曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册
2第十一章 曲线积分与曲面积分习题2复习进程
2第十一章曲线积分与曲面积分习题2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分：(1) ⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ；(2) ⎰-++Lyydy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；(3) ⎰+-Ldy xy ydx x 22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；(4) ⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24(5) 利用曲线积分，求圆0622=++y y x 围成图形的面积.2．计算下列对坐标的曲线积分：(1) ⎰+-Lx x ydy e dx y e sin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；(2) ⎰++Ldy x dx x xy 2)2(，其中L 为由点)0,(a A 经曲线12222=+b y a x 在第一象限的部分到点)0,(),0(>b a b B ；3．求b a ,，使曲线积分⎰+L xbxdyaydx 2在右半平面0>x 内与路径无关，并求⎰+)2,1()1,2(2x bxdyaydx .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢254．验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分，并求出这样一个函数),(y x u ： （1）ydy x dx y x cos )sin 2(++； （2）dy e x dx xye e xy xy xy 2)(++.5．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰=+Lxdy ydx xy f 0))((.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢26第四节 对面积的曲面积分1．填空题：(1) 设∑为球面1222=++z y x ，则=⎰⎰∑dS ；(2) 面密度3),,(=z y x μ的光滑曲面∑的质量=M . 2．计算下列对面积的曲面积分：(1) ⎰⎰∑++dS z y x )22(，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分；(3) ⎰⎰∑zdS ，其中∑为)1()(2122≤+=z y x z 的部分；(3) ⎰⎰∑++2)1(yxdS，其中∑为0,0,0,1====++zyxzyx围成四面体的整个边界. 3．求2222azyx=++在2224ayx=+内的面积.4．求均匀曲面1222=++zyx)0,0,0(≥≥≥zyx的质心.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢27仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢285．求均匀半球面1222=++z y x )0(≥x 对x 轴的转动惯量.第七节 Stokes 公式 *环流量与旋度1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1) zdz dy dx y x ++⎰Γ32，Γ为xOy 面内圆周222a y x =+逆时针方向；(2) dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为平面1=++z y x 在第一卦限部分三角形的边界，从x 轴正向看去是逆时针方向；(3) ⎰Γ++xdzzdyydx，其中Γ为圆周0,2222=+=++zxazyx，从x轴正向看为逆时针方向.第十一章综合练习题1．填空题：(1) 已知L为椭圆22143x y+=，其周长为a，则=++⎰dsyxxyL)432(22；(2)已知L为直线1x=上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则35sin tanLx ydx x dy+=⎰；(3)设L是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则=+⎰L xydydxxy22；(4)曲线积分⎰+LxdyydxyxF))(,(与路径无关，则可微函数),(yxF应满足条件；(5)设∑为平面1=++zyx在第一卦限的部分，取上侧，则=---+-⎰⎰∑dxdyyxdzdxxzdydzzy)(3)(2)(222222 .2．求下列曲线积分：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢29仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢30(1) ⎰Γds x 2，其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周；(2) ⎰-++-Lx x dy x y e dx y x y e )cos ())(2sin (，其中L 为从点)0,2(A 沿曲线22x x y -=到点)0,0(O 的一段弧；(3) ⎰+-L y x ydxxdy 224，其中L 是以)0,1(为圆心，2为半径的正向圆周；(4) dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为球面三角1222=++z y x ,0,0,0>>>z y x 的边界线，沿它的方向前进时，球面三角形总在右方.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢313．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=ααx y 中，求一条曲线L ，使该曲线从O 到A 积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.4．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ.5．确定常数λ，使在右半平面.0x >上向量42242(,)2()()A x y xy x y i x x y j λλ=+-+为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y .326． 计算下列曲面积分：(1) dS z y x z ⎰⎰∑),,(ρ，其中∑为椭球面122222=++z y x 的上半部分，),,(z y x ρ为点)0,0(O 到平面π的距离，π为∑在点∑∈),,(z y x P 处的切平面；(2) ⎰⎰∑dS x 2，其中∑为圆柱面122=+y x 介于0=z 与2=z 之间的部分；33(3) ⎰⎰∑--++yzdxdy dzdx y xdydz y 4)1(2)18(2，其中∑是曲线⎩⎨⎧≤≤-==31,10y y z x 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法矢量与y 轴正向的夹角恒大于2π；(4) ⎰⎰∑++++2222)1(z y x dxdyz xdydz ，其中∑为下半球面221y x z ---=的上侧；⎰⎰∑+++++dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,([])),,(2[]),,([)5(其中),,(zyxf为连续函数，∑为平面1=+-zyx在第一卦限部分的上侧.34。
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
曲线曲面积分期末复习题
曲线、曲面积分：一、选择题1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2L x y dx +⎰=（ ）。
A . 221a B . 0 C.a 2 D 1 （对坐标积分，将曲线代入）2．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ ）A .(2,3)2(1,1)(3)(3)x y dx yx y dy ++-⎰２２ B .(2,3)22(1,1)(2)()xy x dx x y dy -++⎰ C.(2,3)2322(1,1)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰ D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰（提示；P Q y x ∂∂=∂∂时，与路径无关） 3．∑设：)0(2222≥=++z a z y x ，在第一卦限的部分为∑∑1，则有（ ）A ．⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS ； B.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS ；C.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS ；D.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS 。
（对称）４． 设C 是圆周x y x 222=+，则⎰=C xds （ ）。
A 、0； B 、1； C 、π； D 、π2。
解：（对弧长的曲线积分，将曲线代入）Ｃ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，⎰=Cxds 20(1cos 2πθθπ+=⎰二、填空题１．C 为不包围原点的封闭曲线，积分=++⎰c y x ydy xdx 22２.曲线积分()22()()n L x y dx x y dyx y -+++⎰与路径无关，则n ＝＿ ＿＿＿＿，３．设L 是2214x y +=逆时针方向的封闭曲线，⎰=++L xydy dx y y 2)(2 ___________。
4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与(1,1)B 点之间的一段弧，则曲线积分=⎰_____ ___ 。
（Ｌ代入）５．已知C 为椭圆22221x y a b+=，反时针方向，则()()C x y dx x y dy +--=⎰ 。
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
《高等数学 A 》期末辅导材料( 下册 第10,11,12 章).
《高等数学A 》期末辅导材料( 下册 第10,11,12章)第十章 曲线积分与曲面积分本章重点内容：两类曲线积分的概念及其计算法，格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件，两类曲面积分的概念及其计算法，高斯公式，斯托克斯公式。
本章难点内容：对坐标的曲面积分的概念及其计算法，斯托克斯公式。
复习指导：本部分将直线上的一个区间换为曲线弧段，从而将定积分的概念推广为曲线积分；将平面区域换为曲面，从而将二重积分的概念推广为曲面积分。
曲线积分有两类：对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分；曲面积分有两类：对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分； 在学习中，要注意：（1）两类曲线积分都是化为定积分来计算，两类曲面积分都是化为二重积分来计算，关键是：怎样化？要注意各自的化法。
（2）对坐标的曲线积分与曲线的方向有关，对坐标的曲面积分与曲面的侧有关。
（3）计算对坐标曲线积分时，若积分路径是封闭的，可以考虑利用格林公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）计算对坐标曲面积分时，若积分曲面是封闭的，可以考虑利用高斯公式来求；（但要注意满足格林公式的条件）（4）计算对坐标的曲线积分时，可以考虑利用积分与路径无关的条件来求。
（5）计算对坐标曲线积分时，若积分曲线是空间闭曲线（一般题目给的是两个曲面的交线），可以考虑利用斯托克斯公式来求；（6）怎样判断是否),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+？怎样求出原函数。
求出的方法有多种，用公式),(y x u ),(y x u ∫∫+=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 来求是最基本的一种，必须掌握。
本部分常考的题型有：两类曲线积分的计算，两类曲面积分的计算；用格林公式计算平面闭曲线上的第二类曲线积分。
用曲线积分与路径无关的条件计算沿平面曲线的第二类曲线积分;用高斯公式计算封闭曲面上的第二类曲面积分；用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的第二类曲线积分。
曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。
（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。
2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。
三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。
（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。
五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+L n ds y x )(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。
八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。
§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。
（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。
（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。
高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
高数下册-曲线积分与曲面积分复习题
24、 选择题
下列结论正确的是( )
A. ∫∫ e x+ydxdy = 4∫∫ e x+ydxdy , D：| x | + | y |≤ 1, D1：x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0；
13、
计算
∫L
(x
+
y)dx x2
− +
(x y2
−
y)dy
，其中
L
为圆周
x2
+
y2
=
a2(按逆时针方
向绕行)；
14、
计算
∫ xydx + ( x − y)dy + x2dz Γ
，其中
Γ
为螺旋线
x = a cos t,
y = a sin t, z = at (0 ≤ t ≤ π ) 上从点 A(a,0,0) 到点 B(−a,0, aπ ) 的一段
∫ e x (cos L
ydx − sin ydy)
17、 计算 ∫Γ xdx + ydy + zdz ，其中曲线 Γ 为从点 A(1,1,1) 到点 B(2,3,4) 的
直线段；
18、 计算 ∫L xy2dy − x2 ydx ，其中 L 为圆周 x2 + y2 = R2 的逆时针方向； 19、 利用格林公式计算 I = ∫L (2xy − x2 )dx + ( x + y2 )dy ，其中 L 是由抛物
线 y = x2和 y2 = x 所围区域的正向边界曲线；
20、
∫ 利用格林公式计算 I = (e x sin y − my)dx + (e x cos y − m)dy ，其中 AnO
曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
《高数》下册第十一章练习题
《高数》下册第十一章练习题第十一章曲线积分与曲面积分习题11-11.设在某Oy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（某,y）处它的线密度为（某,y）。
用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对某轴,对y轴的转动惯量I某Iy,（2）这曲线弧的质心坐标某,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分：（1）（2）(某L2y)d，其中L为圆周某acot,yaint(0t2)2nL(某y)d，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段2某d，其中L为由直线y=某及抛物线y某（3）L所围成的区域的整个边界e（4）L某2y2d，其中L为圆周某2y2a2，直线y=某及某轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界1tttd某ecot,yeint,ze222（5）某yz，其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧（6）某2yzd，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），y2d，，其中L为摆线的一拱某a(tint),ya(1cot)(0t2)（1,3,2）（7）（8）LL(某2y2)d，其中L为曲线某a(cottint),ya(inttcot)(0t2)4.求半径为ａ，中心角为2的均匀圆弧（线密度1）的质心0t2，它的线密度5.设螺旋形弹簧一圈的方程为某acot,yaint,zkt，其中(某,y,z)某2y2z2．求：I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z（２）它的质心。
习题11-21.设L为某Oy面内直线某a上的一段，证明：LP(某,y)d某02.设L为某Oy面内某轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：LP(某,y)d某P(某,0)d某ab3.计算下列对坐标的积分：（1）(某L2y2)d某，其中L是抛物线y某2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）L某yd某2(某a)2y2a（a>0）及某轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）Lyd某某dy，其中L为圆周某Rcot,yRint上对应t从0到2的一段弧(某y)d某(某y)dy222某+ya（4）L（按逆时针方向绕行）某2y2，其中L为圆周（5）某2d某zdyydz，其中为曲线某kyaco,zain上对应从0到是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线的一段弧（6）（7）某d某ydy(某y1)dz，其中，其中d某dy+ydz2L为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8）(某的一段弧4.计算2某y)d某(y22某y)dy，其中L是抛物线y某2上从点（-1,1）到点（1,1）(某y)d某(y某)dy，其中L是：L2y某上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（1）抛物线（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线22某2tt1,yt1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（4）曲线222某yR5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（某,y,z）沿直线移到（某,y,z）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分LP(某,y)d某Q(某,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：（1）在某Oy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）2y某（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）22某y2某从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周23某t,yt,zt为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设Pd某QdyRdz化成对弧长的曲线积分习题11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）L(2某y某2)d某(某y2)dyy某2和y2某所围成的区域的，其中L是由抛物线正向边界曲线（2）L(某2某y2)d某(y22某y)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线某aco3t,yain3t22（2）椭圆9某+16y144（3）圆某y2a某22yd某某dy22(某1)y2，L的方向为逆时针方向L2(某2y2)3.计算曲线积分，其中L为圆周4.证明下列曲线积分在整个某Oy面内与路径无关，并计算积分值（1）（2）(2,3)(1,1)(3,4)(某y)d某(某y)dy(1,2)(2,1)(6某y2y3)d某(6某2y3某y2)dy(2某yy43)d某(某24某y3)dy（3）(1,0)5.利用格林公式，计算下列曲线积分：(2某y4)d某(5y3某6)dy（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）L的三角形正向边界；(某（2）L2yco某2某yin某y2e某)d某(某2in某2ye某)dy23，其中L为正向星形线某ya(a0)（3）2323，其中L为在抛物线L(2某y3y2co某)d某(12yin某3某2y2)dy2某y2上由点（0,0）到（2）的一段弧，1(某（4）L2y)d某(某in2y)dyy2某某2上由点（0,0）到点（1,1），其中L是在圆周的一段弧6.验证下列P(某,y)d某Q(某,y)dy在整个某Oy平面内是某一函数u(某,y)的全微分，并求这样的一个u(某,y)：（1）(某2y)d某(2某y)dy22某yd某某dy（2）（3）4in某in3yco某d某3co3yco2某dy2232y(3某y8某y)d某(某8某y12ye)dy（4）22(2某coyyco某)d某(2yin某某iny)dy（5）7.设有一变力在坐标轴上的投影为某某y,Y2某y8，这变力确定了一个力场。
曲线积分与 曲面积分测试题
曲线积分与曲面积分测试题1. 计算曲线积分 $\int_C e^{x^2} dx + 2xy dy$，其中 $C$ 为从点 $(0,0)$ 到点 $(2,1)$ 的直线段。
答案：$\frac{1}{2}(e^4-1)$2. 计算曲面积分 $\iint_S (x+y+z)\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=9$ 的上半部分。
答案：$\frac{27\pi}{2}$3. 计算曲线积分 $\int_C xy\ dx + x^2y^2\ dy$，其中 $C$ 为以原点为中心，半径为 $3$ 的圆周。
答案：$0$4. 计算曲面积分 $\iint_S x^2\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=4$ 的下半部分。
答案：$\frac{4\pi}{3}$5. 计算曲线积分 $\int_C (y+z)\ dx + (z+x)\ dy + (x+y)\ dz$，其中 $C$ 为从点 $(0,0,0)$ 到点 $(1,2,3)$ 的直线段。
答案：$8$6. 计算曲面积分 $\iint_S yz\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧。
答案：$0$7. 计算曲线积分 $\int_C x\ dy - y\ dx$，其中 $C$ 为以原点为中心，半径为 $2$ 的圆周。
答案：$-4\pi$8. 计算曲面积分 $\iint_S z\ dS$，其中 $S$ 是柱面$x^2+y^2=1$ 的侧面，$z$ 在 $[0,2]$ 之间。
答案：$2\pi$9. 计算曲面积分 $\iint_S xy\ dS$，其中 $S$ 是抛物面$z=x^2+y^2$ 在 $z\leq 1$ 的部分。
答案：$\frac{8}{3}$10. 计算曲线积分 $\int_C \frac{x\ dy - y\ dx}{x^2+y^2}$，其中$C$ 为以原点为中心，半径为 $2$ 的逆时针方向圆周。
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
第十章-曲线曲面积分(习题及解答)
第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B )(,)d (,)d A BB Af x y s f x y s =⎰⎰；(C )(,)d (,)d A B B Af x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d AB BAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A)10t ⎰; (B )1t t ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s=⎰不相等的积分是( ).(A)10x ⎰; (B)10y ⎰;(C)d r r ⎰; (D)10e r ⎰答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D).5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A)x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰.3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n Lx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)22d x y Les +⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅(5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22221x y a b+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y =(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)2200cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-. 3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y (2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰ .答：43. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32a π-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32. 三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0. 3．计算22()d ()d L x y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针). 答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-. §10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)230d d Rr r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)230d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)220d d RR r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰= ( ).(A)323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q Px y∂∂-=∂∂; (C)0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4L x y y xx y -=+⎰( ).(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y xI x y -==+⎰( ).(A)因为Q P x y ∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q Px y∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C). 7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂; (C)P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Q y x∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A)2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰. 答(A).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰.答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰.答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰.答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d L ax y by x x y -+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx yx y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d y Le y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14L P xQ s x ++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d x Lf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答: 2x xe e --.三、解答题1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-. 2. 计算(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-⎰，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2c o s )d (12s i n3)d Lx y y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y 上由(0,0)到(1,1)的一段弧. 答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:(1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52. (2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.答: (1) 22222x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +. 7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z S z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(D)1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d xy S ∑+=⎰⎰120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ).(A)4d d xyD x y ⎰⎰;(B)4d d 3xyD x y ⋅⎰⎰; (C)23004d d x y ⎰; (D)32004d d x y ⎰;. 答(B). 6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰().(A)222200d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)2220d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)220d )d r r r πθ-⋅⎰⎰; (D)220d d r r r πθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰; (B )22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C). 二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰.答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y za ++=,则222d xy z S ∑=⎰⎰.答: 0.3. 设∑为上半球面z ,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰.答: 23a π.6. 设∑为上半球面z ,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z ++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答:8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-. 三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1) 136π; (2) 14930π; (3) 11110π. 2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答: 5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰; (C)2d d z x y ∑=⎰⎰0;(D )(A)(B)(C)都不对. 答(C). 2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A)303d y x ⎰⎰;(B)302d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d zx ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(C)2222222()d d 2d d x y a x y z x y a x y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰;(C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰..答:343a π. 5. 设∑为球面2222()()()x a yb zc R -+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰..答:343R π. 6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰.答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答: 32π.3. 计算d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18. 4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧. 答: (1)32d 55P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰; (2) S ∑.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B )1d d d d d d 3x y z y z x z x y∑++⎰⎰; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰.答(B). 2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰( ). (A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰.答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d x y z z y x y ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d xyz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰2(321)d d d xx x y z Ω-+⎰⎰⎰;(C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d x x y z y y z ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰.答:343a π. 2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答:525a π. 3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a yb zc Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: ()a b c abc ++.5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π.三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a . 2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222xy z a ++=外侧.答:525a π. 3. 计算2232d d ()d d (2)d d xz y z xy z z x xy y z x y ∑+-++⎰⎰,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤.答:525a π. 4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32. 6. 计算22d d (2)d d d d 2zx y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:4π. 7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z =z .答: 326(1cos2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xy y z z z x z xx y ∑++-⎰⎰,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A) d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y z z x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (B) d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z PQ Rαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q Rαβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰; (D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d i j k x y z x y z PQR∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰( ).(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u = . 答: 0.3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A =.答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++, 则rot A =.答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+-. 三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业 学号 姓名从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)x y a b a b+=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x xz y yz z Γ-+⎰,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++,∑为上半球面z , n 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+-,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。
(完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题
第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。
（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。
2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。
三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。
（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。
五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+Ln ds y x)(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。
八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。
§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。
（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。
（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。
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第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰C.2 C 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2π D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()x y z ds ∑++=⎰⎰ D B. π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a π B. 2a π C. 32a π D. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155-9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21； C. ⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-Ly dy x e ydx )(2-2为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 10．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ 。
12、设L 为222x y a +=的正向，则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π。
三、计算题 1．L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =及x 轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01y x =≤≤。
则原式＝OA⎰＋AB⎰＋OB⎰＝0＋40ed πθ⎰＋1x e dx ⎰＝2(1)4e e π-+ ＃2．[ln(Ly xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界。
解：利用格林公式，P =[ln(Q y xy x =+，则P y∂=∂2Q y x ∂=∂ 故原式＝()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3．22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。
解：L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。
故原式＝22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - ＃4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积。
解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。
故所求面积＝D =D2016d πθπ==⎰⎰＃ 5、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰，其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。
解：添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D ，利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂，cos x Q e y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰＝22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰＝20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰＝22m a π ＃6．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，t 从2π变化到0。
于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰＝43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByz dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。
解：记1∑为该表面在XOY 平面内的部分，2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在XOZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。
1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向，我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰＝1(1)z dxdy ∑+⎰⎰＝010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理，21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰， 由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰， 故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8．计算曲面积分：()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧。
解：利用高斯公式，所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I=⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass 公式得:I=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)( =81＃ 10．计算I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB 解：直线段AB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t 从1变到0， 所以：I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233＝3221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰＝48787013-=⎰dt t ＃ 11. 计算曲线积分I=⎰⋂-+-AMO xxdy y e dx y y e,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周ax y x =+22解：在x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA 上, ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由Green 公式得:⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12. 计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是z=2)(22y x +与z=322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程:x=cost, y=sint, z=2 t: 0π2→ 于是: dz y dy x dx z L 333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43 另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则：2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S 的面积I 解：S 在xoy 平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyI=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3＝⎰⎰-10103xdy dx ＝23)1(31=-⎰dx x ＃ 14. 计算曲线积分⎰+++-Ly x dyy x dx y x 22)()(其中L 是沿着圆1)1()1(22=-+-y x 从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设22),(yx y x y x P +-=， 22),(yx y x y x Q ++=当022≠+y x 时，22222)(2y x xyx y x Q y P +--=∂∂=∂∂故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：⎰+++-Lyx dyy x dx y x 22)()(=⎰→+++-AByx dyy x dx y x 22)()(=⎰+-22)11(dx x x =21ln5-arctan2 ＃ 15. 确定λ的值，使曲线积分()()2124d 62d Cxxy x x y y y λλ-++-⎰在XoY 平面上与路径无关。