正交矩阵与其应用毕业论文初稿
数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用
本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
正交矩阵的性质和应用
目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。
毕业论文正交矩阵及其应用
摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根; 行列式]]AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinant目录摘要 (I)Abstract .......................................................................................... I I0 引言 (1)1 正交矩阵的定义及其简单性质 (1)1.1 正交矩阵的定义及其判定 (1)1.2 正交矩阵的性质 (1)2 正交矩阵的应用 (2)2.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (2)2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (8)2.3 正交矩阵在物理中的作用 (11)参考文献 (15)0 引言正交矩阵是一类重要的实方阵, 由于它的一些特殊性质, 使得它在不同的领域都有着广泛的应用, 也推动了其它学科的发展. 本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.1 正交矩阵的定义及其简单性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1.1[1] n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 判定1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .判定2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.判定3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.1.2 正交矩阵的性质设A 为正交矩阵, 它有如下性质:性质1[5] 1A =±, 1A -存在, 并且1A -也为正交矩阵; 性质2[5] 'A ,*A 也是正交矩阵; 当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时. '*A A =-, 即ij ij a A =-.性质3[5] 若B 也是正交矩阵, 则''11,,,AB A B AB A B AB --都为正交矩阵.证明 性质1 显然1A =±, ()()()'11''1A A A ---==所以1A -也是正交矩阵.性质2 '1A A -=, 显然'A 为正交矩阵.由*'11,A A A A A-=±==,当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时, '*A A =-, 即ij ij a A =-; 所以*A 为正交矩阵.性质3 由'1'1,A A B B --==可知()()'1''11AB B A B A AB ---===,故AB 为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知''11,,,A B AB A B AB --均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么1λ也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵T , 使112A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1,...,n λλ为A 的全部特征值, 即()11,2,...,i i n λ==. 这些性质这里就不再证明了.2 正交矩阵的应用2.1 正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens 矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量()'21,n w w w W = , 令()i j w w s j i >+=22,sw d sw c ji==,, 则称n 阶矩阵行行j i c d d c T ij ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11 i 列 j 列 为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T , 是由向量W 的第j i ,两个元素定义的, 与单位矩阵只在第j i ,行和第j i ,列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()i j >, 则有如下的性质: <1> ij T 是正交矩阵;<2> 设()',21,,n ij u u u W T =, 则有()j i k w u u s u k k j i ,,0,≠===;<3> 用ij T 左乘任一矩阵A ,ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ij T 右乘任一矩阵A ,A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 <1> ()122222=+=+s w wdc j i , 故E T T ij ij =', ij T 是正交矩阵.<2> 由ij T 得定义知, 用ij T 左乘向量W , 只改变W 的第j i ,两个元素, 且22=+-=+-==+=+=sw w s w w cw dw u ss w s w dw cw u ji i j j i j ji j i i 所以ij T 左乘W , 使ij T W 的第i 个分量非负, 第j 个分量为0, 其余分量不变.<3> 根据 <2> 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 2.1.1[7] 任何n 阶实非奇异矩阵()nn ija A ⨯=, 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理 2.1.1[7] 设P 是n 阶正交矩阵<1> 若1=P , 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即r P P P P 21=;<2> 若1-=P , 则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即n r E P P P P -= 21, 其中),2,1(r i P i =是初等旋转矩阵.nn nE ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111证明 由于P 是n 阶正交矩阵, 根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵, 而且R 得对角线上的元素除最后一个外都是正的, 所以有R S S S P r ''2'1 = (2.1)由P 是正交矩阵和(2.1)式得E R S S S S R P P r r ==''11'' 即 E R R =' (2.2)设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 22211211其中,()12,10-=>n i r ii ,则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1112221121121221211'nn n n nn nnr r r r r r r r r r r r R R由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=1P 11P 11,2,1,;1;且且n j i n j i n j i j i j i r ij所以⎩⎨⎧-===1P ,E 1P E R n-当，当 (2.3) 于是由(2.1)(2.3)式得<1> 当1=P 时, ''2'1r S S S P =; <2> 当1-=P 时, n r E S S S P -=''2'1 . 记()r i S P i i ,,2,1' ==, i P 是初等旋转矩阵, 故定理1结论成立.引理 2.1.2[7] 设()mn ija A ⨯=, 秩()m A =, 则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵, 把'A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式, 其中R 是m 阶上三角阵, O 是()m m n ⨯-矩阵.证明 由引理2知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R P A 1, 其中P 是n 阶正交矩阵, 1R 是m 阶上三角阵, 又根据定理1知:⎩⎨⎧-===-1,1,11P E P P P P P P n r r 其中()r i P i ,2,1=是初等旋转矩阵.<1> 当1=P 时, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O R P P P A r 121 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==O R A P P R R r '1'1,<2> 当1-=P 时, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-O R E P P P A n r 121 于是有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-O R O R E A P P n r1'1'显然, R 是m 阶上三角阵, 当m n =时R 与1R 除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外, 其余元素对应相等. 当m n >时,1R R =, 所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm m m m n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是欧式空间n R 的子空间m V 的一组基, 记()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nm n n m m m a a a a a a a a a A 21222211121121ααα 是秩为m 的m n ⨯矩阵.若()mn ija A ⨯=满足定理2的条件, 则存在初等旋转矩阵r P P P 21使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R A P P r '1' (2.4)且()()'1'2'21',,,,,,P P P P P P PP E r r ==所以''1'2''1'2'1'P P P P E P P P P r r r ==- (2.5)由(2.4)、(2.5)两式知, 对E A 、做同样的旋转变换, 在把A 化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时,就将E 化成了'P , 而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧式空间的子空间m V 的一组基:()()m i a a a ni i i i m ,,2,1,,,,,,'2121 ==αααα为一组标准正交基德方法为:<1> 由已知基m ααα ,,21为列向量构成矩阵()mn ija A ⨯=;<2> 对矩阵()E A 施行初等旋转变换, 化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R , 同时E 就被化为正交矩阵'P , 这里R 是m 阶上三角阵;<3> 取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然, 上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面, 我们通过实例说明此方法的应用.例 2.1.1 求以向量()()()'3'2'11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1-=-=-=ααα为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==100010001111321αααA 对分块矩阵()E A 依次左乘342312,,T T T , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21230023210000100001,10000313200323100001,10000100002222002222342312T T T 得()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=2121212100233213213213320002361616123000212121212122334E A T T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=21230021321320213216*********121,21212121233213213210326161002121'P P 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23321321321,0326161,002121321P P P 则321,,P P P 就是由321,,ααα得到 的3V 的一组标准正交基.2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3] 设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、 结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算 :u G G G →⨯; 求逆运算 :v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.<1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以()ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ija A =对应于2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2n E 的子集族, 则2n E 和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间. ()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10 ()n O C B A ∈∀,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB → 20 ()st O E n n ,∈∃ ()A AE A E O A n n n ==∈∀,30 ()st A A O A n ,,'1=∃∈∀- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →⨯:设()()ij ij b B a A ==∀,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ik b a 1现在M 具有乘积空间111E E E ⨯⨯⨯ (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,, 我们有投影映射1:E M M M m ij →→⨯π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →⨯:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈∀A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈∀映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>,AA A *'=, 所以A A a ji ji =, 即()A A A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4] 设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g g G g g ∈∀21, 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie群.定理 2.2.1[4] 欧氏空间的有界闭集是紧致子集.证明 M A ∈∀(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2n 维欧氏空间2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A det 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E 的有界闭集. 设()n O A ∈∀, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈∀ ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3] 设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO , 在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO =()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.2.3 正交矩阵在物理中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量. 设曲线()()()(){}1111r t x t y t z t =与曲线()()()(){}r t x t y t z t =只差一个运动, 从曲线()1r t 到曲线()1r t 的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.6) 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数.对(2.6)两边求n 阶导数得()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有111121312122231313233m m m m m m m m m m m m m m m x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.7)因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t = (2.8) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z A x y z xy z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式, 由det 1A =±得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==± 现在取()()()()()()()()111r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论. 因为'''111''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111m x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++ (2.9) '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''x y z y z z x x y xyz x y z yz z x xyx y z =++ (2.10) (2.7)代入(2.9)的右边得()()()''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111m m m y z z x x y ax a y a z a x a y a z a x a y a z y z z x z y ++++++++ '''''''''''''''111111112131''''''''''''111111y z z x x y a x a xa xy zzxx y ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭ ''''''''''''111111122232''''''''''''111111m y z z x x y a y a ya yy z z x x y ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭'''''''''''''''111111132333''''''''''''111111y z z x x y a z a za zy zzxx y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭（2.11） 因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a zz y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质2知, ij ij a A =且由1(,1,2,3)njikj jk i AA j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数, 即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可推得111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.致 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪老师表示衷心的感!参考文献[1] 凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. : 西北工业大学, 2002. 10．160-164[2] 大成等．物质机构[M]．人民教育1982.9 219-226[3] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 高等教育, 1998.5 110-111, 193-195[4] 严志达等. 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正交设计应用实例(毕业论文)
2 正交实验设计2.1 正交实验设计概述正交实验设计(Orthogonal experimental design) 11是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根据从全面实验中挑选出部分有代表性的点进行实验，正交实验设计又称正交设计或多因素优选设计，是一种合理安排、科学分析各实验因素的一种有效的数理统计方法。
它是在实践经验和理论认识的基础上，借助一种规格化的“正交表”，从众多的实验条件中确定出若干个代表性较强的实验条件，科学地安排实验，然后对实验结果进行综合比较，统计分析，探求各因素水平的最佳组合，从而得到最优或较优实验方案的一种实验设计方法。
正交实验设计的特点是用不太多的实验次数，找出实验因素的最佳水平组合，了解实验因素的重要性程度及交互作用情况，减少实验盲目性，避免资金浪费等。
它能以较少的实验次数找到较好的实验（生产）方案，由正交实验寻找出的优化参数（条件）与全面实验所找出的最优条件有一致的趋势。
正交实验设计具有正交性，使实验具备均衡分散和综合可比性。
此法应用方便，准确性高，在多因素条件下应用有很大的优越性,是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交实验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
2．2 正交实验设计基本程序正交设计中常用的术语有：指标、因子和水平。
正交设计把实验设计要考表示第i次实验的指标值；把对实验虑的结果和评价准则称为指标，一般以yi结果和对评价指标可能产生影响且在实验中明确了条件加以对比的因素称为因子，一般以大写字母表示；把每个因子在实验中的具体条件称为因子的水平，简称水平，一般以表示因子的大写字母加上脚标来表示。
对于多因素实验，正交设计是简单常用的一种设计方法，其设计程序12如图4所示。
正交矩阵的性质以及在物理中的应用
正交矩阵的性质以及在物理中的应用正交矩阵被广泛地应用在数学和物理学中。
正交矩阵是一种特殊的矩阵，它可以用来表示旋转或变形。
这种特殊的矩阵在多个领域中都有着重要的应用。
正交矩阵在旋转、变换、编码、谱分析等领域中都有广泛的应用。
特别是在物理学中，正交矩阵的应用非常广泛，下文就探讨正交矩阵的性质以及在物理中的应用。
正交矩阵的性质正交矩阵是一种特殊的矩阵，它有很多重要的性质。
首先，正交矩阵中的所有列和行都是单位向量。
其次，正交矩阵的行和列都是正交的。
另外，正交矩阵的行列式的值为 1 或 -1，这意味着对于任何一个正交矩阵，其行列式的值一定是 ±1。
正交矩阵还具有下面的性质：1. 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵。
2. 任何两个相同大小的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。
3. 对于任何一个正交矩阵，它的每个元素的平方加起来等于1。
正交矩阵在物理中的应用正交矩阵在物理中有着广泛的应用。
下面将介绍正交矩阵在物理中的应用。
1. 旋转变换正交矩阵最常见的应用是进行旋转变换。
在三维空间中，我们可以用一个 3x3 的正交矩阵来表示一个旋转变换。
对于任何一个旋转矩阵 Q，可以使用它来将一个向量 x 旋转一定的角度θ，公式如下：y = Qx其中，y 是旋转变换之后的向量，x 是原始向量，Q 是旋转矩阵。
2. 相对论物理学中的洛伦兹变换在相对论物理学中，一个参考系可以被视为是在另一个参考系下运动的坐标系。
当两个参考系的相对速度不同时，它们之间的关系可以用洛伦兹变换来描述。
洛伦兹变换可以被表示为一个特殊的正交矩阵。
3. 量子力学中的波函数量子力学中的波函数也可以用正交矩阵来表示。
在量子力学中，波函数是描述粒子在空间中的概率分布的函数。
为了计算波函数，我们需要将一个三维空间中的向量投影到一个称为 Hilbert 空间的无限维向量空间中。
这个过程可以用一个正交矩阵来实现。
4. 编码与解码在数字通信中，为了保证通信的可靠性和隐私性，我们需要对数据进行编码和解码。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
线性代数论文《矩阵在实际中的应用》
######学院矩阵的实际应用课程题目：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月1 日矩阵的实际应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。
我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。
在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。
在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract: From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application正文：1、引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。
正交矩阵的性质及其应用 2
学号 20090501050227密级兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：苏志升指导教师：宋雪梅二○一三年五月BACHELOR’S DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYProperties and Applications of OrthogonalMatrixCollege ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied MathematicsName ：Su ZhishengDirected by ：S ong XuemeiMay 2013郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。
本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名：日期：摘要本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。
研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。
关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用ABSTRACTOrthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.目录第一章引言 (1)第二章正交矩阵及其性质 (2)2.1 正交矩阵的定义 (2)2.2 正交矩阵的性质 (2)2.3 正交矩阵的判定 (7)第三章正交矩阵的应用 (12)结论......................................................................................................... 错误！未定义书签。
正交矩阵的性质及其应用
正交矩阵的性质及其应用正交矩阵是矩阵理论中一类非常重要的矩阵，它拥有许多优良的性质，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将针对正交矩阵的性质及其应用展开详细的讨论。
正交矩阵的定义正交矩阵是指一个方阵，满足其转置矩阵和其自身的乘积等于单位矩阵。
即：$A^TA=I$其中，A为正交矩阵，I为单位矩阵。
正交矩阵的性质正交矩阵作为一个特殊的矩阵，具有许多优良的性质：1、正交矩阵的列是一个规范正交基对于一个正交矩阵A，其列向量构成了一个规范正交基。
即，每个列向量都是一个长度为1的向量，且任意两个列向量之间的内积为0。
由于正交矩阵的列是一个规范正交基，因此可以将其用于线性变换。
例如，如果一个向量v乘以一个正交矩阵A，那么就相当于对v进行了一次线性变换，将v从一个坐标系转换到了另一个坐标系。
由于A的列是一个规范正交基，因此该变换可以保持向量的长度和夹角不变。
2、正交矩阵的行也是一个规范正交基和列向量类似，正交矩阵的行向量也构成了一个规范正交基。
具体来说，正交矩阵的每一行都是一个长度为1的向量，且任意两行向量之间的内积为0。
3、正交矩阵是一个保角映射由于正交矩阵会保持向量的长度和夹角不变，因此它是一个保角映射。
即，它保持任意两个向量的夹角不变。
4、正交矩阵的逆等于其转置正交矩阵的逆等于其转置矩阵。
即：$A^{-1}=A^T$这个公式也可以表示为：$AA^T=I$这个公式可以理解为，正交矩阵的行和列构成了一个完整的规范正交基，因此它的逆矩阵和转置矩阵相等。
正交矩阵的应用由于正交矩阵具有这些优良的性质，因此在许多实际应用中都有着广泛的应用。
1、理解相关矩阵的内积对于一个矩阵A和B，可以通过它们的内积来度量它们的相关性。
具体来说，它们的内积等于它们的元素对应相乘后的和。
例如：$A·B=\sum_{i,j}{A_{i,j}B_{i,j}}$如果A和B都是正交矩阵，那么它们的内积就非常有用了。
由于正交矩阵的列都是一个规范正交基，因此它们之间的内积都等于0或1。
正交矩阵在物理学中的应用
正交矩阵在物理学中的应用正交矩阵是一种非常重要的数学工具，它在物理学中有着广泛的应用。
正交矩阵是指一个方阵，它的每一列都是单位向量，且每一列之间互相垂直。
在物理学中，正交矩阵被广泛应用于描述旋转、对称性和量子力学中的态矢量等方面。
旋转在物理学中，旋转是一种非常重要的现象。
正交矩阵可以用来描述旋转。
在三维空间中，一个旋转可以用一个3x3的正交矩阵来表示。
这个矩阵的每一列都是一个单位向量，它们分别表示旋转后的x、y、z轴的方向。
这个矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵，因为正交矩阵的每一列都是互相垂直的，所以它的逆矩阵就是它的转置矩阵。
对称性在物理学中，对称性是一种非常重要的概念。
正交矩阵可以用来描述对称性。
在三维空间中，一个对称性可以用一个3x3的正交矩阵来表示。
这个矩阵的每一列都是一个单位向量，它们分别表示对称后的x、y、z轴的方向。
这个矩阵的平方等于单位矩阵，因为对称性的平方等于恒等变换。
量子力学中的态矢量在量子力学中，态矢量是一种非常重要的概念。
正交矩阵可以用来描述态矢量。
在量子力学中，态矢量是一个复数向量，它描述了一个量子系统的状态。
正交矩阵可以用来描述态矢量的变换。
如果一个态矢量在一个正交矩阵的作用下发生了变换，那么这个态矢量的模长不变，但是它的相位会发生改变。
这个相位的改变可以用一个复数来表示，这个复数就是正交矩阵的行列式。
总结正交矩阵在物理学中有着广泛的应用。
它可以用来描述旋转、对称性和量子力学中的态矢量等方面。
正交矩阵的每一列都是单位向量，且每一列之间互相垂直。
正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，因为正交矩阵的每一列都是互相垂直的。
在物理学中，正交矩阵是一种非常重要的数学工具，它为我们研究物理现象提供了有力的数学工具。
矩阵初等变换及其应用毕业论文(设计)
学士学位论文题目矩阵初等变换及其应用学士学位论文题目矩阵初等变换及其应用学生指导教师副教授年级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院年4月25日毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
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作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
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4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它矩阵初等变换及其应用摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
正交矩阵在物理学中的应用
正交矩阵在物理学中的应用
正交矩阵在物理学中的应用
正交矩阵是指一种特殊的矩阵，其元素之间具有特殊的正交关系，它能够在多维空间中把复杂的坐标变换变得简单化。
在物理学中，正交矩阵有着广泛的应用，可以帮助科学家研究物理系统中的物理特性。
首先，正交矩阵被普遍用于坐标变换中。
正交矩阵可以用来描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换关系，这样就可以方便地把在一种坐标系中的位置，速度和加速度等数据变换至另一种坐标系中，从而使得空间中物体状态变化的物理特征可以在新坐标系中表示出来。
正交矩阵还可以被用来求解物理方程。
此类方程通常描述的是多元坐标空间中物体状态的变化，其解也存在于多元空间中，正交矩阵可以把复杂的多元空间变换成新的坐标系中，这样物理方程的解就很容易被解出来了。
正交矩阵在物体质量分析中也有重要的作用。
由于物体的质量往往是因坐标系的不同而变化的，正交矩阵可以轻松地把物体的质量从一种坐标系转换到另一种坐标系，这样就可以很容易地获得物体在不同坐标系中的质量变化情况。
正交矩阵还可以用来处理向量和矩阵的运算。
通过正交矩阵，可以把复杂的多元向量变换为更简单的两维向量，而不用计算多个复杂的多元向量的矩阵运算，从而节约了运算时间，提高了运算效率。
正交矩阵也可以用来对矩阵求逆，这对于解决定向问题非常有用。
总之，正交矩阵在物理学中有着广泛的应用，它可以方便地处理
坐标变换、求解复杂的物理方程、分析物体质量变化、节约向量矩阵运算等。
正交矩阵与正交变换的性质与应用
正交矩阵与正交变换的性质与应用正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在几何和物理学等领域中具有广泛的应用。
正交矩阵的性质及其在正交变换中的应用使其成为了相关领域中必不可少的工具。
本文将从正交矩阵的定义开始，详细介绍正交矩阵的性质，并讨论其在几何变换以及信号处理领域中的应用。
正交矩阵是一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
用数学符号表示，如果一个方阵A满足A^T * A = I，那么A就是一个正交矩阵，其中A^T表示A的转置，I表示单位矩阵。
正交矩阵具有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的逆矩阵是它的转置。
也就是说，对于一个正交矩阵A，A^T * A = A * A^T = I，则A的逆矩阵A^(-1) = A^T。
这一性质使得正交矩阵在求解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中非常有用。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一组标准正交基。
这就意味着正交矩阵可以用来描述坐标系的旋转和反射变换。
正交变换是一种保持向量长度和角度不变的变换，它在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维物体的旋转和放缩操作。
通过将对象的顶点坐标与正交矩阵相乘，可以得到旋转后的新坐标。
正交矩阵在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的计算通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来加速运算。
而FFT算法的核心思想就是利用正交矩阵的性质，将O(n^2)的计算复杂度降低到O(nlogn)。
此外，正交矩阵还可以用于编码和解码的错误检测和纠正。
在通信系统中，为了保证传输的数据能够正确无误地到达接收端，常常需要使用一些冗余的编码技术。
而正交矩阵的性质使得其在错误检测和纠正方面有着良好的效果。
综上所述，正交矩阵具有重要的性质和广泛的应用。
它不仅可以用来进行几何变换和信号处理，还可以应用于编码和解码等领域。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
正交矩阵与正交变换的性质及应用
正交矩阵与正交变换的性质及应用程祥河南大学数学与信息科学学院 开封 475004摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .性质2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.的列向量为A i α.性质3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.的行向量为A i β.1.2 正交矩阵的性质性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(,E A A A A ==*''**)()(,可得*'1,,A A A -均为正交矩阵.性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,可得1))(det(2=A ,故11)det(-=或A .性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得AB 为正交矩阵.性质4 正交矩阵的特征值的模为1.证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特征向量，即X AX λ=，0≠X两边取转置'''X A X λ=，由此得X X AX A X λλ'''=,有E A A ='可得X X X X '2'λ=,从而1=λ.性质5 正交矩阵的实特征值为1±.性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则''')()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=-A E n --=)1(A E --=, 故0=-A E ,即A 有特征值1.性质7 行列式为-1的正交矩阵必有特征值-1. 证明 设A 为正交矩阵且1)det(-=A 则''')(A E A A E A A A A A E +=+=+=+A E +-=, 故0=+A E ,即A 有特征值-1.性质8]6[ 设λ为正交矩阵A 的特征值，则1-λ也为A 的特征值. 证明 因λ为A 的特征值故存在特征向量λααα=A 使得 从而λαα''A A A =,得αλα1'-=A ,即1-λ为'A 的特征值, 从而1-λ也为A 的特征值.性质9]8[ 设A 为一n 阶正交矩阵，有一特征值为)0(≠+ββαi ，相应的特征向量为iy x +，则.0,'''==xy y y x x 证明 有))(()(iy x i iy x A ++=+βα, 得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αββαy xy x A ,两边转置得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''y x A y x αββα, 令y x Z y y Y x x X ''',,===,故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Y Z Z X Y Z Z Xαββααββα, 计算可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--+--+Y Z Z XZ X Y Y X Z Z Y X Z Z Z Y X αββααββααββααββα2)()(222222222, 比较第一行元素可知Z Y X αββα2)1(22=+-,)()1(22Y X Z -=-+αβαβ,又A 为正交矩阵，有性质4知122=+βα,代入并注意到0≠β有)(2Y X Z -=-βα, )(2Y X Z -=αβ,可得0))((22=-+Y X βα即Y X =,易得0=Z ,从而0,'''==xy y y x x .下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,B AB A B A +=使得. 证明 设有正交矩阵22,B AB A B A +=使得,则'22''',,B A B A B A 以及都是正交矩阵, 且B A B A B A B A +=-='22',,故B A B A +-,为正交矩阵,从而B A A B E B A B A E '-'-='--=2))((, B A A B E B A B A E '+'+='++=2))((,两式相加，得E E 42=,矛盾 故得证.例2 设1)(,0,≤+=+*B A r B A n B A 证明阶正交方阵且为 证明 因B A ,为正交方阵，故1,±=='A E A A ,又A B B A -==+估,0,从而12-=-='='A B A B A ,得B A '有特征值-1,故0)1('='+-='--B A AA B A E n ,即0,0)1()1('=+=+-='+-B A B A A B A A n n ,因此1)(≤+*B A r .例3]1[ 设1=A A 为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,≤≤-k k 使得023=-+-E kA kA A .证明 设321λλλ，，的三个特征值分别为A 则32131322123213)()()(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A E f , 因为A 为奇数阶正交矩阵且1=A , 故A 有特征值1，不妨设11=λ则122321===A λλλλλ,于是32313221323211,1λλλλλλλλλλλλλ++=++++=++,从而1)(23-+-=-=λλλλλk k A E f ,其中),(13232为实数或共轭虚数λλλλ++=k , 有因正交矩阵的特征值的模为1, 故323232)(λλλλλλ+≤+≤+-,得2232≤+≤-λλ,于是31≤≤-k ,从而023=-+-E kA kA A ,31≤≤-k .例4]7[有椭球面1222222=++cz b y a x 的中心，引三条两两垂直的射线，分交曲面于点321,,P P P ，设332211,,r OP r OP r OP ===.证明：222232221111111c b a r r r ++=++. 证明 设i i i i OP νμλ,,的方向余弦为， 31≤≤i 则()i i i i i i i r r r P νμλ,,点坐标为，且1222=++i i i νμλ,代入曲面方程可得22222221c b a r ii i iνμλ++=, 故223222122322212232221232221111c b a r r r νννμμμλλλ++++++++=++, 有321,,OP OP OP 两两垂直可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111νμλνμλνμλ为正交矩阵, 故1,1,1232221232221232221=++=++=++νννμμμλλλ,从而有222232221111111c b a r r r ++=++. 2.1正交变换的定义及等价条件定义2：欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V ∈βα,，都有),(),(βαβα=T T .正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.定理]2[ 设T 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等价的：(1) T 是正交变换；（2）T 保持向量的长度不变，即对于ααα=∈T V ,；（3）如果n εεε ,,21是标准正交基，那么n T T T εεε,,,21 也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2.2正交变换的性质和应用由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.例5]2[ 设T 是欧氏空间的一个变换，证明：如果T 是保持内积不变.即对于),(),(,,βαβαβα=∈T T V ，那么它一定是线性的，因而它是正交变换. 证：先证：.)(βαβαT T T +=+由条件得,0),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(),()),((2)),((2))(),(())(,)((=++++-+-++=++++-+-++=--+--+βαββααββααβαβαβαβαββααββααβαβαβαβαβαβαβαT T T T T T T T T T T T T T T T T T从而,)(,0)(βαβαβαβαT T T T T T +=+=--+再证：).()(ααkT k T =同理，由于.).()(,0)()(0),(),(),(),(),()),(())(,())(),(())()(),()((222是线性变换，得证故T T k k T T k k T k k k k k k T T k T k T k k T T k k T k T kT k T kT k T αααααααααααααααααααααααα==-=+--=+--=--例6 设m ααα,,,21 与m βββ,,,21 是n 维欧氏空间V 的两组向量，证明：存在正交变换T 使),,1(m i T i i ==βα的充要条件是m j i j i j i ,,1,),,(),( ==ββαα 证明 设有正交变换).,1(,m i T T i i ==βα使得，则 .,,1,),,(),(),(m j i T T j i j i j i ===ββαααα证 设.,,1,),,(),(m j i j i j i ==ββαα成立.令),,,,(),,,,(212211m m L V L V βββααα ==则.2211⊥⊥⊕=⊕=V V V V V但易知m m m m k k k k ββααϕ++→++ 11111:是1V 到2V 的同构映射.于是dim )(1V =)dim (2V .从而得，)dim()dim(21⊥⊥=V V ,令2ϕ为⊥1V 到⊥2V 得一个同构映射，则对,V ∈γ令⊥∈∈+=12,1121,V V γγγγγ,易知2211:γϕγϕγ+→T 是V 的正交变换且由0+=i i αα得m i T i i i ,,1,021 ==+=βϕαϕα例7]1[设21,T T 是n 维欧氏空间V 的两个线性变换，))(,(),(2211V T T T T ∈∀=ααααα，证明：存在T TT T V =1使得的正交变换.证明 令)(),(2211V T V V T V ==则易知)(:211V T T ∈∀−→−αααϕ,是的一个同构映射与21V V ，因此有)dim ()dim (212211⊥⊥⊥⊥=⊕=⊕=V V V V V V V 得,令知的一个同构映射，则易与是⊥⊥212V V ϕ),,(:2211212211V V V T ∈∈∈+=+−→−ααααααϕαϕα,是V 的正交变换，且对任意V ∈β有，而0,)(11111+==∈αααT T V V T T故ααϕαα21111)()(T T T T TT ===,因此T TT =1.参考文献[1]杨子胥. 高等代数精选习题[M].高等教育出版社，2008.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].高 等教育出版社，2003.9.[3]刘志明.关于正交矩阵性质的探讨[J].重庆师范学院学报(自然科学版),2000，第17卷增刊.[4]吴险峰，张晓林.正交矩阵的进一步探讨[J].齐齐哈尔大学学报，2008，第14卷第6期.[5]戴立辉，王泽文，刘龙章.正交矩阵的若干性质[J].华东地质学院学报，2002，第25卷第3 期.[6]涂文彪.正交矩阵的进一步推广及性质[J].蒙自师专学报，1992，总22期. [7]吕林根，许子道.解析几何(第四版)[M].高等教育出版社，2006.5.[8]胡邦.研究生入学考试考点解析与真题详解[M] .电子工业出版社，2008.。
正交矩阵与其应用毕业论文初稿
本科生毕业设计（论文）正交矩阵与其应用(The orthogonal matrix and its applicalion)学院：专业：学号：学生姓名：指导教师：二〇一年六月正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是2v。
如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正交变换。
但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
nn⨯正交矩阵形成了一个群，即指示为O的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。
使得它在不同的领域都有()n着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。
本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。
关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换The orthogonal matrix and its applicalion（作者英文名）：WaidyOrthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector v. v the length of the square is 2v. If the matrix form of linear transformation Qv maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. nn⨯orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ()O,it and its subgroups widely used innmathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the application of physics..Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation目录1.引言 (1)2. 正交矩阵的定义与其基本性 (1)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2正交矩阵的性质与其证明 (3)3. 正交矩阵的应用 (3)3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (3)3.2正交矩阵在化学中的应用 (8)3.3正交矩阵在物理学中的应用 (13)参考文献 (15)致谢 (16)附录 (16)正交矩阵与其应用姓名： 学号： 班级：1引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
正交矩阵及其性质-本科毕业论文【范本模板】
本科毕业设计(论文）题目名称：正交矩阵及其性质学院：数学与统计学院专业年级：数学与应用数学学生姓名:班级学号：指导教师：二O一三年五月二十四日摘要正交矩阵是一种常用的特殊矩阵, 在矩阵论中占有重要地位, 有着非常好的性质, 并具有广泛的应用。
本文应用矩阵的行列式，特征值, 秩等概念, 深入研究了正交矩阵的相关性质，并利用这些性质解决实际问题.关键词: 矩阵; 正交矩阵；特征值；行列式; 秩AbstractOrthogonal matrix is a kind of commonly used matrix and plays an important role in matrix theory. Orthogonal matrix has many good properties. It is widely used。
In this paper, we depth study the related properties of orthogonal matrix by applying the concepts of determinant, eigenvalue，rank and so on in matrix，and using these properties solve some practical problems.Kerword：Matrix; Orthogonal matrix；Eigenvalue; Determinant; Rank目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)1.引言 (1)2.正交矩阵的定义及其性质 (1)2。
1正交矩阵的定义 (1)2。
2正交矩阵的性质 (1)3.应用举例 (5)致谢 (7)参考文献 (8)1。
引 言矩阵是数学中一个重要的基本概念, 是代数学的重要研究对象之一。
矩阵是线性代数中的核心内容， 而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中占有重要地位, 有着非常好的性质［1-4]， 并在各领域的数学方法中有着广泛的应用, 对其本身的研究来说是富有创造性的领域. 关于正交矩阵的研究， 如今已取得了丰富的成果， 文献［5]比较全面的分析了正交矩阵的性质; 文献[6]讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系;文献［7］阐述了2阶正交矩阵有哪些类型; 文献［8］利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质； 文献［9］应用正交矩阵的若干性质， 给出了正交矩阵特征多项式系数的规律; 文献[10］叙述了正交矩阵在近世代数中的应用.国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用， 为矩阵理论的发展做出了重大贡献， 对于研究学习高等代数有重大的理论意义. 但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究， 没有系统全面的讨论正交矩阵的性质, 所以， 在此基础上， 本文对正交矩阵进行了较为深入的研究, 得到了正交矩阵的一系列常用性质， 并对相关性质进行了概括， 改进和推广， 又研究了其子式与余子式的关系以及正交矩阵的应用。
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本科生毕业设计（论文）正交矩阵与其应用(The orthogonal matrix and its applicalion)学院：专业：学号：学生姓名：指导教师：二〇一年六月正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是2v。
如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正交变换。
但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
nn⨯正交矩阵形成了一个群，即指示为O的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。
使得它在不同的领域都有()n着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。
本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。
关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换The orthogonal matrix and its applicalion（作者英文名）：WaidyOrthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector v. v the length of the square is 2v. If the matrix form of linear transformation Qv maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. nn⨯orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ()O,it and its subgroups widely used innmathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the application of physics..Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation目录1.引言 (1)2. 正交矩阵的定义与其基本性 (1)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2正交矩阵的性质与其证明 (3)3. 正交矩阵的应用 (3)3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (3)3.2正交矩阵在化学中的应用 (8)3.3正交矩阵在物理学中的应用 (13)参考文献 (15)致谢 (16)附录 (16)正交矩阵与其应用姓名： 学号： 班级：1引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v 。
v 的长度的平方是2v 。
如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。
但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
n n ⨯正交矩阵形成了一个群，即指示为()n O 的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。
使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。
本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。
2 正交矩阵的基本知识2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1：n 级实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA =-1），则称A为正交矩阵。
判定2.1-1：矩阵A 是正交矩阵⇔1-=A A T ; 判定2.1-2：矩阵A 是正交矩阵⇔n ,2,1,)(0)(1，⋯⋯=⎩⎨⎧≠==j i j i j i jTi αα;判定2.1-3：矩阵A 是正交矩阵⇔n ,2,1,)(0)(1，⋯⋯=⎩⎨⎧≠==j i j i j i Tji αα;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义，即E AA T =（或E A A T =,或E AA =-1），也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量。
当已知A 的正交矩阵求证其他的结论时，要用正交矩阵的定义及有关性质。
2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵，则A 有以下性质：性质1： 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵; 性质2： *A ,T A ，也是正交矩阵,即有 ⎪⎩⎪⎨⎧======*ij *T *ij *T -A 即 , -A A -1A 时 当; A 即 , A A ,1A 时 当αα时，时； 性质3： ,......)2,1(=k A k是正交矩阵；性质4： lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l ； 性质5： 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵。
证明:性质1 显然1±=A , ()()()111---==AAA TTT所以1-A 也是正交矩阵。
性质2 T A A =-1, 显然T A 为正交矩阵。
因为AAAAA T*1,1==±=-,当1A =时, *A A T =, 即*A ij =α; 当1A =-时。
*A A T =, 即*A ij -=α。
所以*A 为正交矩阵。
性质 3 由正交矩阵定义 2.1与判定 2.1-1，显然()()kTTk A A =，()()E EAAA AkkTTkk===，所以kA 也是正交矩阵。
性质 4 ⇒lA 是正交矩阵，显然()()()1121===--AA llA lA lA lA T，即有1±=l⇐由A 是正交矩阵，1±=l ，显然lA 是正交矩阵。
性质5 由11,--==B B A A T T 可知()()111---===AB ABAB AB TT T,故AB 为正交矩阵。
同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵。
正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值,另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵T , 使T TA n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-λλ11 其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()n i i ,,2,11 ==λ。
这些性质证明略。
3 正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基，现在可以用正交矩阵中的一种特殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵。
定义3.1 设向量()12,,,,0,,,Ti k n t t T t t t s c d ss==≠==则称n 级矩阵1000100000000100000101ik c d i G d c k ik=-为Givens 矩阵或初等旋转矩阵，也可记作(),ik ik G G c s =。
Givens 矩阵在向量T 下，有以下三个性质： 性质1 Givens 矩阵是正交矩阵；性质2 设()()1212,,,,,,,TTn ik n T t t t y G T y y y === 则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠；性质3 任意矩阵A 右乘ik G ，ik A G 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ，ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素。