四川大学锦江学院微积分复习题

2012—2013(下)微积分期末复习

一．填空题

1. 设z =(1,2)dz =________

2. 设函数()22ln z x xy y =++，则________,________z z x y

∂∂==∂∂. 3. 方程222326x y z ++=确定函数z ，则

_______________z y ∂=∂ 4. 函数x z y =在点()2,1沿________方向的方向导数最大

5. 设42

0(,)(,)D

f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰，改变积分的次序后为________ 00(,)a x

dx f x y dy ⎰⎰＝________

6. 若常数项级数1

n n U

∞=∑收敛，则lim n n U →∞＝ 7.L 为连接（2，0）（0，2）两点的直线段，则()L x y ds +=⎰ 8. 设曲线L 是圆周229x y +=,方向为顺时针,则曲线积分

2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-=⎰

9. 设L 为圆周222x y a +=按逆时针方向绕行,则22222235L xy y x x dx dy x y x y

--+=++⎰ 10. Ω是球面2224x y z z ++≤所围成的闭区域，则

dV Ω=⎰⎰⎰

二、单项选择题

1. 若(,)z f x y =在点(0,0)的两个偏导数存在, 则(,)z f x y =在点(0,0) （ ）。 Ａ、连续且可微 Ｂ、连续但不一定可微

Ｃ、可微但不一定连续 Ｄ、不一定可微也不一定连续

2. 曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的切平面方程是( )

A 042=-+y x ；

B 42=-+z y x ；

C 042=-+y x ；

D 052=-+y x . 3．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐

标是（ ）

A.(1,1,2)-

B. (1,1,2)-

C.(1,1,2)

D. (1,1,1)--

4. 设幂级数0n n

n a x ∞=∑在2x =-处收敛，则此幂级数在32

x =处( ) （A ） 发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛性不能确定

5. 函数z x y x y =----2346122

的驻点是（ ） Ａ、（1，-1） Ｂ、（-1，-1） Ｃ、（-1，1） Ｄ、（1，1）

6.

级数211)n n

∞=-∑是（ ）。 Ａ、绝对收敛 Ｂ、条件收敛 Ｃ、发散 Ｄ、收敛性不定

7. 级数()01ln n n n

∞=-∑是( ) （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ） 发散 （D ）收敛性不能确定

8. 设正项级数

1n n u ∞=∑收敛,则下列级数发散的是（ ） Ａ、11100n n u ∞=∑ Ｂ、11n n u ∞=+∑ Ｃ、()11n n u ∞=+∑ Ｄ、100

n n u ∞=∑ 9. 若级数1n n u

∞

=∑发散，则（ ）

（A ）可能lim 0n n u →∞=，也可能lim 0n n u →∞≠ （B ）一定是lim 0n n u →∞

≠ （C ）一定是 lim n n u →∞=+∞ （D ）一定是lim 0n n u →∞

= 10. 级数()3

11sin()n n na n ∞=-∑（ ）。 （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不定

三、计算题

1.设2

(,2)z f xy x y =+，f 具有二阶连续偏导数，求2,,z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂ 2.求由xyz e z =所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数y

z x z ∂∂∂∂,. 3. 求函数11(,)f x y xy x y =+

+的极值 4.

计算二重积分

D σ，其中Ｄ是由222x y +=围成的闭区域. 5. 计算二重积分

sin d d D x x y x ⎰⎰,其中D 是直线,0,y x y x π===围成的闭区域.

6. 证明曲线积分cos sin ,x x c e ydx e ydy --+⎰在xoy 面内与路径无关,其中c 是曲线

sin y x =上从点(0,0)o 到点(,1)2

A π的一段弧,并计算积分值。 7. 利用高斯公式计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑是曲

面

z =与1z =所围立体表面的外侧

8.

求曲面z =0z =所围立体的表面积

9.

求幂级数1n

n ∞

=. 10. 求幂级数11n n nx

∞-=∑的收敛区间(含端点)与和函数()S x .