2019年高三数学联考试卷

衡阳市八中2020届高三月考试题（四）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合2

{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B ⋃=（ ）

A ．3(1,)2

B ．(1,)+∞

C ．(1,3)

D ．3(,3)2

2．设曲线ln(1)ax

y e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．()5

(1)12x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）

A ．100

B ．120

C ．140

D ．160

4．已知在圆2

2

:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )

A.6

B.8

C.10

D.12

5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A ．a c b <<

B ．a b c <<

C ．b c a <<

D ．c a b <<

6.已知函数5

cos sin ()x

x x x f x e

-=，则函数()f x 的大致图像为（ ）

A B C D 7．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛

⎫

=+> ⎪⎝

⎭

的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π

个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）

A ．4

x π

=

B ．3x π

=

C ．56

x π

=

D ．1912x π=

试卷第2页，总4页

8．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=10斤,1斤=10两),令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银( ) A.

266127两 B. 889127两 C. 84031两 D. 1111

31

两 9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，

将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．3π

B ．

3π C ．4π D ．3

π 10.已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，E 为2OF 的中点，

过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于,C D 两点，B 为双曲线的右顶点，

若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )

A ．2 B.2 C.3 D .23

11.对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；

③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32

132f x x x =-+

；()21x f x e x =--；()3ln(1),0,2,

0.x x f x x x -+≤⎧=⎨

>⎩ ()411,0,2120,0.x

x x f x x ⎧⎛⎫

+≠⎪ ⎪=-⎝⎭

⎨⎪=⎩

则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A.0

B.1

C.2

D.3

12．已知函数211

()(0)42

f x x x a x =

++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围为（）

A ．3

,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

B ．(1ln 2,)--+∞

C ．(1ln 2,)-++∞

D ．(ln 2ln3,)-+∞

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．()()

2020

2020

11i i +--的值是__________；

14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在

5090km/h -的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布

直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有________辆；

15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160,90A AB A AD DAB ∠=∠=︒∠=︒，1A A AB AD ==，11E F A D DC 、分别是棱和的中点则EF 与AC 所成角为_________；（用弧度表示）

16．如图，过抛物线2

2y px =(0)p >的焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，若ACF V 与BDF △面积

之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)

箱中装有4个白球和()

*m m N ∈个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和. （1）若1

(6)5

P X ==

，求m 的值； （2）当4m =时，求随机变量X 的分布列与数学期望.

18．(本小题满分12分)

已知函数π()3cos(2)2sin cos 3

f x x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)在ABC V 中，3AC =且02B f ⎛⎫

-

= ⎪⎝⎭

，求ABC V 面积的最大值．