高中数学不等式归纳讲解

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(完整版)高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。

②如果不等式F （x ）＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。

③如果不等式F （x ）＜G （x ）的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ）同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。

④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

高一数学不等式知识点归纳

高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。

在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。

下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。

一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。

一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。

不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。

二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。

类似的，大于的情况也满足这个性质。

2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。

例如，如果a < b，则有a + c < b + c。

减法的情况也类似。

3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。

例如，如果a < b，则有ka < kb。

当k为负数时，不等号的方向改变。

4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。

例如，如果a < b，则有a^k < b^k。

当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。

三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。

2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。

3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。

四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。

2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。

3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。

高三不等式知识点归纳总结

高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占有重要的地位，它是数学中一种常见的关系式。

在高三数学学习过程中，我们需要掌握并灵活运用各种不等式知识点，以提升解题能力。

本文将对高三不等式相关知识进行归纳总结，帮助大家系统地掌握不等式的内容。

一、基本不等式基本不等式是不等式的基础，它通过对大小关系的描述，为其他类型不等式的证明提供了依据。

常见的基本不等式有以下几种：1. 正数不等式：若a>0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab<0。

2. 负数不等式：若a<0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab>0。

3. 平方不等式：若a>b≥0，则a的平方大于b的平方，即a²>b²。

4. 平均不等式：若a1，a2，...，an为正数，则它们的算术平均大于等于它们的几何平均，即(a1+a2+...+an)/n≥(a1*a2*...*an)^(1/n)。

二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为常数。

我们可以通过移项和分析a的正负来求解不等式。

1. 求解步骤：a) 对不等式进行变形，将不等式变为ax>c的形式，其中c为常数。

b) 根据a的正负确定不等式的方向，若a>0，则不等式为单调递增，解集为x>c/a；若a<0，则不等式为单调递减，解集为x<c/a。

2. 注意事项：a) 在乘以或除以负数的过程中，需注意不等式方向的变化。

b) 当a为0时，不等式变为bx>c，若b>0，则不等式为恒成立；若b<0，则不等式无解。

三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为常数。

我们可以通过求解二次方程和分析a的正负来求解不等式。

高中数学不等式解题方法全归纳

高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。

这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。

我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。

最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。

比如，3 < 5，这里表示3小于5。

其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。

1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。

比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。

举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。

比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。

乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。

但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。

比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。

2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。

比如，2x + 3 < 7。

这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。

步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。

2x < 7 3。

2. 化简：化简右边的数值。

2x < 4。

3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。

这时候，不等式就解出来了。

简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。

假如有一个不等式x^2 4 < 0。

解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。

这个方程的解是x = ±2。

2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。

然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。

高中基本不等式知识点归纳总结

高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。

高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。

二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。

常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。

三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。

解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。

常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。

四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。

2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。

3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。

五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。

六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。

2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。

七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。

2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。

高一数学不等式知识点梳理

高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。

下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。

一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。

2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。

2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。

2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。

四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。

2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。

高中不等式知识点归纳总结

高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。

一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。

基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。

2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。

2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。

3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。

•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。

高一不等式性质知识点总结

高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。

不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。

在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。

本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。

一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。

2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。

3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。

4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。

这个性质可以用于推导和证明不等式。

二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。

2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。

3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。

常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。

三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。

通过代数的方法解题，可以得到解的范围。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。

解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。

3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。

解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。

4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。

高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。

2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。

应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。

2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。

用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解

用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。

高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法

高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。

不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。

本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。

2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。

3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。

4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。

这就是不等式的倒置性。

二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。

对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。

2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。

例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。

3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。

4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。

例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。

三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结不等式是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解题能力起着关键作用。

下面我们来对高中不等式的知识点进行一个全面的总结。

一、不等式的基本性质1、对称性：若\（a ＞ b\），则\（b ＜ a\）；若\（a ＜ b\），则\（b ＞ a\）。

2、传递性：若\（a ＞ b\）且\（b ＞ c\），则\（a ＞ c\）。

3、加法法则：若\（a ＞ b\），则\（a ＋ c ＞ b ＋ c\）。

4、乘法法则：若\（a ＞ b\），＼（c ＞ 0\），则\（ac ＞ bc\）；若\（a ＞ b\），＼（c ＜ 0\），则\（ac ＜ bc\）。

二、一元一次不等式形如\（ax ＋ b ＞ 0\）（或\（＜ 0\））的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）。

2、去括号。

3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为\（1\）：根据不等式的性质，若系数为正，不等号方向不变；若系数为负，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0\）（或\（＜ 0\））（＼（a ≠ 0\））的不等式称为一元二次不等式。

其解法可以通过判别式\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）来判断：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）有两个不同的实根\（x_1\），＼（x_2\）（＼（x_1 ＜ x_2\）），则不等式的解集为\（x ＜ x_1\）或\（x ＞ x_2\）（大于取两边）；＼（x_1 ＜ x ＜x_2\）（小于取中间）。

当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实根\（x_0\），不等式的解集为\（x ≠ x_0\）（＼（a ＞ 0\））；＼（x 为全体实数\）（＼（a ＜ 0\））。

当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程无实根，不等式的解集为\（a ＞ 0\）时，＼（x\）为全体实数；＼（a ＜ 0\）时，无解。

高考数学知识高中数学讲解不等式及其解法

3.绝对值不等式的解法
1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2; 2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);
3)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x); 4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解.
考法不等式恒成立问题的常见解法 1.不等式解集法:不等式f(x)≥0在x∈A时恒成立⇔集合A是不等式f(x)≥0 的解集B的子集.通过求出不等式的解集,利用集合间的关系得出参数的取值范围. 2.分离参数法:不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立⇔λ≥g(x)或λ≤g (x)(x∈D)恒成立⇔λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,进而求得g(x)(x∈D)的最值即可. 该方法适用于参数与变量易分离,且函数最值易求得的题目. 3.变换主元法:更换变元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. 4.数形结合法:结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点处的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.
例
(2020辽宁葫芦岛一模,16)已知m∈R,函数f(x)=
x2 x
2 2
xm 2(x
3, x 0, m) 1, x
0.
若
对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|-1恒成立,则m的取值范围是
.
解析当-3≤x≤0时, f(x)≤|x|-1恒成立可化为x2+2x+m-3≤-x-1恒成立,即-m
集
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不等式的

高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结

高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结1. 不等式的基本性质：- 两边加（减）一个相同的数，不等式的不等关系不变。

- 两边乘（除）一个正数，不等式的不等关系不变。

- 两边乘（除）一个负数，不等式的不等关系反向。

2. 不等式的解集表示：- 不等式的解集可以用区间表示，例如：(a, b)表示大于a小于b的所有实数。

- 不等式的解集也可以用集合表示，例如：{x|x > a}表示大于a的所有实数。

3. 常见的不等式公式：- 两个数的大小关系：若 a < b，则有 a + c < b + c, a - c < b - c, ac < bc (若 c > 0), ac > bc (若 c < 0), a/c < b/c (若 c > 0), a/c > b/c (若 c < 0)。

- 平方不等式：若 a > b，则有 a^2 > b^2。

- 乘方不等式：若 a > b > 0 且 n > 0，则有 a^n > b^n。

- AM-GM 不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥√(a1a2...an)。

4. 不等式的证明方法：- 利用性质证明法：利用前述不等式的基本性质进行推导，将不等式化为已知的形式。

- 利用数轴法：将不等式的解集在数轴上表示出来，通过移动自变量的位置来判断不等式的成立性。

- 利用函数法：将不等式视为一个函数的性质，通过证明函数的单调性来得出不等式的结论。

- 利用数学归纳法：当不等式涉及到自然数时，可以使用数学归纳法来证明不等式的成立性。

以上是高一数学不等式的一些基本知识点总结，希望对你有帮助。

高一不等式知识点归纳总结

高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。

在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。

本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。

一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。

这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。

2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。

即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。

3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。

如果a<b，且c<0，那么ac>bc。

也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。

4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。

当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。

二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。

- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。

- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。

- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。

2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。

三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。

- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

高中数学不等式知识点归纳

高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。

不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。

这些性质在解决不等式问题时非常重要。

2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。

3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。

4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。

5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。

6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。

在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。

以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。

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定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x ＞y ，那么y ＜x ；如果y ＜x ，那么x ＞y ； ②传递性：如果x ＞y ，y ＞z ；那么x ＞z ；③加法性质；如果x ＞y ，而z 为任意实数，那么x ＋z ＞y ＋z ；④乘法性质：如果x ＞y ，z ＞0，那么xz ＞yz ；如果x ＞y ，z ＜0，那么xz ＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F （x ）＜ G （x ）与不等式 G （x ）＞F （x ）同解。

④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+(6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a b c R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2 权方和不等式 m n3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。

m 为正数。

3-4绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |||||||a b a b -≤+3-5 不等式例题解析3-5-1 绝对值不等式1、求2|55|1x x -+<的解2、右边的常数变为代数式(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x3、两个绝对值不等式解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. 形如|()f x |<|()g x |型不等式1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<02）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为。

解：|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x6当03<+m 即3-<m 时， x R方法归纳：形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ②当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。

4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值范围。

［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。

若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。

［解题］解法一 (1)当a≤0时，不等式的解集是空集。

(2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3－x|<a有解时a的取值范围。

令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3<a，即2x－7<a解不等式组474272x axx a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a>1②当3<x<4时，原不等式化为4－x+x－3<a得a>1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x<a即7－2x<a解不等式377337222x a axx a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a>1综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<a≤1时，原不等式解集为空集。

由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a>1时，|x－4|+|3－x|<a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。

解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。

方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。

2）()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。

()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥。

()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补。

()f x a <恒成立()max a f x ⇒>。

()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补。

()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤。

()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。

()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。

6、绝对值三参数不等式问题已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证：(1)||1b ≤；(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。

［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。

因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。

［解题］证明：(1)由()()()()11,1[11]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有11||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221||(|(1)||(1)|) 1.2b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤Q (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),22f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+⇒=--+=+-=从而 ()()1[11](0)2a f f f =+-- 将以上三式代入2()(,,)g x bx ax c abc R =++∈，并整理得22222211|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111|1||1||1|1(1)(1)222222g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ 收获1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。