曲线与方程

曲线与方程
一、 基本知识体系：
1、 曲线的方程和方程的曲线：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的
集合或轨迹）上的点与一个二元方程ƒ(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2、 求曲线的方程的一般步骤：建系，设点⇒转化条件，列出方程⇒化方程ƒ(x,y)=0为最简
形式⇒证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

3、 两条曲线的交点：两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，
求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题。

4、 求轨迹方程的常用方法：
① 直接法：直接写出题目中的等量关系，从而化出所求的轨迹方程；这是最常用的一
种求法。

② 定义法：运用解析几何中一些常用的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可
从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

③ 相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一
动点Q （x ′,y ′)的运动而有规律地运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求出，则可先将x′,y′表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，这种利用相关动点和所求动点的关系求出轨迹方程的方法叫做相关点法，也叫做代入法。

④ 参数法：有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量
（参数），使x,y 之间建立起联系，然后从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

⑤ 交轨法：求两动曲线的交点的轨迹方程时，可由方程直接消去参数，例如求两动直
线的交点时常用此方法。

也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程，故交轨法也属于参数法。

二、 典例剖析： ★【题1】、如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切
线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2.PM PN =
试建立适当的坐标系，并
求动点P 的轨迹方程.
●[解析]：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐
标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２
＝
２ＰＮ２
，
因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212
22
1-=-PO PO ，设P （x,y ） 则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(2
2
=+-y x 综上所述，所求轨迹方程为：33)6(2
2
=+-y x （或
031222=+-+x y x ）
★【题2】、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面
内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( ) （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= ●解：设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，
4MN =；则
(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-
由0=⋅+⋅NP MN MP MN ，则224(2)4(2)0x y x +++-=，化简整理得
x y 82-= 所以选B
★【题3】、如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含
边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的
方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. ●解：（I ）
12{(,)|,0},{(,)|,0}.
W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,
由题意得：2
22.,11
d k k =++即22222
||.1k x y d k -=+由(,),P x y W ∈知2220,k x y ->
所以222
22
,1
k x y d k -=+即22222(1)0.k x y k d --+=所以动点P 的轨迹方程为22222(1)0.k x y k d --+=
（III ）①、当直线l 与x 轴垂直时,由对称性显然可知：1234,M M M M 的中点坐标都为(,0)a ,所以1234,OM M OM M ∆∆的重心坐标都为2(
,0)3
a
,即它们的重心重合. ②、当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠由
22222(1)0k x y k d y mx n
⎧--+=⎨
=+⎩,得222222
()20.k m x mnx n k d ----=∵由直线l 与曲线C 有两个不同交点,可知22
0k m -≠,且2222222
(2)4()()0.mn k m n k d d =+-⨯++>设
12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则12121222
2,()2.mn
x x y y m x x n k m +=+=++- 设
34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y 由
34,,y kx y kx n n x x y mx n y mx n k m k m ==-⎧⎧-==⎨⎨=+=+-+⎩⎩
及得从而341222
2.mn
x x x x k m +==+-所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+所以
3434
12120000,.3333
x x y y x x y y ++++++++==于是12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心也重合.
★【题4】、已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P 的轨
迹为 W ；（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ·
OB 的最小值.
解：（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长a =
又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22
122
x y -=,x ≥ （Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y ；①、当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而2
2
121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-=②、当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为
y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得222(1)220.k x kmx m ----=故122
2,1km
x x k
+=
- 21222,
1
m x x k +=-所以
1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()
x x kx m kx m =+++2
2
1212(1)()k x x km x x m
=++++
22222
22(1)(2)211k m k m m k k ++=++--22
22
1
k k +=-2
421
k =+
-.又因为120x x >,所以2
10k ->,从而 2.OA OB ⋅>综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.
三、巩固练习：
★【题1】、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•，则点P
的轨迹方程是__
解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=•OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x ★【题2】、．以下几个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为
【解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为
常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错，由1
()2
OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，
设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125
,12
x x x x +=
=可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，
221259x y -=的焦点坐标(34,0±),而2
2135
x y +=的焦点坐标(34,0±),故④正确. ★【题3】设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2＝且AB OQ PA BP ⋅=，则点P 的轨迹方程是（D ） A.
)0,0(12
332
2>>=+
y x y x B.
)0,0(12
332
2>>=-
y x y x C.
)0,0(132
322
>>=-y x y x
D.
)0,0(132
322
>>=+y x y x ★【题4】如图, 直线L 1和L 2相交于点M ，L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.
（供选择用）★【题5】、平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂
直，且交α
于点 C ，则动 点 C 的轨迹是 （ A ）
（A ） 一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支
★【题】、在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、离心率为
2
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。

求：（Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）OM 的最小值。

解：椭圆方程可写为: y 2
a 2 + x 2
b
2 =1 式中a>b>0 , 且 ⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－b 2
=33a =32 得a 2=4,b 2=1,所以曲线C 的方程为:
x 2+
y 2
4
=1 (x>0,y>0). y=21－x 2 (0<x<1) y '=－ 2x
1－x 2
；设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02 , y '|x=x0= －
4x 0y 0 ,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0
y 0
(x －x 0)+y 0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x 0 , y= 4
y 0
.
由OM →=OA → +OB →
得M 的坐标为(x,y), 由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2
=1 (x>1,y>2) (Ⅱ)| OM →
|2= x 2+y 2, y 2=
41－1
x
2
=4+
4x 2－1 , ∴| OM →|2= x 2－1+4x 2－1
+5≥4+5=9.且当x 2－1=4x 2－1 ,即x=3>1时,上式取等号.故|OM →
|的最小值为3.。