中考几何三大变换(含答案17页)

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）

几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.

1．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作EF⊥BD交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接 EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG．（2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作MN⊥AD于M，与 EF 的延长线交于 N 点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到 MG=NG；再证明

△AMG≌△ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG．

（3）结论依然成立．还知道

EG⊥CG．解答：（1）证明：在

Rt△FCD 中，

∵G为DF 的中点，

∴CG=FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG=FD，

∴CG=EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．

证法一：连接 AG，过 G 点作MN⊥AD于M，与 EF 的延长线交于 N

点．在△DAG 与△DCG 中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG，

∴AG=CG；

在△DMG 与△FNG 中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG，

∴MG=NG；

在矩形 AENM 中，AM=EN，

在△AMG与△ENG 中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG，

∴EG=CG．

证法二：延长 CG 至M，使 MG=CG，

连接 MF，ME，EC，

在△DCG 与△FMG 中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF=CB，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC 为直角三角形．

∵MG=CG，

∴EG=MC，

∴EG=CG．

（3）解：（1）中的结论仍然成

立．即EG=CG．其他的结论还有：

EG⊥CG．

点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．

2．（1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是BC 上的一动点，过点 E 作EF⊥BD 于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明 CH=EF+EG；

（2）若点 E 在BC 的延长线上，如图 2，过点 E 作EF⊥BD于点 F，EG⊥AC的延长线于点 G，CH⊥BD于点 H，则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（3）如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线，L 在BD 上，且 BL=BC，连接 CL，点 E 是 CL 上任一点，EF⊥BD于点 F，EG⊥BC于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（4）观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF、EG、CH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）要证明 CH=EF+EG，首先要想到能否把线段 CH 分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于 N，可得矩形 EFHN，很明显只需证明 EG=CN，最后根据 AAS 可求证△EGC≌△CNE得出结论．

（2）过C 点作CO⊥EF于O，可得矩形 HCOF，因为 HC=DO，所以只需证明 EO=EG，最后根据 AAS 可求证△COE≌△CGE得出猜想．

（3）连接 AC，过 E 作EG 作EH⊥AC于H，交 BD 于O，可得矩形 FOHE，很明显只需证明 EG=CH，最后根据 AAS 可求证△CHE≌△EGC得出猜想．

（4）点P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过 C 作CE⊥PF于E，可得矩形 GCEF，而且 AAS 可求证△CEP≌△CNP，故 CG=PF﹣PN．

解答：（1）证明：过 E 点作EN⊥GH 于N（1 分）

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

∴四边形 EFHN 是矩形．

∴EF=NH，FH∥EN．

∴∠DBC=∠NEC．