倒立摆仿真及实验报告

最优控制实验报告

二零一五年一月

目录

第1章一级倒立摆实验 (3)

1.1 一级倒立摆动力学建模 (3)

1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 (3)

1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 (5)

1.2 一级倒立摆t∞状态调节器仿真 (5)

1.3 一级倒立摆t∞状态调节器实验 (10)

1.4 一级倒立摆t∞输出调节器仿真 (12)

1.5 一级倒立摆t∞输出调节器实验 (14)

1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 (16)

1.7 一级倒立摆非零给定调节器实验 (17)

第2章二级倒立摆实验 (18)

2.1 二级倒立摆动力学模型 (18)

2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 (18)

2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 (19)

2.2 二级倒立摆t∞状态调节器仿真 (20)

2.3 二级倒立摆t∞状态调节器实验 (23)

2.4 二级倒立摆t∞输出调节器仿真 (24)

2.5 二级倒立摆t∞输出调节器实验 (24)

2.6 二级倒立摆非零给定调节器仿真 (25)

2.7 二级倒立摆非零给定调节器实验 (26)

第1章一级倒立摆实验

1.1一级倒立摆动力学建模

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和

匀质杆组成的系统，如图所示

图1-1 直线一级倒立摆模型

M小车质量1.096 kg；

m 摆杆质量0.109 kg；

b 小车摩擦系数0 .1N/m/sec；

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；

I 摆杆惯量0.0034 kg·m2；

φ摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；

x 小车运动位移，规定向右为正。

1.1.1一级倒立摆非线性模型建立

采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：

()()()

=-(1.1)

,,,

L q q T q q V q q

其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：

i i i

d L L

f dt q q ∂∂-=∂∂ (1.2)

i f 为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为φ和x 。系统动能：

()2222111111112

cos 223

M m T T T Mx m x m l x m l φφφ=+=

+++ (1.3)

系统的势能

11cos V m gl φ=

(1.4)

由于在广义坐标1θ上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则

0d L L

dt φφ

∂∂-=∂∂ (1.5)

得到：

()

2

cos sin mlx mgl I ml φφ

φ+=

+ (1.6)

在simulink 中建立非线性仿真动力学模型

图1-2 一级倒立摆非线性动力学模型

其中MATLAB Function 模块中代码如下：

function dw = fcn(u,phi) I = 0.0034; m = 0.109;

l = 0.25; g = 9.8;

dw = ( m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi) )/( I+m*l*l );

1.1.2 一级倒立摆线性模型建立

由(1.6)，且对于质量均匀分布的摆杆有21

3I ml =，将0.25l m =代入有

3(cos sin )x g φφφ=+

(1.7)

将其在平衡位置0φ=︒处进行线性化，cos 1,sin φφφ==，且有29.831/g m s = 得到

29.4933x φφ=+

(1.8)

输入u x = ，将系统写为如下状态空间描述形式

10000000100

100

029.493031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎢⎥

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

(1.9)

在simulink 中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型中MATLAB Function 模块代码更改为

dw = 29.493*phi+3*u;

1.2 一级倒立摆t ∞状态调节器仿真

对于线性定常系统的状态方程为

()()()x t Ax t Bu t =+

(1.10)

给定初始条件()00x t x =，终端时间f t =∞。求最优控制()*u t 使系统的二次型性能指标

01()()()()2t J x t Qx t u t Ru t dt ττ

∞⎡⎤=+⎣

⎦⎰ (1.11)

取极小值。 式中

,,,A B Q R ——常数矩阵；

Q ——半正定对称阵；

R ——正定对称矩阵。

控制不受约束，最优控制存在且唯一，即

1()()()u t R B Px t Kx t τ*-=-=-

(1.12)

式中，P 为n n ⨯维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程

10T T PA A P PBR B P Q -+-+=

(1.13)

对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，要求系统完全能控。求解出上方程，即可得到最优控制*()u t 。

试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其中系数矩阵为

1

0000000010

029.4930A ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;0103B ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦

;10000010C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦;00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

公式(1.11)中选定不同的Q ，R 值，Q 4×4为半正定矩阵，R 1×1为正定矩阵，通过求解代数黎卡提方程（利用Matlab 里面的lqr 函数）可以得到最优控系数

(),,,K lqr A B Q R =

(1.14)

控制率为

()()u t Kx t =-

(1.15)

Q 、R 的形式可设计为

11223344,1Q Q Q R Q Q ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ (1.16) 因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q 矩阵

中元素的值即可，不用改变R 的取值，即只要保证Q 与R 的相对大小即可。其中，Q 矩阵中Q 11代表小车位置的权重，Q 22代表小车速度的权重，Q 33代表摆杆角度的权重，Q 44为摆杆角速度的权重。仿真实验模型如下