x p p t ==⎰∞-τ1, 但是:()()∞--=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞-⎰x t x d dt dx px p t t ττ1 即,px px p p 11≠ 2)如果)()(t py t px =,不一定能够推出)()(t y t x =,只能得到C t y t x +=)()(,即等式两边的公共因子不能抵消。
可见,大部分代数运算法则可以使用,但是有一些不能用。
§2-3 系统的零输入响应零输入响应是下列齐次方程的解:0)()...()()(0111=++++=--t r a p a p a p t r p D n n n 对它有两种解法:1)经典解法2)等效源法(或初始条件法)一、经典解法用经典法求解零输入响应由如下两步构成:1、确定系统的自然频率:令D(p)=0,将p 看成一个代数量,解得其n 个特征根n λλλ,...,,21。
2、确定零输入响应的形式解:1)如果D(p)=0俱为单根时,则可以确定其形式解为:∑==+++=n i t i t n t t zi i n e C e C e C e C t r 121...)(21λλλλ 其中n C C C ,...,,21为待定常数。
2)如果D(p)=0有重根时,假设1λ是一个k 重根, 即k λλλ===...21,则形式解为:∑∑+==-+-+=+++++++=+n k i t i k i t i i tn t k tk k t t t zi i n k e C e t C e C e C e t C e t C te C e C t r 111112*********......)(λλλλλλλλ3、根据初始条件,确定待定系数:一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数)0(),...,0(''),0('),0()1(-n r r r r ,代入形式解中就可以确定待定系数。
当D(p)=0俱为单根时:n n n n n n nn nn nC C C r C C C r C C C r C C C r )1(2)1(21)1(1)1(2222121221121...)0(...............)0(''...)0('...)0(----+++=+++=+++=+++=λλλλλλλλλ由上面的n 个方程就可以确定n 个待定系数。
或者记为矩阵形式:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n n n n n n n n C C C C rr r r M ΛM O M M MΛΛΛM 32111112232221321)1(21111)0()0('')0(')0(λλλλλλλλλλλλ 其它形式的初始条件,以及特征方程中有重根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过程解出。
举例:例1. 已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件是:()()()23,01,0232p H p r r p p +'===++, 求系统的零输入响应并指出其自然频率。
解:2320p p ++=,()()120p p ++=,11p =-,22p =-。
所以, 零输入响应的形式为:()212t t r t c e c e --=+求1c 、2c :()()''2212122t t t t r t c e c e c e c e ----=+=--,()()12'1201022r c c r c c ⎧=+=⎨=--=⎩ 解得:124,3c c ==-,得,()243t t r t e e --=-,自然频率分别为:121,2λλ=-=-。
二、等效源法这种方法将初始条件看成是一个在t=0的瞬间加上的激励源(阶跃或冲激),然后将系统的初始条件归为零,从而将求解零输入响应的问题转化为求解零状态响应的问题。
这在后面求解零状态响应中一并处理。
等效源法将在时域解法中用得不是很多,本课程将在Ch5中介绍其原理。
小结:系统零输入响应的时域求解方法就是经典的齐次微分方程的解法。
习题:①. 2.3(1)-图P2-3(a); ②.2.4(3)。
******************************************以下内容涉及到系统零状态响应的求解过程,为了叙述的清楚起见,我们这里先简单了解其求解的基本思路。
系统零状态响应的求解过程求解零状态响应的基本思想:1)将任意信号分解为一系列“标准统一”的子信号之和(或积分);2)求线性系统对各个子信号的响应;3)将各子信号的响应相叠加,从而得到系统对激励信号的响应。
这其中利用到了线性系统的齐次性和叠加性。
为了求解线性系统的零状态响应,必须解决以下几个问题:1)选取什么样的子信号?2)如何将信号分解为子信号的和或积分?3)如何求系统对子信号的响应?4)如何求得最后的响应?在下面的各节中,我们将就上面的问题一一进行讨论。
其中,§2-4介绍了时域分解法中使用的子信号;§2-5介绍如何将任意信号分解为子信号之和;§2-6介绍如何求子信号的响应;§2-7~§2-9介绍如何通过叠加,从而求出系统的响应。
§2-4 奇异函数本节解决的是时域法中子信号选取问题。
子信号的选取对系统分析至关重要。
为了利于分析,要求子信号具有:1)完备性:任意函数(或绝大部分函数)都可以分解为该子信号的和,没有(或几乎没有)例外;2)简单性:容易求得系统对该子信号的响应;3)相似性:不同子信号的响应具有内在联系,可以类推。
奇异函数是一种理想化的函数,这些函数或其各阶导数具有一个或多个间断点,在这些间断点上的导数无法用一般方法确定。
常用的有阶跃函数和冲激函数。
1、阶跃函数)(t ε⎩⎨⎧≥=其它001)(t t ε其中t 1>0。
任意函数乘以)(t ε以后,其t<0部分等于零,成为有始函数。
➢ 在很多文献中,用u(t)表示阶跃函数。
2、冲激函数)(t δ冲激函数的图形表示方法:位置,强度。
其中t 1>0。
冲激函数有很多种定义方法。
常见的有两种:1)定义为)(t ε的导数:)()(t dtdt εδ= ● 显然,该函数只在t=0处为非零值,其它各处都为零;● )(t ε和)(t δ互为微分和积分⎰∞-=td t ττδε)()()(t δ的几个特性:● 1)(=⎰+∞∞-ττδd ;0,0)(≠=t τδ时。