复变函数第1章重点.docx

第一章复数和复平面

§1.1复数

1.复数的概念

复数z = a + ib或空=。+仞，其中d和b为实数，i称为虚单位，即是满足r =-1.

Q与“分别称为复数z的实部和虚部，记作Q二Rez, /? = Im乙

■

2.复数的向量表示和复平面

根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + ib f都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定；，有序实数对@0)与平面直角坐标系屮的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平而

直角坐标系中的点集之间的对应.

我们说点z(a,b),与复数z = a + ib表示同一意义.

如果z = a + ib ,则z = a —ib.

复数z = a + ib还可以用rtl原点引向点z的向量丞來表示，这种表示方式建立了复数集Q与平面向量所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量丞的 < 度称为复数z 的模，记为|z|或儿因此有

|z| =厂=J/ > 0 (1.1) 显然,|Rez| 5|z| 5|Rez| + |lmz|, |lmz| <|z| W|Rez| + |lmz|・

考虑复平面□的不为零的点z = x + iy .如图1.3所示，这个点有极坐标(r,&):x = “os0,y =

A*sin&.显然厂=忖,&是正实轴与从原点0到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为& = Argz,英屮满足条件：一兀<05的值称为z = x + iy的主幅角,

记为 6 = 6/rgz ,显然有 Argz = argz + 2k7T, k = 0,±l,±2,±3,…

实部，虚部，模与幅角的关系：

兀=厂cos&, y = rsin3 tan^ = —.|z| =厂=Jx 2 + 于

V arctan —

,x>0

x y

龙+ arctan —v 0,y > 0

x y

八

--ZT +arctan —,x< 0,y < 0

6 = argz = x

—

,x = 0, y > 0

2 ”0,y<0

7T,x<0,y = 0

3.复数的运算

设复数z, =a + ib,z 2 =c + id ,贝！J 由下式定

义:

加法:z 1 + z 2 = (a + c) + i(h + d) (1.2)

减法:z }-z 2=(a- c) + i(b - d)

a

乘法:z }- z 2=ac + ihc + lad + rbd = (ac 一 hd) + i(hc +

ad).

除法 Z] _a + ib _(a + ib)(c-id) _ac + bd +jbc-ad z 2 c

+ id (c + id)(c — id) c 2 +d 2 c 1 +d 2

(1.4) (1-5)

复数的模和共轨复数冇下面的性质:

l)Rez = -(z + z), Imz =

—(z-z);

2 2i z — \

----- _ _ __ _____ Z

2)(z + vv) = z + zw = z iv; 一 \ /

=二3工 0); w

3)|zvv| = |z||w 心旦

w |w|

5)|z| = |z|.

4.复数的三角表示和复数的方根 利用

极坐标表示，攵数z 可以表示为 三角形

式：z=r （cos 〃+rsin 〃）.

指数形式：z = 4

|z | z —,Arg =• = Argz,- Argz 2. \Z 2\ Z 2 设复数z =沁&从而有:

z n = (r(cos^ + zsin 3))n = F'(cos0 + isin&)" = r n (cos nO + i sin nO) = r n c ine .

|z"|=|z|",

英中n 为正整数.当r=\吋,得棣莫拂(de Moivre)公式

(cos 0 + i sin &))" = cos n0 + i sin nd. (1.15)

复数的“次方根是复数〃次乘幕的逆运算.下面我们介绍复数的川次方根的定义和求法. 设z =卅是已知的复数，〃为正整数，则称满足方程

of - Z

的所有的复数血为z 的77次方根，并且记为

CO — yfz .

O)k =(^z )k =^ze ”

, "0,1,2,…，介 1 (1.16)

若记©二仏吩，则©可表示为 .2kn CO k — CO ()e n , ^=1,2, •••, /7-1 (L17)

§1.2复平面点集

我们研究的许多对象一一解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的 问题，这些都是复平面上的一种点集。在此，我们先介绍复平面上的点集.

1. 平面点集的几个概念

(1)邻域集合

D(Zo,6 = {z ：|z — Zo| V 》}

称为Zo 的/邻域，其中/ >0,

D(z o ,^)\{z o } = {z:O<|z-z o |<^}

称为Z Q 的去心邻域.

z i z?

(2)内点、开集若点集E的点Z。，有一个zo的邻域D(Zo0)uE,则称z°为E的一个

内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集.

(3)边界点、边界如果点z()的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点, 则称Z。为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作0E.

(4)区域如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起來，则称集E为连通集.连通的开集称为区域.

区域D和它的边界DD的并集称为闭区域，记为万.

(5)有界区域如果存在正数使得对一切ZG E,有

\z\

则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域.

(6)简单曲线、光滑曲线设x(r)和),⑴是实变量r的两个实函数，它们在闭区间[/0]上

连续，则由方程组

[y = y(O

或由复值函数

z(r) = x(t) + iy(t)

定义的集合厂称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线厂的参数方程.点A = z(Q)和

B=z(0)分别称为曲线厂的起点和终点.如果当片山W [G，0]，A工『2时，有Z(/])#Z(f2)，称曲线厂为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线.z(Q)= z(0)的简

单曲线称为简单闭曲线.例如圆周

x-厂cosr,y = Fsinrjw [0,2K]

就是简单闭曲线.如图1.6,用复数表示为

kl=r.

我们容易证明圆|Z|F将平面分为两个不相交的区域，由不等式|z|"

和|z|R所规定，这两个区域以圆周为边界.这个结果是以下约当定理的

特例.

定理1・1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为厂的内部；一个是无界的，称为厂的外部.

如果曲线厂在[%0]上有“(/)和y(/)存在、连续，而且不同时为零，则称曲线厂为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线.

(7)单连通区域设D为复平面上的区域,如果在D内的任意简单曲线的内部均屈于D, 则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域.