曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

()sin ()cos x

L f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣

⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = B

A.

1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1

()2

x x e e -+ 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则

C

ydx xdy

x y

-+=+⎰

C

.2 C 3．闭曲线C 为2

2

41x y +=的正向，则

22

4C

ydx xdy

x y -+=+⎰

D

A.2π-

B. 2π D. π 4．∑为YOZ 平面上2

2

1y z +≤，则

222()x y z ds ∑

++=⎰⎰ D B. π C. 14

π D. 12

π

5．设222:C x y a +=，则22

()C

x y ds +=⎰ C

A.2

2a π B. 2

a π C. 32a π D. 3

4a π 6. 设∑为球面2

2

2

1x y z ++=，则曲面积分

∑

[ B ]

A.4π

B.2π

C.π

D.12

π

7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分

⎰

=L

yds [ C ]

A. 21

B. 2

1

- C. 22 D. 22-

8. 设I=⎰

L

ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,

则I=[D ]

A.

655 B.1255 C.6155- D. 12

1

55-

9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）

A.

⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 2

1

； C. ⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-l

ydx xdy 21

。

10．设2

2

2

2

:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 C

A.1

4S

S xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.1

4S

S yds yds =⎰⎰⎰⎰

C.1

4S

S zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.1

4S

S xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰

二、填空题

1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分

⎰=+-L

y dy x e ydx )(2

-2

为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-s

dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(0

3.

⎰

=++-12

2

22y x y

x xdy

ydx =π2-

4．曲线积分

22()C

x y ds +⎰

，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π

5

．设∑为上半球面)0z z =

≥，则曲面积分()222ds y x z ∑

++⎰⎰= 32π

6. 设曲线C 为圆周2

2

1x y +=,则曲线积分

()2

23d C

x

y x s +-⎰ 2π .

7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )

y x (

8. 设∑为上半球面z

=，则曲面积分

∑

的值为 8

3

π。

9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是

⎰⎰∂∂+∂∂+=D

d y

z

x z S σ22)()(

1 10．设L 是抛物线3

y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)L

x y dx -=⎰

12

11

、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，

222()I x y z ds Γ

=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ 。

12、设L 为222

x y a +=的正向，则22L xdy ydx

x y -=+⎰ 2π

。

三、计算题 1．L

⎰

，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =

及x 轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπ

θθ

=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01

y x =≤≤。

则原式＝

OA

⎰＋

AB

⎰

＋

OB

⎰

＝0

＋40

ed π

θ⎰＋1

x e dx ⎰

＝2(1)4

e e π

-+ ＃

2．

[ln(L

y xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线

段0,0y x π=

≤≤所围闭区域D 的正向边界。 解：利用格林公式，

P =

[ln(Q y xy x =+

，则

P y

∂=∂2Q y x ∂=∂ 故原式＝

(

)D

Q P

dxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2D

y dxdy =⎰⎰sin 20

x

dx y dy π

⎰

⎰

＝

3014

sin 39

xdx π=⎰ ＃ 3．22

L

y dx x dy +⎰

，其中L 为圆周2

2

2

x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。

解：L 的参数方程为cos sin x R t

y R t =⎧⎨=⎩

，t 从0变化到π。

故原式＝

22220

[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π

-+⎰

＝3

22

[(1cos )(sin )(1sin )cos ]R

t t t t dt π

--+-⎰＝343

R - ＃