微分几何_2.6____曲面上的测地线

i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2

i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk

i, j
Lij
dui ds
du j ds
n, n)

(
du1 ds
r1,
(
d 2u2 ds2

i, j
i2j

i
dui ds ri
r
i
dui ds
j
du j ds
rij

i
d 2u ds2
i
ri

i, j
dui ds
du j ds
rij

k
d 2uk ds2
rk

k
d 2uk ( ds2

i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk

kg
g [ du
d 2v
dv
d 2u

Ev
( du )3 Gu
du 2 ()
dv
ds ds2 ds ds2 2G ds G ds ds
Gv du ( dv )2 Eu ( du )2 dv Ev du ( dv )2 Gu ( dv )3 ] 2G ds ds 2E ds ds E ds ds 2E ds
第六节 曲面上的测地线
平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。
曲面上的测地线相当于平面上的直线。
6.1 曲面上曲线的测地曲率
一、测地曲率的定义
给定曲面S：r r(u1,u2 ), （c）是曲面上的一曲线：u u (s)
在曲线上一点 P 有：
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)

1 g
(r12
r22

(r1

r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2

i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
则有唯一解 u u(s),v v(s), (s).
例题1，2。
四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存 在唯一一条测地线切于此方向。
证明：设测地线方程为
d 2uk
ds2

i, j
ikj
dui ds
du j ds
0
, k 1,2
即满一足个上点述(u方1(程s0的), u曲2 (线s0都)) 是和测一地个线切，方给向出(了( dd初usk始)0条, ( d件dusk：)0s)=s0 ，
d 2u1 ( ds2

i, j
i1j
dui ds
du j )]
ds
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2

i, j
i2j
dui ds
du j du2 )(
ds ds
d 2u1 ( ds2

i, j
i1j
dui ds
du j )]
ds
这就是测地曲率的一般计算公式。
特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并 整理得
网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。
证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（C）上的每一点，沿着 （C），在切平面上对应于垂直于（C）的方向，存在唯一条测
地线(c* ) ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和 它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且 (c* ) 的
正交轨线族中包含了（C）。
E du
)
du ds

d (cos
E dv
)
dv ds
sin
E
d
ds
cos
( 1 2
E

3 2
Eu
)
du ds
cos
( 1 2
E

3 2
Ev
)
dv ds
sin d Eu cos du Ev cos dv
E ds 2E E ds 2E E ds
于是
kn2

k
2 g

k2
cos2
k2
sin2

k2
注意： n, ,, 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地
曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* )的曲率。
证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得
到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 (c* ) ，（C）和(c* ) 都是
柱面取上的为曲柱线面。上在P这点个的柱法面向上量用，梅由尼于埃柱定面理垂。
(c)
直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平
行的向面法于 法 量 就截切向是面平量切与也面向柱在，量面切应又的平在P交面与在切线上法切平就，向平面是所量面上法以上，截柱，而线面所所（在确(以cC*定P）柱)的的点面，法平的在因截面切P此，柱面在(c*)

Gu 2G E
s in
d 1 ln E cos 1 ln G sin ,
ds 2 G v
2 E u
这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为
kg

d
ds
kgu
cos
kgv
sin ,
其中 k gu , k gv 分别为 u线和0和v9线0 的测地曲率。事实上，对于u

d 2u ds2

sin
E
d
ds

Eu cos2
2E2

Ev sin cos
2E EG
同理
d 2v cos d Gu sin cos Gv sin 2
ds2 G ds 2G EG
2G 2
代入前面的 kg 的计算公式可得
kg

d
ds

Ev 2E G
cos
0
, k 1,2
特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上 测地线的微分方程为
d 1 ln E cos 1 ln G sin 0,
ds 2 G v
2 E u
du 1 cos ,
ds E
dv 1 sin ,
ds G
若给出了初始条件：u(s0 ) u0, v(s0 ) v0, (s0 ) 0
取半测地坐标网，使曲面上包含（C）在内的一测地线族为u-线，
它的正交轨线为v-线，于是曲面的第一基本形式为
ds2 du2 GBaidu Nhomakorabeav2
在曲面上引进新参数 u,使得 du (u)du, 从而第一基本形式
变为
ds2 Edu2 Gdv 2 du G(u , v)dv2.
6.4 曲面上测地线的短程性
定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点 P 、Q 则过这两点 在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的 曲线。 证明：设（C）是曲面上连结 P，Q 的一条测地线，在曲面上选
)rk

rl

i, j
Lij
dui ds
du j ds
n rl 0

k
d 2uk gkl ( ds2

i, j
dui ds
du j ds
ikj ) 0
又 g = det(gkl) 不为0，于是得到测地线方程为
d 2uk
ds2

i, j
ikj
dui ds
du j ds
习题3。
三、测地曲率的计算公式

(rij
ikj
rk
Lij n)
kg

k (,

,
n)

(,

k ,
n)

(r , r , n)
k
r
ru
du ds

rv
dv ds

du1 r1 ds

r2
du2 ds

i
dui ri ds

k

称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
命题1：k 2 kg2 kn2
证明：
kg

k

k
(n)


k ( ,
n,)

k (,

,
n)

k (

)

n

k
n
kg k cos(900 ) k sin
dui ds
du j ds
)r2
,
n)
( du2 ds
d 2u1 r2 , ( ds2

i, j
i1j
dui ds
du j ds )r1, n)
kg
( du1 ds
r1,
(
d 2u2 ds2

i, j
i2j
dui ds
du j ds
)r2
,
n)

((
d 2u1 ds2

i, j
i1j
dui ds
du j du2 ds )r1, ds
r2 , n)
kg

[(
du1 ds
(
d 2u2 ds2

i, j
i2j
dui ds
du j )
ds

(r1,

r2 ,
( du2 ds
(
d 2u1 ds2
n)

(r1

r2
)

方向的法
曲率 kn k*, kn k* (k*为(c*)在P点的曲率 ),
法由向于量和n 柱 k面c在osnP点，k的c其法o中s向k量为k（C）之在间kP的g.点角的，曲即率， 为（C）的主
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。
这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。
所以曲线是测地线。
推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲 面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。
证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线 重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法
线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。
例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线 重合于 法线。
三、测地线的方程

设（C）为测地线，则它的主法线重合于法线，即

n,
但
n

rl
,
(i 1,2)




rl ,


rl

0,


k
rl

0

r rl

0
r rl
k
(
d 2uk ds2

i, j
dui ds
du j ds
ikj
r n


n

cos
n
令 n ，则 n,, 是两两正交的单位向量且成右手系，
n, ,, 都在 P 点的法面上。
定义：曲线（c）在
P
点的曲率向量
r

k在
上的投影（即在
S上P点的切平面上的投影）
kg

r
三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网，
有 ds2 du2 Gdv2 ，我们现在证明这个结论。
首先，由于半测地坐标网是正交的，所以 F=0 ，
ds2 Edu2 Gdv2
半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为 u 线，dv =0,
即 u2 常数， du2 0, 它满足测地线微分方程 ds
d 2u2
ds2

i, j
i2j
dui ds
du j ds
0

i, j
i2j
dui ds
du j ds
0

121
du1 ds
du1 ds
0
但 du1 0, ds
121 0
由P165，当坐标曲线正交时，
121


Ev 2G

Ev 0,
即 E 与 v 无关，只与 u 有关，可设 E (u) 0,
了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。
证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则
但
kg

k sin
,


( ,
n)

0
或

k

0, kg

0,
即


n
，所以主法线重合于法线。
反之，若主法线重合于法线，则


n
，得

0
或

kg k sin 0 0, (k 0)
由常微分方程理论，方程组有唯一解，即存在唯一一条测地线
（C）：uk uk (s) , k 1,2
过已知点并切于定方向。
6.3 曲面上的半测地坐网
一、定义：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是 这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。
极坐标网是它的特例。
二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标
线和 v 线来说，分别有
0 ，代入测地曲率的计算公式
有
kgu
1 2G
ln E , v
kgv

1 2E
ln G . u
6、2 曲面上的测地线 一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率
为 0，则称为测地线。 二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。
2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2

d (cos
E
d
)
d
ds

d (cos