浙江省宁波市高二下学期期末数学试卷(理科)
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分表示（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·西安期中) 下列命题中的真命题是（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若|a|＞b，则a2＞b2C . 若a＞b，则a2＞b2D . 若a＞|b|，则a2＞b23. （2分） (2018高二下·陆川期末) 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（）A .B .C .D .4. （2分）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·汕头月考) 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（）A . 20πB . 40πC . 50πD . 60π6. （2分）设F1 ， F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 4D .7. （2分） (2015高二上·济宁期末) 若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为（）A . ﹣7B . ﹣3C . 1D . 98. （2分）(2016·黄山模拟) 已知直线与抛物线交于A,B两点，且交AB 于D，点D的坐标为（2,1），则p的值为（）A .B .C .D .9. （2分）在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（）A . 180种B . 220种C . 260种D . 320种10. （2分）如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）A . 121B . 132C . 1320D . 1188011. （2分） (2019高二上·宁波期中) 等腰梯形中， ,沿对角线将平面折起，折叠过程中，与夹角的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为a，则a等于（）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·成都开学考) 如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________m2 ．14. （1分） (2017高二下·红桥期末) 二项式（ +2）5的展开式中，第3项的系数是________．15. （1分） (2016高一下·岳阳期中) 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．16. （1分） (2016高三上·大庆期中) 给出以下命题：①双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=± x；②命题P：∀x∈R+ ， sinx+ ≥1是真命题；③已知线性回归方程为 =3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）=0.6；则正确命题的序号为________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2019高一下·安徽月考) 已知数列满足，是数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，30，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数，的值；（Ⅲ）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.18. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．19. （10分） (2016高二下·漯河期末) 已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，侧面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F为SD的中点．（1）证明：SB∥面ACF；（2）求面SBC与面SAD所成锐二面角的余弦值．20. （5分）(2018高二上·牡丹江期中) 已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为 .若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．21. （5分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，，（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证： .22. （5分）(2017·绵阳模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ= （ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．23. （10分）(2017·西安模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R，（1）解不等式f（x）＜x+1；（2）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤ ，|2y+1|≤ ，求证：f（x）＜1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
浙江省宁波市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
浙江省宁波市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 下列各式中与排列数相等的是（）A .B . n(n－1)(n－2)……(n－m)C .D .2. （2分）(2018·茂名模拟) 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A .B .C .D .3. （2分）下列说法中，不正确的是（）A . 两个变量的任何一组观测值都能得到线性回归方程B . 在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示两个变量的关系的图象叫做散点图C . 线性回归方程反映了两个变量所具备的线性相关关系D . 线性相关关系可分为正相关和负相关4. （2分）从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（）A . 300种B . 240种C . 144种D . 96种5. （2分）已知a= （﹣cosx）dx，则（ax+ ）9展开式中，x3项的系数为（）A .B .C . ﹣84D . ﹣6. （2分） (2017高二下·钦州港期末) 某公园现有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有（）A . 48B . 36C . 30D . 187. （2分）一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 158. （2分）(2017·合肥模拟) 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（）A . 3B .C .D . 4二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2015高二下·淮安期中) 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.9，若两人同时独立射击，他们都击中靶的概率为________．10. （1分）将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为________．11. （1分）（x+3）（2x﹣）5的展开式中常数项为________．12. （1分） (2015高三下·湖北期中) 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．（用数字作答）13. （1分） (2017高三上·南通开学考) 从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，这2个数字之和为偶数的概率为________．14. （1分） (2017高二下·长春期中) 有A，B，C，D，E，F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其他任何限制：要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数________（用数字作答）三、解答题 (共5题；共45分)15. （10分） (2017高二下·榆社期中) 综合题。
2023-2024学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面α，β，γ，α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n.则“l ，m ，n 两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.给出四组成对数据：(1)(−2,−3)，(−1,−1)，(0,1)，(1,3)；(2)(0,0)，(1,1)，(2,4)，(3,9)；(3)(2,0)，(1, 3)，(0,2)，(−1, 3)；(4)(0,0)，(−1,1)，(−2,2)，(−3,3)，其中样本相关系数最小的是( )(提示：样本相关系数r =∑n i =1(x i −−x )(y i −−y )∑n i =1(x i −−x )2∑n i =1(y i −−y )2)A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)3.已知函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(2,4)，g(x)是f(x)的反函数，则函数g(2+x2−x )( )A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数C. 既是偶函数又是减函数 D. 既是偶函数又是增函数4.已知函数f(x)=32sinx +cos 2x2+12，先将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin(12x +π12)+1 B. g(x)=sin (2x−π6)+1C. g(x)=sin 12x +1D. g(x)=sin2x +15.在△ABC 中，已知sinBsinC =2cosA ，cosBcosC =2sinA ，则tan (π+B)=( )A. 1B. 2C. 3D. 46.已知P(B)=0.1，P(A|B)=0.5，P(A|−B )=0.3，则P(−A )=( )A. 0.05B. 0.27C. 0.68D. 0.327.在正三棱锥A−BCD中，侧棱AB=215，点E在棱BC上，且BE=16BC=2，若球O是正三棱锥A−BCD的外接球，过点E作球O的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为( )A. 9πB. 10πC. 11πD. 12π8.已知实数1，2，3，4，5，6，7，将这7个数适当排列成一列数a1，a2…，a7，满足a1<a2<a3>a4> a5<a6<a7，则满足要求的排列的个数为( )A. 58B. 71C. 85D. 96二、多选题：本题共3小题，共18分。
浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面,,,,,l m n αβγαββγγα⋂=⋂=⋂=.则“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出四组成对数据：（1）()()()()2,3,1,1,0,1,1,3----；（2）()()()()0,0,1,1,2,4,3,9；（3）()(()(2,0,3,0,2,3-；（4）()()()()0,0,1,1,2,2,3,3---，其中样本相关系数最小的是（）（提示：样本相关系数()()()()12211ni i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()()2,4,g x 是()f x 的反函数，则函数22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．既是偶函数又是减函数D ．既是偶函数又是增函数4．已知函数()231cos 22x f x x =++，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()1πsin 1212g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()πsin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()1sin 12g x x =+D ．()sin21g x x =+5．在ABC 中，已知sin cos 2cos ,2sin sin cos B B A A C C ==，则()tan πB +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣，则()P A =（）A ．0.05B ．0.27C ．0.68D ．0.327．在正三棱锥A BCD -中，侧棱AB =点E 在棱BC 上，且16BE BC ==若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，过点E 作球O 的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数127,,,a a a ，满足1234567a a a a a a a <<>><<，则满足要求的排列的个数为（）A ．58B ．71C ．85D ．96二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知关于x 的方程()210x tx t ++=∈R 在复数范围内的根为12,x x .若122x x -=，则实数t 的值可能为（）A ．B ．1C ．0D ．-10．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()00P X P Y =>=B ．()()34P X P Y ===C ．()()E X E Y =D ．()()D X Y D >11．已知2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．展开式的各二项式系数的和为0B ．1220251a a a +++=- C ．20252024202301220252221a a a a ++++= D ．1220251111a a a +++=- 第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{2,0,1},{1}M N x x a =-=-<∣.若M N ⋂的真子集个数是3，则实数a 的取值范围是.13．已知平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，对任意的实数k ，a kb c ++ 的最小值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足下列两个条件：①()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+；②()30,0x f x x ∀>+>.请你写出一个符合要求的函数解析式.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数()321x f x x-=-.(1)设()()g x f x a b =++，若()g x 是奇函数，求,a b 的值，并证明；(2)已知函数[)[)21,1,03()2(),0,13x m x h x f x m x ⎧++∈-⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩，若关于x 的方程()h x mx =在[)1,1-内恰有两个不同解，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥D ABC -中，CD ⊥平面,1,2,ABC BC BA B ==是以AC 为直径的圆周上的一点，,M N 分别是,BD AD 上的动点，且MN 平面ABC ，二面角C AB D --的大小为45.(1)求证：MN AB ；(2)求证：MN ⊥平面BCD ；(3)当直线CN 与平面ABD 所成的角最大时，求AN 的值.17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[](](](](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]4,6，(]8,10二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知(]4,6这一组学生的均值为5，方差为2；求(]8,10这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,14内的概率，其中0,1,2,,10k =⋯.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由.18．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c sin C c =.(1)若tan tan tan ,3A B C a =+=，求ABC 的面积；(2)若B 为锐角，ABC ABC 的内切圆半径的最大值.19．（1）我们学过组合恒等式11C C C m m m n n n -+=+，实际上可以理解为011111C C C C C m m m n n n -+=+，请你利用这个观点快速求解：051423324150105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++.（计算结果用组合数表示）（2）（i ）求证：1111C C k k n n n k--=；（ii ）求值：101220250(1)C 2025n n n n n -=--∑.1．C【分析】根据面面垂直的判定和性质结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当,,αβγ两两垂直时，在β内作a l ⊥，在γ内作b n ⊥，因为αβ⊥，l αβ= ，γα⊥，n γα=I ，所以,a b αα⊥⊥，所以a ‖b ，因为,a γb γ⊄⊂，所以a ‖γ，因为,a m ββγ⊂= ，所以a ‖m ，因为a α⊥，所以m α⊥，因为,l n α⊂，所以,m l m n ⊥⊥，同理可证得n l ⊥，所以,,l m n两两垂直，当,,l m n 两两垂直时，因为,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，所以,,,,,n l l m m n αβγ⊂⊂⊂，因为m n ⊥，所以m 与n 是相交直线，因为,l m l n ⊥⊥，,m n γ⊂，所以l γ⊥，因为,l l αβ⊂⊂，所以,αγβγ⊥⊥，同理可证得αβ⊥，所以,,αβγ两两垂直，所以“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的充要条件，故选：C2．D【分析】画出散点图，结合相关性的定义即可求解.【详解】分别作出四组数据的散点图，根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，3．B【分析】首先代入点的坐标求出a ，即可求出()g x 的解析式，从而求出22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】因为函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()2,4，所以24a =，解得2a =（负值已舍去），所以()2x f x =，又()g x 是()f x 的反函数，所以()2log g x x =，则222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令202x x +>-，解得22x -<<，所以22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的定义域为()2,2-，令()222log 22x x h x g x x ++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则()()2222log log 22x x h x h x x x -+⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()22x h x g x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，又24122x y x x +-==---在()2,2-上单调递增，2log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()2,2-上单调递增.故选：B4．A【分析】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【详解】由()211cos 1πsin cos sin sin 12222226x x f x x x x +⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得：11πsin 1226f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，可得()1ππ1πsin 1sin 1266212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5．A【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简tan tan .A C =和tan tan 1,tan C B A==，最后利用诱导公式计算结果；【详解】在ABC 中，sin 2cos ,sin 2cos sin ,π,sin()2cos sin ,sin B A B A C A B C A C A C C =∴=++=∴+= sin cos cos sin 2cos sin ,sin cos cos sin A C A C A C A C A C∴+==化简得sin sin =,tan tan .cos cos A C A C A C =cos 2sin ,cos 2sin cos sin 2cos sin cos B A B A C B A C C=∴== 两式做比值得tan tan 1,tan C B A ==则()tan πB +=tan 1,B =故选：A.6．C 【分析】根据条件概率公式可得(),()P AB P AB ，进而可得()P A ，即可由对立事件概率公式求解.【详解】由()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣可得()()()0.05,(()()0.30.90.27P AB P B P A B P AB P B P A B ====⨯=∣∣,所以()()()0.050.270.32P A P AB P AB =+=+=,故()1()0.68P A P A =-=,故选：C7．B【分析】取正BCD △的中心G ，根据正三棱锥的结构特征分析可知AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，结合外接球的性质可得外接球的半径为5R =，分析可知当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的面积最小，据此运算求解即可.【详解】如图，取正BCD △的中心G ，连接,,AG GE OE ，由题意可知：AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，由BG ⊂平面BCD ，可得AG BG ⊥，因为正BCD △的边长为62162262sin 60BG ==︒可得226AG AB BG -=，设正三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()(222626R R =-+，解得5R =，可知1OG AG R =-=，在BEG 中，可知26,2,30BG BE EBG ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos EG BG BE BG BE EBG =+-⋅⋅∠，即23242262142EG =+-⨯⨯，可得14EG =则2215OE EG OG =+=由球的性质可知：当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，此时圆的半径为2210r R OE =-=210πr π=，所以面积最小的截面的面积为10π.故选：B.8．B【分析】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，分51a =，52a =和53a =三类进行讨论.【详解】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，当51a =时，67,a a 有26C 种选法，剩余数字中3a 最大，12,a a 有23C 种选法，最后剩下一个就是4a ，共有2263C C 15345=⨯=种，当52a =时，11a =，67,a a 有25C 种选法，剩余数字中3a 最大，而2a ，4a 有22A 种选法，共有2252C A 10220=⨯=种，当53a =时，11a =，22a =，67,a a 有24C 种选法，剩余数字3a ，4a 只有1种，共有24C 6=种，则满足要求的排列的个数为4520671++=种.故选：B9．ACD【分析】根据韦达定理求得()22124x x t =--，讨论24t -，求得12x x -，结合条件，即可求解.【详解】由韦达定理可知，12x x t +=-，121=x x ，()()22221211244x x x x x x t +-=-=-，当240t ->时，12x x -，则122x x -==，得t =±当240t -<时，12x x -=，则122x x -=，得0=t .故选：ACD10．BC【分析】A 选项，X 0=，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出()308P X ==，()203P Y ==，A 错误；B 选项，计算出()()1344P X P Y ====；C 选项，求出X 的可能取值和对应的概率，计算出()32E X =，同理可得()32E Y =，得到C 正确；D 选项，利用方差计算公式得到()()D X D Y <.【详解】A 选项，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，故()11211144C C 11302C 2C 8P X ==⨯+⨯=，Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，故()11112132222244C C C C C 11202C 2C 3P Y +==⨯+⨯=，故()()00P X P Y =<=，A 错误；B 选项，3X =，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1214C 1132C 4P X ==⨯=，4Y =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故()2324C 1142C 4P Y ==⨯=，故()()34P X P Y ===，B 正确；C 选项，X 的可能取值为0,2,3，其中()308P X ==，()134P X ==，2X =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1314C 1322C 8P X ==⨯=，故()33130238842E X =⨯+⨯+⨯=，Y 的可能取值为0,4,6，其中()203P Y ==，()144P Y ==，6Y =，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，()2224C 1162C 12P Y ==⨯=，故()211304634122E Y =⨯+⨯+⨯=所以()()E X E Y =，C 正确；D 选项，()22233333130232828242D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2223231311904623242124D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然()()D X D Y <，D 错误.故选：BC11．BCD【分析】二项式系数和为2n ，得出A ；令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，令0x =，得到01a =，得出B ；由二项式定理可得()2025C 1k k k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，它是()()202521+-的展开，得到C ；1C k n =1111112C C k k n n n n +++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 化简即可得D.【详解】2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，展开式的各二项式系数的和为20252，所以A 错；令0x =，得到01a =，令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，1220251a a a +++∴=- ，所以B 对；由二项式定理可得：()()20252025C C 1k k k k k x x -=-，()2025C 1kk k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，0,1,22025k = ，()()()()()()202501220252025020241202320202520252025202520252C 12C 12C 12C 1211-+-+-+-=+-= ，20252024202301220252221a a a a ∴++++= ，故C 对；()2025C 1,0,12025kk k a k =-= ，()()()()()()()!!!!2!!11111C !21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++()()()()()111!1!1!!111121!1!2C C k k n n k n k k n k n n n n n n +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2025202520252025012202500020252025202520252025202511111111C C C C C 1C k k k k k k k k a ===-===-+-+--∑∑∑ ，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 020262026202620261102027C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭011a = ，1220251111a a a +++∴=- ，故D 对.故选：BCD.12．10a -<<【分析】M N ⋂的真子集个数是3，所以共有2个元素，分{}1,0M N ⋂=-和{}0,2M N ⋂=两种情况即可解出答案.【详解】M N ⋂的真子集个数是3，M N ⋂共有n 个元素，所以213n -=，2n =.{}{1}11N x x a x a x a =-<=-<<+∣∣若{}1,0M N ⋂=-，则有11012a a -<-⎧⎨<+≤⎩，10a ∴-<<；若{}0,2M N ⋂=，则有11012a a -≤-<⎧⎨+>⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围是10a -<<.故答案为：10a -<<.13．122-【分析】根据题意，得到由a kb c a kb c ++≥+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，结合221a kb k k +=-+ ，得到a kb +.【详解】因为平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，可得12a b ⋅=- ，由12a kbc a kb c a kb ++≥+-=+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，又由222222121()24a kb a k b ka b k k k +=++⋅=-+=-+ ，当12k =时，a kb +所以a kb c ++的最小值为122-.12.14．()3(0)f x x kx k =-+>（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可.【详解】因为()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，所以()()3226=-f x f x x ，可得()()332(2)2⎡⎤+=+⎣⎦f x x f x x ，设()3(0)f x x kx k +=>，可得()3(0)f x x kx k =-+>.因为()()()()3322333+=-+++=----++f x y x y k x y x x y xy y k x y ，()()()()3223333+-+=----++f x f y xy x y x x y xy y k x y ，所以()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，且()30+=>f x x kx ，符合题意.故答案为：()3(0)f x x kx k =-+>.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到()()3226=-f x f x x ，再构造函数.15．(1)13a b =⎧⎨=⎩，证明见解析(2)[)()3,03,99,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将()321x f x x -=-代入()()g x f x a b =++，结合奇函数定义可得答案.（2）由()h x mx =[)1,1-内恰有两个不同解，得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，23y mx m =-过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象分析即可.【详解】（1）法一：()131f x x =---，所以()131g x b x a =-+-+-，因为()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，所以113311b b x a x a ⎡⎤-+-=--+-⎢⎥-+-+-⎣⎦整理得：()222262(1)0a b x a ⎡⎤-+---=⎣⎦所以220620a b -=⎧⎨-=⎩，所以13a b =⎧⎨=⎩，法二：()131g x b x a =-+-+-，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以10a -=，则1a =，取()()11g g -=-得3b =，所以13a b =⎧⎨=⎩.，由上，()1g x x=-且定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且()()11g x g x x x-=-==--，即()g x 为奇函数，得证.（2）由题意得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，32213x mx m x -=--，得到25232033mx m x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，若0m ≠时，由Δ=0，解得9m =，且()k x 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，又23y mx m =-也经过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当23y mx m =-经过点()0,2-时，3m =，当23y mx m =-经过点()0,1时，32m =-，由图可知m 的取值范围是[)()3,03,99,2∞⎛⎤-⋃⋃+ ⎥⎝⎦.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行；（2）先证明AB ⊥平面BCD ，再由//MN AB 即可得证；（3）先找出线面角CNM ∠，再由sin CM CNM CN∠=转化为求CN 最小值，此时可得AN .【详解】（1）因为//MN 平面,ABC MN ⊂平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，所以//MN AB .（2）因为CD ⊥平面,ABC CD ⊂平面BCD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，因为B 是以AC 为直径的圆周上一点，所以AB BC ⊥，又平面ABC ⋂平面,BCD BC AB =⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面BCD ，由（1）得//MN AB ，所以MN ⊥平面BCD .（3）由（2）可知AB ⊥平面,BCD AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD当M 为BD 中点时，因为BCD △是等腰直角三角形，则CM BD ⊥，且1BC =，则CM =，由平面ABD ⊥平面BCD ，BD 为交线，CM ⊂平面BCD ，CM BD ⊥，可得CM ⊥平面ABD ，所以CN 在平面ABD 上的射影为NM ，则直线CN 和平面ABD 所成的角为CNM ∠.sin CM CNM CN∠=.所以当CN 最小时，CNM ∠最大.此时CN AD ⊥，由AC ==AD ==可得2AC AN AD ==17．(1)11.5(2)平均值为9，方差为13(3)6k =，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出0.10,a =再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据()P k 最大不等式节出k 的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.10,a =频率分布直方图中，第一个小长方形面积为20.020.04,⨯=第二个小长方形面积为20.030.06,⨯=第三、四个小长方形面积为20.050.1,⨯=第五个小长方形面积为20.150.3,⨯=第六个小长方形面积为20.10.2,⨯=前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为x ；()0.6100.10.75x +-⨯=，解得11.5x =（2）按分层抽样(](]4,6,8,10二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设(]8,10这一组的平均值x ，方差y55158920x x ⨯+⨯=⇒=所以总体方差是{}22152(58)15(98) 3.7520y ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，解得13y =（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知(]8,14内的概率是0.1520.120.0520.6⨯+⨯+⨯=，由()()()()11P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩得1011111010101191010C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4k k k k k kk k k k k k -----++-⎧≥⎨≥⎩解得5.6 6.6k ≤≤所以当()P k 最大时，6k =18．(1)3)1【分析】（1）先应用正弦定理求出角B,再分类讨论应用两角和差正切公式求出角C ，再求面积即可；（2）应用三角形面积等于周长乘以半径的一半，再结合不等式求最大值即得.【详解】（1sin C c =sin sin B C C =，所以2sin 2B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =，或3π4B =（i ）当π4B =时，tan 1tan AC =+因为()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +-=+=-，所以tan tan 1tan tan A C A C -=+化简得2tan tan 20C C --=，所以tan 1C =-，或tan 2C =①当tan 1C =-时，3π4C ∠=（舍去）；②当tan 2C =时，作AD BC ⊥于D ，得12,32AD BD CD CB CD BD BD BD ===+=+=，所以2,2BD AD ==，此时132ABC S BC AD =⨯= （ii ）当3π4B =时，tan 1tan AC =-+类似可得：tan tan 1tan tan A C A C-+=+化简得：2tan tan 20C C +-=，所以tan 1C =，或者tan 2C =-.①当πtan 1,,tan 04C C A ===，舍去；②当tan 2,C C =-为钝角，舍去综上得3ABC S =△.（2）由（1）可知ππ,2244B b ===记ABC 内切圆半径为得r ，因为()11sin 22ac B a b c r =++，所以sin ac B r a b c ==++因为222π2cos 4b a c ac =+-，所以(24()2a c ac =+-+，即2ac =，所以)22222ac r a c a c ===+-++由(2224()2())a c ac a c a c =+-+≥+-+，得a c +≤所以)max 21r ⎫==⎪⎪⎭当且仅当a c =时取等号.19．（1）515C ；（2）（i ）证明见解析；（ii ）22025-【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得；（2）（i ）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得；（ii ）将所求和式展开后，拆项，利用（i ）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果.【详解】（1）0514********105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++011223344510101010101010101010C C C C C C C C C 46644C 4=+++++++++123451223344511111111111111111111111111C 4C 6C 4C C C C 3C 3C 3C 3C C C =++++=+++++++234523344512121212121212121212C 3C 3C C C C 2C 2C C C =+++=+++++345344545513131313131313141415C 2C C C C C C C C C =++=+++=+=；（2）（i ）1111A A A 111C C !!!k n k k k k n n n n n n k k k kn ----=⋅===；（ii ）10120123202520252024202320220(1)1111C C C C C 20252025202420132012n n n n n -=-=-+-+-∑ 101210131C 1013+012310122025202420232022101312025202520252025C C C C C 20252024202320221013⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦ 0123101220252024202320221013+)1[(C C C C C 2025=-+++ 12310122024202320221013231012C C C C ]2024202320221031()1--+-- 由（i ）得11C C k k n n k n--=，则有102110121011202420232023202210131012121012C C ,C C ,,C C 202420231013==⋯=，原式()()0123101201210112025202420232022101320232022202110121C C C C C C C C C 2025⎡⎤=-+-++--+--⎣⎦构造数列{}n a ，令0123123C C C C n n n n n a ---=-+-+ ，则01231112C C C C n n n n n a ++--=-+-+ ，所以()()012301231112123C C C C C C C C n n n n n n n n n n a a ++------=-+-+--+-+()()()()00112233111223C C C C C C C C n n n n n n n n +-----=---+---+ 0121231C C C n n n n a ----=-+-+=- 所以11n n n a a a +-=-，即()2111n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-，即3n n a a +=-，所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列.又因为12345620231202531,0,1,1,0,1,,1,1a a a a a a a a a a ===-=-======- ，所以()()1012202520252023310(1)112C 2025202520252025n n n n a a a a n -=-=-=-=--∑.【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题.解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题.。
浙江省宁波效实中学高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）
浙江效实中学2021—2021学年度下学期期末考试高二数学理试题【试卷综析】本试卷是高二第二学期期末试卷，考查了高一、高二全数内容.以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式性质、大体不等式、解不等式、函数的性质及图象、函数解析式的求法、正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的概念、三角恒等变换、三角函数的图象、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共100分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，那么2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 【知识点】复数的代数运算【答案解析】B 解析：解：2(12)i -=1－4－4i=－3－4i ，因此选B. 【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，熟练把握复数的代数运算法那么是解题的关键.2．假设α是第二象限角，且1tan()2πα-=，那么3cos()2πα-=（A ） （B ）2- （C ） （D ）5-【知识点】诱导公式，同角三角函数大体关系式【答案解析】D 解析：解：因为1tan()2πα-=，得tan α=－12，而3cos()2πα-=－sin α＜0，因此排除A 、C ，由正切值可知该角不等于23π，那么排除B ，因此选D【思路点拨】碰到三角函数问题，有诱导公式特点的应先用诱导公式进行化简，能用排除法解答的优先用排除法解答.3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，那么（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >> 【知识点】【答案解析】A 解析：解： 【思路点拨】4．以下函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x=- （D ）sin cos y x x=+【知识点】三角函数的最小正周期【答案解析】C 解析：解：A 、B 选项由化一公式可知最小正周期为2π，C 选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D 选项可验证2π为其一个周期，综上可知选C.【思路点拨】求三角函数的最小正周期经常使用方式有公式法和图象法，公式法确实是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观看判定.5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如下图，为了取得()sin 2=g x x 的图象，那么只要将()f x 的图象（A ）向右平移12π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【知识点】函数()sin()=+f x A x ωϕ图象的应用，图象的平移变换.【答案解析】B 解析：解：由图象得A=1，又函数的最小正周期为74123πππ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，因此22πωπ==，将最第5题小值点代入函数得7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，解得()732,2623k k k Z πππϕπϕπ+=+=+∈，又23ππϕϕ<，所以=，那么()sin 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()sin 2=g x x 是函数f （x ）用6x π-换x 取得，因此是将()f x 的图象向右平移了6π个单位，选B.【思路点拨】由三角函数图象求函数解析式，关键是明白得A ，ω，φ与函数图象的对应关系，判定函数图象的左右平移确实是判定函数解析式中x 的转变.6．已知22ππθ-<<，且sin cos 5θθ+=，那么tan θ的值为（A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13-【知识点】同角三角函数大体关系式、三角函数的性质【答案解析】C 解析：解：因为0＜sin cos 5θθ+=＜1，而22ππθ-<<，得04πθ-<<，因此1tan 0θ-<<，那么选C【思路点拨】熟悉sin cos θθ+的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是此题解题的关键. 7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，那么“2x <<ABC ∆有两个解”的（A ）充分没必要要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又没必要要条件 【知识点】解三角形，充分条件、必要条件，充要条件的判定【答案解析】B 解析：解：假设三角形有两解，则以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，因为相切a=22sin 45=，通过点B时a=2，因此三角形有两解的充要条件为2x<<，那么假设2x <<角形不必然有两解，但三角形有两解，那么必有2x <<2x <<ABC ∆有两个解”的必要非充分条件，选B.【思路点拨】判定充要条件时，可先明确命题的条件和结论，假设由条件能推出结论成立，那么充分性知足，假设由结论能推出条件，那么必要性知足.8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，假设存在实数,a b ，知足)()(b g a f =，那么b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+- 【知识点】函数的值域的应用，一元二次不等式的解法.【答案解析】C 解析：解：因为函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞），假设存在实数,a b ，知足)()(bg a f =，那么2431b b -+->-，解得22b <<+ C.【思路点拨】利用函数的图象解题是经常使用的解题方式，此题假设存在实数,a b ，知足)()(b g a f =，由两个函数的图象可知，g （b ）应在函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞）的值域内. 9．已知)(x f y =是概念在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，关于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心；④当2π=x 时，)(x f y =必然取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A 解析：解：当f （x ）=－sinx 时，显然知足)(x f y =是概念在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，但当2π=x 时，)(x f y =取得最小值，因此④错排除B 、C 、D ，那么选A.【思路点拨】在选择题中，适当的利用特例法进行排除判定，可达到快速解题的目的.10)(x f y =)(x g y =集合A={x b ，，假设121<<t ， 则b a -（A ）1- D ）2【答案解析】A 解析：解：由图象可知假设f （x ）=0，那么x 有3个解，别离为33,0,22x x x =-==，假设g （x ）=0，那么x 有3个解，不妨设为x=n ，x=0，x=-n ，（0＜n ＜1），由f （g （x ）-t ）=0得g （x ）-t=32，或g （x ）-t=0，或g （x ）-t=32-，即()()()3322g x t g x t g x t =+==-或或，当121<<t 时，由g （x ）=t ，得x 有3个解；()311,22g x t ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，现在x 有3个解；()352,22g x t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，现在方程无解．因此a=3+3=6．由g （f （x ）-t ）=0得f （x ）-t=n ，或f （x ）-t=0或f （x ）-t=-n ．即f （x ）=t+n ，或f （x ）=t ，或f （x ）=t-n ．假设f （x ）=t ，因为121<<t ，因此现在x 有4个解；假设f （x ）=t+n ，因为121<<t ，0＜n ＜1，因此假设0＜n ＜12，那么12＜t+n ＜32，现在x 有4个解或2解或0个解，对应f （x ）=t-n ∈（0，1）有4个解，现在b=4+4+4=12或b=4+2+4=10，或b=4+0+4=8；假设12≤n ＜1，那么1＜t+n ＜2，现在x 无解．对应f （x ）=t-n ∈11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应的有2个解或3解或4个解．因此现在b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8．综上b=12或10或8或6或7．那么b －a=0或1或2或4或6，因此选项A 不可能，应选A 【思路点拨】判定复合函数的零点，可从外往里进行判定，注意充分利用图象先确信各自的零点或零点的范围，再由对应的函数值的范围确信复合函数零点个数. 第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分．11．假设α的终边所在直线通过点33(cos,sin )44P ππ，那么sin α=__ ▲ _．【知识点】三角函数概念【答案解析】2±解析：解：由已知得直线通过二、四象限，假设α的终边在第二象限，因为点P 到原点的距离为1，那么3sin sin42πα==，假设α的终边在第四象限，那么α的终边通过点P 关于原点的对称点,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因此sin 2α=-，综上可知sin α=.【思路点拨】一样已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的概念求值，此题应注意所求角终边所在的象限有两个.12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=⋅，那么角C =__ ▲ _． 【知识点】两角和的正切公式【答案解析】60解析：解：由tan tan tan A B A B++=⋅得()tan tantan tan tan tan tan 1tan tan A BA B A B C A B A B ++=⋅=-+=-=-⋅则C 为三角形内角，因此C=60°【思路点拨】一样碰到两角的正切和与正切积的关系，可考虑利用两角和的正切公式进行转化.13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _． 【知识点】余弦函数的性质【答案解析】()[,]2k k k Z πππ-∈解析：解：因为214cos 2cos 23y x x =+=+，由()222,2k x k k x k k Z ππππππ-≤≤-≤≤∈得，因此所求函数的单调递增区间为()[,]2k k k Z πππ-∈.【思路点拨】一样求三角函数的单调区间，先把三角函数化成一个角的函数，再结合其对应的大体三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，假设()()0f a f a -+≤，那么a 的取值范围是__ ▲ _． 【知识点】分段函数、二次不等式解法 【答案解析】[2,2]-解析：解：当a ＜0时，由()()0f a f a -+≤得22222240a a a a a a +++=+≤，解得－2≤a ＜0，当a ≥0时得22222240a a a a a a -+-=-≤，解得0≤a ≤2，综上得a 的取值范围是[2,2]-. 【思路点拨】关于分段函数解不等式，可分段解不等式再求各段上解集的并集.15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，那么实数m 的取值范围是__ ▲ _． 【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】[0,8]解析：解：由24cos sin 40x x m ++-=得()22cos 4cos 3cos 21m x x x =-+=--，因为()[]2cos 210,8x --∈，因此假设方程有实数解，那么m 的范围是[0,8]【思路点拨】一样碰到方程有实数解问题，可通过度离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，假设,,a b c 别离是角,,A B C 所对的边，那么2c ab 的最小值为__ ▲ _．【知识点】正弦定理、余弦定理、大体不等式【答案解析】23解析：解：因为sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，由正弦定理及余弦定理得222222222222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc +-+-+-⨯=⨯+⨯，整理得22232c a b ab =+≥，因此223c ab ≥，当且仅当a=b 时等号成立.即2c ab 的最小值为23.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可别离利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用大体不等式求最小值.17．假设直角坐标平面内两点,P Q 知足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，那么称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看做同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，那么实数k 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】一元二次方程根的散布，对称问题【答案解析】2k >+(m ，n)为函数当x ≥0时图象上任意一点，假设点(m ，n)是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”中的一个点，那么其关于原点的对称点(－m ，－n)必在该函数图象上，得()211n m n k m ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩，消去n 得210m km k -++=，假设函数有两个“伙伴点组”，那么该方程有2个不等的正实数根，得()2410010k k k k ⎧∆=-+>⎪>⎨⎪+>⎩，解得2k >+【思路点拨】关于新概念题，读懂题意是解题的关键，此题通过条件最终转化为一元二次方程根的散布问题进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数x y a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的概念域为R ，假设P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．【知识点】命题真假的判定，指数函数与对数函数的性质的应用 【答案解析】12a <<解析：解：假设命题P 为真，那么0＜a ＜1；假设命题Q 为真，那么△=240a -<，得－2＜a ＜2，又因为0a >且1a ≠，因此0＜a ＜2且1a ≠，若P 与Q 有且仅有一个正确，则12a <<.【思路点拨】判定复合命题的真假可先判定组成复合命题的大体命题的真假，假设两个命题有且仅有一个正确，可从使两个命题为真的实数a 的范围的并集中去掉交集即可求得实数a 的范围. 19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边别离为,,a b c，已知60,1a A b c ==-=，求,b c 和,B C ．【知识点】余弦定理、正弦定理【答案解析】12b c ==；75,45B C ==解析：解：由余弦定理得()22264b c bc b c bc bc=+-=-+=-，即2112bc b c =+=+=联立得，又sinC=sin 2A c a ⨯==，由c ＜a ，得C ＜A ，因此C 为锐角，那么45C =，因此B=180°－C －A=75°.【思路点拨】在解三角形问题中，结合已知条件适当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是解题的关键.20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，假设[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域． 【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用【答案解析】（Ⅰ）32（Ⅱ）[,1]2-解析：解：（Ⅰ）因为x x x f 2sin 2cos 1)(++=，因此13()1122222f π=++=+； （Ⅱ）ππ()()()(1sin 2cos 2)(1sin 2cos 2)44g x f x f x x x x x =-⋅+=+-⋅-+ ∵[,]123x ππ∈ ∴44[,]33x ππ∈∴()sin 4[g x x =∈因此)(x g的值域为[2-【思路点拨】研究三角函数的性质，一样先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数，再进行解答. 21．已知函数()()2log 1f x x =+.（Ⅰ）假设()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）假设概念在R 上奇函数)(x g 知足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（没必要证明）；（Ⅲ）关于（Ⅱ）中的()g x ，假设关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）12x x x ⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）420t -≤≤解析：解：（Ⅰ）由()()10f x f x +->得()2221log 1log 010x x x x x x ⎧+>⎪++>0>⎨⎪+>⎩，得，解得x >，因此x 的取值范围是12x x x ⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （Ⅱ）当－3≤x ≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x －2) =f(－x －2)=()()22log 21log 2x x --+=--，当－2＜x ≤－1时，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－()2log 3x +，综上可得()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）因为21113log 2222g g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（Ⅱ）知，假设g(x)=23log 2-，得x=32-或52x =，由函数g(x)的图象可知假设321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立记32118288(12)x x xt t u +-+==-+++ 当10t +≥时，11111(,)88(12)888xt t u ++=-+∈--++，那么11115(,)[,]88822t u +∈--+⊆- 那么115882t +-+≤ 解得120t -≤≤ 当10t +<时，11111(,)88(12)888xt t u ++=-+∈-+-+，那么 11115(,)[,]88822t u +∈-+-⊆- 那么111882t +-+≥- 解得41t -≤<- 综上，故420t -≤≤【思路点拨】解对数不等式时注意其真数的限制条件，此题中的不等式恒成立问题可结合函数的图象成立条件求范围.22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，假设()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，那么称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，假设()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设0a <且a b ≠，假设()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．【知识点】不等式性质、不等式恒成立问题.【答案解析】（Ⅰ）2b ≥；（Ⅱ）13解析：解：（Ⅰ）因为()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，因此()()0f x g x ⋅≥，在[1,)x ∈-+∞上恒成立，即[1,)x ∈-+∞，2(3)(2)0x a x b ++≥ ∵0a > ∴230x a +≥ ∴20x b +≥ 即2b x ≥- ∴max (2)b x ≥- ∴2b ≥（2）①当b a <时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，()()0f x g x ⋅≥在(,)x b a ∈上恒成立，即(,)x b a ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤-∴23b a b <≤- ∴2211133()61212a b b b b -≤--=-++≤ ②当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<，2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤ ∴13b a -< ③当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立0,b >而0x =时，2(3)(2)0x a x b ab ++=<不符合题意，④当0a b <=时，由题意：(,0)x a ∈，22(3)0x x a +≥恒成立∴230x a +≤ ∴103a -≤<∴13b a -≤ 综上可知，max 13a b -=．【思路点拨】一样碰到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为求函数的最值问题，此题注意分类讨论在解题中的应用.。
2022年浙江省宁波市高二数学理下学期期末试题含解析
2022年浙江省宁波市高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则下列结论正确的是A. z的虚部为iB.C. 为纯虚数D.参考答案：C【分析】先利用复数的除法将复数化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误。
【详解】，的虚部为，，为纯虚数，，故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题。
2. 已知，则最小值是（）A．2 B． C．3D．4参考答案：D略3. 将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可以不相邻)，这样的排列数有多少种 ( )A．12 B．20 C．40D．60参考答案：C略4. 已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为()．A. B．－/3 C．2D．－2参考答案：C略5. “”是“方程表示椭圆”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略6. 若对任意的，不等式恒成立，则m的取值范围是（）A. {1}B. [1,+∞)C. [2,+∞)D. [e,+∞)参考答案：A由已知可得对任意的恒成立，设则当时在上恒成立，在上单调递增，又在上不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使在在上恒成立，只要，令可知在上单调递增，，在在上单调递减，又故选A.7. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ）参考答案： A解析：设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
浙江省宁波效实中学11—12下学期高二数学(理)期末考试试卷
宁波效实中学二○一一学年度第二学期期末考试高二(理)数学试卷请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．设全集I ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若集合A ＝{2，4，5，6，7}，B ＝{2，3，5，8}，则(I A )∩B ＝A ．3，8B ．{3，8}C ．{1，2，3，5，8，9}D ．{3}2．不等式｜2x －1｜＞x ＋1的解集为A ．(2，＋∞)B ．(∞，∞)∪(2，∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)3．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝A ．7B ．15C ．20D ．254．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在下列哪个区间内有零点A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(－1，0)D ．(－2，－1)5．a ，b ∈R ，若a ＞b 是b a 11＜的充要条件，则a ，b 需要满足的条件是 A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．ab ＞0D ．ab ＜0 6．函数)2(log )(221x x x f -=的单调递增区间为A ．)41,(-∞B ．),21(+∞ C ．(－∞，0) D ．),41(+∞ 7．已知函数⎩⎨⎧>---≤<=.,)1(,0|,ln |)(3e x e x e x x x f 若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是A ．(1，10)B ．(1，e )C ．(e ，e ＋1)D ．(e ，＋∞) 8．设函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x D 0,1)(则下列结论错误的是A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数9．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列10．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=)4)(1()4(21)(x x f x x f x则f (log 215)＝________；12．已知曲线34313+=x y ，则以点P (2，4)为切点的切线方程为__________； 13．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S n ＝m 3n －2m 2＋1(m ∈R )，则m ＝_________；14．已知等比数列{a n }为递增数列，且1210255)(2,++=+=n n n a a a a a ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_____；15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)(a ∈R )在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝_________；16．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点)0,43(-对称，对任意实数x 都有)23(1)(+-=x f x f ,且1)1(=-f ，2)0(-=f ，则()()=+⋯++20121)0(f f f ____．17．已知函数f (x )满足：41)1(=f ，()()()()()R ∈-++=y x y x f y x f y f x f ,4，则 f (2012)＝________．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．解关于x 的不等式()R ∈>-a a x 11．19．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ．20．海事救援船对一艘失事船进行定位；以失事船的当前位置为原点．以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ． (Ⅰ)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(Ⅱ)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？21．设a ＞0，b ∈R ，f (x )＝2ax 3＋(b －2a )x 2－(a ＋b －1)x ＋a －1．(Ⅰ)求f (1)；(Ⅱ)求证：当2>b 时，a ＋b ＋1≠0，f (x )＝0有三个不相等的实数根；(Ⅲ)当x ∈[－1，0]时f (x )≤0恒成立，求a ＋b 的最大值．22．已知函数x ek x x f +=ln )( (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求f (x )的单调区间；(Ⅲ)设g (x )＝(x 2＋x )f '(x )，其中f '(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．宁波效实中学二○一一学年度第二学期期末考试高二(理)数学答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．C9．C 10．D 二、填空题11．30112．44-=x y13．1或21- 14．2n15．4116．017．41-三、解答题18．a x ＞11-a ax a +110＜＜＞10＞x a =110＞或＜＜x a ax a +19．(Ⅰ)89-=n a n(Ⅱ)()n n n S 289210212-+⋯+⋅+⋅=……①()()122892179212+⋅-+-+⋯+⋅=n n n n n S ……②②－①()()28292229289321⨯+⨯-+⋯++-⋅-=+n n n n S()()16229289121+--⋅-=++n n n()342928911+⋅-⋅-=++n n n20．(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧==327:y x P ()12,0-A49492=AP 9495.0==APV(Ⅱ)()212,7t t P x y 4924=' t y t x 7247='= ()t x t t y l AP 772412:2-=-过A 点 ∴124121222=⇒-=--t t t∴()12,7P ()12,0-A25=AP25==t APV 海里/小时21．(Ⅰ)()01=f(Ⅱ)()()[]01212=+-+-=a bx ax x x f ()122+-+=a bx ax x g()011≠++=b a g()a a b --=∆182＝0221822＞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a b即22＞b ∴2＞b∴a ＋b ＋1≠0，且2＞b 时，g (x )有两解 即f (x )有三解 (Ⅲ)12221+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a g 0122≥+--=b a ∴2≤+b a 经检验32=a ，34=b 时可取到2 ∴b a +最大值为2 22．(Ⅰ)k ＝1(Ⅱ)(0，1)↑ (1，＋∞)↓(Ⅲ)()()()()x x e x x x x e x x x x x g ln 111ln 12--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= ＜()x h x x x =--ln 1()()2ln 1ln 1+-=---='x x x h(0，e －2)↑ (e －2，＋∞)↓ ()()2222121----+=+-==e e e e h x h。
浙江省宁波市2022-2023学年第二学期高二期末考试数学试卷及答案
试卷类型：A 宁波市2022学年第二学期高二期末考试试卷数学2023.06本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．12B．22C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{3,},{,1}A m B m m ==+，若{4}A B ⋂=，则A B ⋃=___________.14．圆心在原点且与直线40x y +-=相切的圆的方程为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)求四棱锥B AECD -的体积；(2)若F 在侧棱BC 上，34BF BC =，求证：二面角C EF D --18．在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD (1)求cos CBD ∠；(2)若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.19．在ABC 中，角，，C 所对的边分别为a c cos A21．已知2:820p x x --求实数a 的取值范围．22．已知函数()xf x e =（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数()g x f =参考答案：7．C【分析】根据函数()13,0,2232,2x x f x f x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪--∈ ⎪⎪⎝⎭⎩2log y x =的图象，数形结合，求得不等式的解集【详解】根据题意当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()2f x =当93,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()3)](22[(f x f x f ==---由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.8．B∵,,AE D E AE CE D ''⊥⊥∴⊥AE 平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN34EF EB BF EB BC =+=+ 设面CEF 的一个法向量为由1111200304y n EC x n EF =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩解法二：由（1∠= sin sinABD所以1sin A D BD =⋅1cos A B BD ABD ∠=⋅所以1122A BD S =⨯△又2tan A D BD ∠=⋅所以2122A BD S =⨯△因为几何体是由等高的半个圆柱和所以45ECD DCG ∠=∠=︒因为//BC EF ，BC EF =，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、(2,0,0F ()0,2,0AB = ，()1,1,2AG =- ，FB 设平面BDF 的一个法向量为(n =r 则00n FB n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，整理得2222x y x z -+⎧⎨-+=⎩令1z =，则()1,1,1n = ，（1）通过线面关系得到线面垂直，从而得到面面垂直；（2）建系，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.21．[9,)+∞.【分析】解不等式，由题可得{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，进而即得．【详解】由题可得2:8200210p x x x --≤⇔-≤≤，:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--≤>⇔-≤≤+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，故有121100a a a -≤-⎧⎪+>⎨⎪>⎩或121100a a a -<-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9a ≥，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+∞．22．（1）1a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x '≥对R x ∀∈恒成立.求导后分离参数得到x a e x ≤-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a '∴∀∈=--≥，()min x a e x ∴≤-，设()x h x e x =-则()1x h x e '=-，令()0h x '>解得0x >，()0h x '<解得0x <，故()h x 在(),0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，。
浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知复数12z i =+，则1z的虚部为（）A ．25B ．2i5C ．2i5-D ．25-3．已知角α的终边过点()4,3-，则sin cos sin ααα+=（）A ．12-B ．13-C ．14D ．734．已知a ，b 均为单位向量，则a b ⊥是22a b a b -=+ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误．．的是（）A ．若//m α，//n α，m ，n 共面，则//m nB ．若m α⊂，//n α，m ，n 共面，则//m nC ．若m β⊥，且//αβ，则m α⊥D ．若m α⊥，且//m β，则αβ⊥6．若22ln ln x y y x ->-，则（）A ．e 1x y ->B ．e 1x y -<C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<7．袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()e e cos 2x x h x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为()e e sin 2x xh x --=．若关于x 的不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知平面向量()1,2a =，()2,b x =- ，则（）A ．当2x =时，()1,4a b +=-B ．若a b，则=1x -C ．若a b ⊥，则1x =D ．若a 与b的夹角为钝角，则()(),44,1x ∞∈--⋃-10．已知函数()2121x x m f x ⋅-=+是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．1m =B ．()1f x =-无解C ．()f x 是减函数D ．()()202420230f f +->11．如图，点P 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，11113A E AB =，11113A F A D =，1B P 平面AEF ，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥A PEF -的体积是定值B ．存在一点P ，使得11C P A C ⊥C ．动点P的轨迹长度为+D ．五面体EF ABD -非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()2f f =．13．已知正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，则xy 的最大值为．14．在ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，22213b a c -=，当1tan tan A B+取得最小值时，角C 的大小为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅= ．(1)求1223e e + ；(2)求123e e - 在1e 上的投影向量（用1e表示）．16．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图，2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,3Q ⎛ ⎝均在函数()f x 的图象上，且Q 是图象上的最低点．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若()0f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0πcos 2x 的值．17．如图，在三棱锥-P ABC 中，45ABC PBC ∠=∠=︒，PA ，2AB BC PB ===，AD BC ⊥，点D 在BC 上，点E 为PA 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)求BE 与平面PBC 所成角的正弦值．18．为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在[]0,140，将得分数据按照[)0,20，[)20,40，…，[]120,140分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；(3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在[)100,120内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在[]120,140内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．19．已知函数()3243f x x ux u =-+．(1)当1u =时，求54f ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断函数()f x 零点的个数；(2)当1,13u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有三个零点123123,,,()x x x x x x <<，记223i i u t x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1i =，2，3．证明：①1232235x x x <++<；②13231181t t t t +<．参考公式：()()()()()32123123122331123x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+++++-．1．C【分析】利用集合的交集和补集做题即可.【详解】{}3,5U A =ð，则()U A B ⋂=ð{}5.故选：C.2．D【分析】利用复数的除法化简1z，然后确定其虚部即可.【详解】复数12z i =+，则()()i 11i 11221212i i 2i 155z -===-++-，所以1z 的虚部为25-.故选：D.3．B【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα，然后代入计算即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3-，所以34sin ,cos 55αα====-，所以34sin cos 1553sin 35ααα-+==-，故选：B 4．C【分析】a ，b 均为单位向量，等式|2|2|a b a b -=+两边平方，利用数量积运算性质化简，即可得答案；【详解】 a ，b均为单位向量，∴|2||2|144414a b a b a b a b -=+⇔-⋅+=++⋅ ⇔0a b ⋅= ．∴a b⊥ 是|2||2|a b a b -=+ 的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积运算、向量垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力．5．A【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面之间的位置关系及其性质选项进行判断.【详解】若//m α，//n α，m ，n 共面，则直线m ，n 可能平行可能相交，A 选项错误；若m α⊂，//n α，则直线m ，n 没有公共点，当m ，n 共面，则//m n ，B 选项正确；若m β⊥，且//αβ，由面面平行的性质可得m α⊥，C 选项正确；//m β时，当m ⊂平面γ，l γβ= ，有//m l ，若m α⊥，则l α⊥，由l β⊂，有αβ⊥，D选项正确.故选：A 6．A【分析】构建()2ln ,0f x x x x =+>，根据题意结合单调性分析可得0x y >>.对于AB ：结合指数函数单调性分析判断；对于CD ：举反例说明即可.【详解】若22ln ln x y y x ->-，可得22ln ln x x y y +>+，且,0x y >，构建()2ln ,0f x x x x =+>，因为2,ln y y x x ==在()0,∞+内单调递增，可知()y f x =在()0,∞+内单调递增，由22ln ln x x y y +>+，即()()f x f y >，可得0x y >>.对于选项AB ：因为0x y >>，则0x y ->，且e x y =在R 内单调递增，所以0e e 1x y ->=，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：利用2,1x y ==，满足0x y >>，但ln ln10x y -==，故CD 错误；故选：A.7．C【分析】利用超几何分布求解.【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件A ,242C 1P(A),C 6n ==即,(1)6162n n -=解得9,n =设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B,115429C C 5P().C 9B ==故选：C.8．B【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，通过换元有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题.【详解】不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->，即222e e e e 441022x x x xm --⎛⎫+--⨯-> ⎪⎝⎭，化简得224222422e 2e 2e 2e e e 2e 2e 11x x x xx x xx m --++--=++>++，不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，即42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，令2e x t =，则1t >，有()22222222211t t t t m t t t -++->=+++对任意的1t >恒成立，令1k t =+，则2k >，有222231312m k k k k k --->=-对任意的2k >恒成立，令1s k =，则102s <<，有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，令()223g s s s =--，()g s 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()02m g ≥=，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.故选：B.9．ACD【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A ；根据向量平行的标公式计算即可判断B ；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C ；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.【详解】对A ，当2x =时，()2,2b =- ，所以()1,4a b +=-，故A 正确；对B ，若a b，则()220x -⨯-=，解得4x =-，故B 错误；对C ，若a b ⊥，则()1220x ⨯-+=，解得1x =，故C 正确；对D ，若a 与b 的夹角为钝角，则220a b x ⋅=-+<且a 与b 不共线，解得1x <且4x ≠-，即()(),44,1x ∞∈--⋃-，故D 正确，故选：ACD10．ABD【分析】利用奇函数()00f =可求得1m =，再根据指数函数值域可知B 正确，利用复合函数单调性可得C 错误；结合单调性和奇偶性可知D 正确.【详解】对于A ，易知函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以()1002m f -==，解得1m =；经检验1m =满足题意，即A 正确；对于B ，由()1f x =-可得21121x x -=-+，即20x =，显然此时无解，即B 正确；对于C ，化简可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++，易知21x y =+为单调递增函数，由复合函数单调性可知()f x 为增函数，即C 错误；对于D ，由于()f x 为奇函数可得()()202320230f f +-=，结合C 选项可得()()20242023f f >，所以()()()()20242023202320230f f f f +->+-=，可得D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】根据等体积变换判断A,D ，利用题意分析出点P 的轨迹判断B,C ；【详解】根据题意正方体的棱长为3，111,1A E A F ==，利用勾股定理可得AE AF EF ====，如图所示，在AB 边上取点,2G AG GB =，在AD 边上取点,2H AH HD =，在平面11ABB A 中，11,,EB AG EB AG = 四边形1EB GA 为平行四边形，则1AE B G又AE ⊂平面AEF ,1B G ⊄平面AEF ,所以1B G ∥平面AEF ；同理11EF B D ∥,FE ⊂平面AEF ,11B D ⊄平面AEF ,所以11B D ∥平面AEF 因为1111111,,B D B G B B D B G ⋂=⊂平面11D B GH ,所以平面11D B GH 平面AEF 点P 是正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，1B P 平面AEF ，则点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ）对于A ，三棱锥A PEF -的体积等于三棱锥P AEF -的体积，在AEF △中，1224AEF S =⨯ ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，且平面11D B GH 平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离为111133A C ==11193833412AEF P AEF V S h -=⨯⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），在正方体中，1111,,,A C BD A C BC BD BC ⊥⊥是平面1BDC 内两条相交直线，所以1A C ⊥与平面1BC D ，在平面1BC D 任意一条直线都已1A C 垂直，所以从点1C 出发的直线在平面1BC D 内才能使11A C C P ⊥成立，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），则可知不存在点P ，使得11A C C P ⊥，所以B 错误；对于C ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，利用勾股定理计算动点P 的轨迹长度为11110321025105221D B D G HG B H +++=++++=，所以C 正确；对于D ，五面体EF ABD -是四棱锥A EFDB -，四边形EFDB 是等腰梯形，22223332,2,2313BD EF BE DF =+====+=,10,3AE AF AB AD ====，设ABD △所在圆的圆心为N ,M 是11B D 的中点,四棱锥A EFDB -的外接球球心为O ,连接MN ，根据题意ABD △是直角三角形,N 是BD 的中点，O 在线段MN 上，设ON a =，因为,3OE OD R MN ===，222221332(3)()()()222a a -++=+解得76a =所以四棱锥A EFDB -的外接球半径为226732()()26211R =+=.故选：ACD.【点睛】三棱锥体积求解方法：直接法；等体积变换法；12．1-【分析】根据分段函数定义，先计算出()2f 的值，然后计算()()2f f 即可得出结果.【详解】函数()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()3112log 133f f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：1-.13．12##0.5【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，所以221244xy x y xy +=+≥，解得12xy ≤.当且仅当2x y =，即11,2x y ==时取等号，所以xy 最大值为12．故答案为：12．14．2π##90 【分析】先根据余弦定理化简得2c s 3o c b A =,再由正弦定理把边的关系化为角的关系s 2i si c 3n s n o A B C =,得到2sin cos cos sin A B A B =,最后根据基本不等式求最值的可求得结果.【详解】由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=,又因为22213b a c -=,所以2212cos 3c c bc A +=,即242cos 3c bc A =,化简得2c s 3o c b A =,由正弦定理可得,s 2i si c 3n s n o A B C =,即()2sin 3sin cos A B B A +=,n 2sin cos 2cos sin cos 3si A B A B B A =+,化简得2sin cos cos sin A B A B =.1sin cos tan 222tan cos sin A B A B A B +=+≥当且仅当sin cos cos sin A B A B =时,等号成立,1tan tan A B +取得最小值.即cos cos sin sin 0A B A B -=，cos cos sin sin ,A B A B =()cos 0,cos 0A B C +==,因为()0,πC ∈,所以π2C =.故答案为:π215．(2)112e - 【分析】（1）利用模长计算公式和数量积的运算规律计算即可；（2）由投影向量的概念和公式求解123e e - 在1e上的投影向量即可.【详解】（1）1223e e +=（2）123e e - 在1e 上的投影向量为()121111312e e e e e e -⋅⋅=-．16．(1)154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)【分析】（1）根据图象得出A =，34T ，求出ω，再将11,3Q ⎛ ⎝代入，结合π2ϕ<，求出ϕ，得出解析式，在求出单调递增区间即可．（2）()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用同角三角函数关系式，得出0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，00ππππcos cos 2233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，用和角关系式展开求值即可．【详解】（1）由题得A =，334T =，故4T =，π2=ω．由113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得π113π2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，故π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，π2ϕ<，故π3ϕ=-，故()ππ23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．ππππ152π2π44,Z 223233k x k k x k k -+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，即()f x 单调递增区间为154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦17．(1)证明见解析(2)2114【分析】（1）要证明平面PAD ⊥平面PBC ，只需证明BC ⊥平面PAD ，进而转化为证明PD BC ⊥；（2）通过把AM 平移至EN ，从而证明出EBN ∠就是BE 与平面PBC 所成的角，再计算出EN 和BE 即可求解。
浙江省宁波效实中学08-09学年高二数学下学期期末考试(理)
宁波效实中学00二八学年度第二学期高二数学（理）期末试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请将答案填入答卷纸中）1．复数z 满足(12)5z i +=，则复数的实部与虚部之差等于A ．1-B ．1C ．3-D ．32．如右图有一个平低容器，现往里注水直到注满为止，则所注入的水量x 与水深y 的函数关系()y h x =的大致图象为3．函数||()(0,)x f x a a x R =>∈的值域是(0,1]，则(2)f -与(1)f 的大小是A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f ->D ．无法确定4．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是A ．:p a b >， :22a b q >B ．:1,1p a b >> :q 函数()(0x f x a b a =->且1a ≠）的图象不过第二象限C ．:1p x =， 2:q x x =D ．:1p a <- :q 关于x 的方程20x bx a ++=有一正一负根5．函数2|log |1()2x f x x x=-- A ．有最小值 B ．是奇函数 C ．有最大值 D ．在定义域内单调递增6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =- 则((5))f f =A ．15-B ．15C ．5D ．5- 7．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->，则当n N *∈时，有A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-9．在复数集内，给出以下四个判断：（1）若22120z z +=，则120z z ==（2）将44x -分解因式，结果为()()x x x x（3）方程220ix x i -+=不存在实数根（4）已知||1z =，则|1|z i --|的最大值为1 A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4）10．如图，当参数12,λλλ=时，连续函数0)y x =≥的图象分别对应曲线1C 和2C ，则 A ．120λλ<< B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<<二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填入答卷纸中）11．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式()3f x ≥的解集为__________（写成区间形式） 12．定义运算()()a ab a b b a b >⎧*=⎨≤⎩，则函数2()1(2)f x x =*-的值域为_____（写成区间形式） 13．把函数2log (21)y x =+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移1个单位，再关于点(1,0)N 对称，则最终得到的函数的解析式是__________。
2022-2023学年浙江省宁波市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（ ） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（ ）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ ，f （log 23）＝ ．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 ．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1． （1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由； （3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数． （1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2． 故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)． 故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4， 故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4． 故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π． 故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13， 第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13， 由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130， 则(32)n ≤30， 因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数， 又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *， 所以n ＝8， 故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b， 若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →， 则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍）， 又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确． 故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′， 所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2， 此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小， 因为PC ′∥AC ， 所以△PC ′M ∽△ACM ， 所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2， 所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23， 又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′， 所以BO ⊥平面ACC ′A ′， 所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误； 对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ， 因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ， 所以BT ∥ES ， 又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0， 所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18， 所以AB =√AE 2+BE 2=82， 所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ， 所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）． 故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ． 解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ， 所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2， 当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为 （1，2） ．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ， 由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ， 即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2， 所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34， 由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2）， 即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1， 解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间， 设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28， 故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0， 所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）， 因为f(π2)=f(2π3)， 所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)， 所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3， 所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增， 又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12． 综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确； 对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形， 此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4， 所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20， 所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误． 故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域， 函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]， 由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ， 当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误； 当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12， 所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确； 当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确； 当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误． 故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0， 由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ， 设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ， 因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数， 所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错； 对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0， 所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23， 则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2， 解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3， 同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)， 因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)， 则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23， 故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55， 所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55． （3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0， 则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0， 则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π， 所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19， 所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3； 所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知X和Y是两个分类变量，由公式K2=算出K2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A . 推断“分类变量X和Y没有关系”犯错误的概率上界为0.010B . 推断“分类变量X和Y有关系”犯错误的概率上界为0.010C . 有至少99%的把握认为分类变量X和Y没有关系D . 有至多99%的把握认为分类变量X和Y有关系2. （2分） (2016高二下·重庆期末) 在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象、直线x=﹣1，x=1以及x 轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为（）A . 0.604B . 0.698C . 0.151D . 0.3023. （2分）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A . 越大B . 越小C . 可能大也可能小D . 以上均错4. （2分） (2020高一下·河西期中) 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A . 事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B . 若A和B互斥，则A和B一定相互独立C . 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D . P（A）+P（B）≤15. （2分）为了解社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机抽查5户家庭得如下数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入20万元家庭的支出是（）A . 15.6万元B . 15.8万元C . 16万元D . 16.2万元6. （2分）现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有（）A . 7种B . 6种C . 5种D . 4种7. （2分）(2012·重庆理) 的展开式中常数项为（）A .B .C .D . 1058. （2分）某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A . 一本达线人数减少B . 二本达线人数增加了0.5倍C . 艺体达线人数相同D . 不上线的人数有所增加9. （2分）已知函数f（x）=cos ，集合A={2，3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f（m）•f（n）≠0的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·徐州月考) 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，；当时，函数的值域是（）A .B .C .D .11. （2分）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,83二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分） (2020高二下·天津期中) 若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）14. （1分） (2017高二下·钦州港期末) （1+x）5（1﹣）5的展开式中的x项的系数等于________．15. （5分） (2017高二下·钦州港期末) 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？16. （1分） (2017高二下·钦州港期末) 若回归直线方程中的回归系数 =0时，则相关系数r=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．18. （10分） (2019高一上·金华月考) 设函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）当时，求的值域.19. （5分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）求的值．20. （10分）(2019·新乡模拟) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21. （10分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为 .（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为 .证明：为定值，并求该定值.22. （10分）化简：（1）（）﹣2+（1﹣）0﹣（3 ） + ；（2） a b﹣2•（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
浙江省宁波市高二数学下学期期末考试试题 理(1)
浙江省宁波市2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理选择题部份 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.已知集合22{|20},{|l g (1)}A x x x B x y o x =-≤==-,则A B = （ ）A ．{|12}x x ≤<B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤2.已知,a b R ∈,若a b >,那么以下不等式成立的是 （ ） A ．lg lg a b > B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D ．33a b >3.已知,a b R ∈,那么“222a b ab+≤-”是“0,b 0a ><且”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分没必要要条件D ．既不充分也没必要要条件4.已知m l 、是空间中两条不同直线,αβ、是两个不同平面,且,m l αβ⊥⊂,给出以下命题： ①假设//αβ，那么m l ⊥； ②假设αβ⊥，那么//m l ; ③假设m l ⊥，那么//αβ； ④假设//m l ，那么αβ⊥其中正确命题的个数是 （ ）A. 1B. 2C ．3D ．45.将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原先的12倍(纵坐标不变),所得图象关于直线4x π=对称,则ϕ的最小值为（ ） A ．34π B ．12πC ．38πD ．18π 6.以下四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是 （ ）7.已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右核心别离为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,假设2F H 与双曲线C 的交点M 恰为2F H 的中点,那么双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2 D ．38.如下图,O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,那么AM AO ⋅= （ ）A ．21B ．29C ．25D ．409.已知概念在R 上的函数()f x 知足:()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+,那么方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 ( )A ．8-B ． 7-C ．6-D ．0 10.对数列{}n a ,若是*12,,,,k k N R λλλ∃∈∈及1122,n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++使成立,*n N ∈其中,那么称{}n a 为k 阶递归数列．给出以下三个结论： ①若{}n a 是等比数列,则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列,那么{}n a 为2阶递归数列；③假设数列{}n a 的通项公式为a n =n 2,那么{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3非选择题部份 (共100分)二、填空题:本大题共7小题,每题4分,共28分. 11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设24612a a a ++=, 则7S 的值是 ．12.一个几何体的三视图如右图所示,那么该几何体的体积为 .13.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点别离为,A B ,O 为坐标原点,那么OAB ∆的外接圆方程是 ．14.设0cos 420a =,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．15.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ,假设直线k kx y 3-=与平面区域D 有公共点,那么k 的取正视图侧视图俯视图(第12题图)值范围为 .16.若是关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集别离为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.若是不等式243cos 220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,那么cos θ=_______________.17.已知不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,求a 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共5小题,共72分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 18.(此题总分值14分)已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中,假设角ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值. 19.(此题总分值14分)在如下图的空间几何体中,平面⊥ACD 平面ABC ,ACD ∆与ACB ∆均是边长为2的等边三角形,2=BE ,直线BE 和平面ABC 所成的角为︒60,且点E在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （I ）求证://DE 平面ABC ；（II ）求二面角A BC E --的余弦值． 20.(此题总分值14分)数列{}n a 是公比为21的等比数列,且21a -是1a 与31a +的等比中项,前n 项和为n S ;数列{}n b 是等差数列,1b =8,其前n 项和n T 知足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数,且λ≠1)． （I ）求数列{}n a 的通项公式及λ的值； （II ）比较1231111nT T T T ++++与12n S 的大小． 21.(此题总分值15分)函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且,当(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时,(,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）当[3,4]x a a ∈++时,恒有()()1f x g x -≤,试确信a 的取值范围.22.(此题总分值15分)如图,F 1、F 2是离心率为22的椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右核心,直线l ：x ＝－1将线段F 1F 2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A 、B 是椭圆C 上的两个动点,线段AB 的中垂线与椭圆C 交于P 、Q 两点,线段AB 的中点M 在直线（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求22F P F Q 的取值范围．(第22题图)宁波市八校联考高二数学（理科）参考答案18.已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，假设ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值. π2sinsin 42 2.π1sin sin 62BC A AB C ==== ……………14分 （Ⅱ）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ， ∵EF ⊥平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ， ∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，2013学年∴EGF ∠确实是二面角A BC E --的平面角 …………10分EFG Rt ∆中，2130sin =︒⋅=FB FG ， 3=EF ，213=EG ．∴1313cos ==∠EG FG EGF ．即二面角A BC E --的余弦值为1313．…………14分解法二：成立如下图的空间直角坐标系xyz O -， 可知平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =那么，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022BE n BC n 可求得)1,3,3(2-=n ． ……………10分 因此1313||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ， 因此二面角A BC E --的余弦值为1313． …………14分 20.数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数 列，b 1=8，其前n 项和T n 知足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+n T 1与21S n 的大小． 21.函数f (x )=log a (x －3a )(a ＞0,且a ≠1),当点P （x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，Q (x －a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.（Ⅰ）写出函数y =g (x )的解析式.（Ⅱ）当x ∈［a +3,a +4］时，恒有f (x )－g (x )≤1,试确信a 的取值范围. 解:（Ⅰ）设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上点，Q （x ,y ）,则⎩⎨⎧-=-=00y y ax x ，∴⎩⎨⎧-=+=yy a x x 00 ∴－y =log a (x +a －3a )，∴y =log a a x 21- (x ＞2a ) ----------- 5分（2）令]4)25[(log )]3)(2[(log )()()(22a a x a x a x x g x f x a a --=--=-=ϕ由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->， 故函数4)25()(22a a x x --=δ在区间]4,3[++a a 上单调递增 ------------------8分等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立， 从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ． 易知2344113>-，因此不符合． -----------------------14分 综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ----------------------------15分 22. (此题总分值15分) 如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右核心，直线l ：x ＝－1其长度之比为1 : 3．设A，B 是C 上的两个动点，线段AB 于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）求22F P F Q ⋅的取值范围．(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，那么11c c -+＝13， 因此c ＝2．因为离心率e 因此a ＝因此椭圆C 的方程为22184x y +=． ………… 6分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1，现在P(22-，0)、Q(22,0)224F P F Q ⋅=-．(第22题(第22题当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得 (x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0， 则 －1＋2mk ＝0， 故k ＝12m． ………… 8分 现在，直线PQ 斜率为m k 21-=，PQ 的直线方程为)1(2+-=-x m m y ． 即 m mx y --=2．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=148222y x m mx y 消去y ，整理得 2222(81)8280m x m x m +++-=．因此 2122881m x x m +=-+，21222881m x x m -=+．………… 10分。
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浙江省宁波市高二下学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·潍坊模拟) 设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数、满足，则或；
：若复数，则；
：若复数，满足，则，
其中的真命题为（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
2. （2分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取
相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）
A . +1
B . 3﹣1
C . ﹣1
D . 3﹣2
3. （2分） (2017高二下·眉山期末) 直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）
A .
B . 9
C .
D .
4. （2分） (2017高二下·福州期中) 极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为（）
A . 极点
B . 极轴
C . 一条直线
D . 两条相交直线
5. （2分）(2017·三明模拟) 已知函数f（x）=sin（x+φ）﹣2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=π对称，则cos2φ=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设，那么的值为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）已知X～N（﹣1，σ2），若P（﹣3≤X≤﹣1）=0.4，则P（﹣3≤X≤1）=（）
A . 0.4
B . 0.8
C . 0.6
D . 无法计算
8. （2分）某单位为了了解用电量Y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温数据如表格所示．若由表中数据得回归直线方程y=bx+a中b=﹣2，据此预测当气温为15℃时，用电量的度数约为（）
气温（℃）141286
用电量（度）22263438
A . 20
B . 25
C . 30
D . 35
9. （2分） (2016高二下·东莞期末) 有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（）
A . 36
B . 72
C . 144
D . 288
10. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）
A . 0.960
B . 0.864
C . 0.720
D . 0.576
11. （2分） (2017高二下·三台期中) 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则 + 的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（）
A . －1
B . 5
C . －1或5
D . －3或3
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·浦东模拟) 若复数z满足|z|=1，则|（ +i）（z﹣i）|的最大值是________．
14. （1分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=xlnx﹣x，则曲线y=f （x）在点（﹣e，f（﹣e））处的切线方程为________．
15. （1分） (2016高三上·金山期中) 在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是________．
16. （1分） (2016高二下·大丰期中) 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有________种选法（用数字作答）．
三、解答题. (共6题；共50分)
17. （15分） (2016高二下·连云港期中) 实数m为何值时，复数Z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i对应的点在：
（1）实轴上；
（2）在第一象限；
（3）直线x+y+5=0上．
18. （5分） (2016高二上·枣阳期中) 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．（Ⅰ）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（Ⅱ）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为X，求X的分布列和数学期望．
19. （10分） (2019高一上·珠海期中) 已知对任意的，二次函数都满足，其图象过点，且与轴有唯一交点．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在上的最小值．
20. （5分）(2017·常德模拟) 某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况，从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：
网购达人非网购达人合计
男性30
女性1230
合计60
若网购金额超过2千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客称为“非网购达人”．
（Ⅰ）若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？
（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定12人，若需从这12人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
21. （5分） (2016高三上·黑龙江期中) 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
22. （10分） (2016高二下·右玉期中) 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题. (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、21-1、
22-1、22-2、。