奥数韩信点兵

[阅读材料]世界名题与小升初之：
韩信点兵问题
在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。

韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。

这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。

例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。

在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。

如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。

问：这批物品共有多少件？
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。

求这个数。

这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。

如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。

另可这样想：此题可用枚举法进行推算。

先按顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。

也就是当一个题的限制条件为多个时，先满足其中的一个，再在不改变第一个条件的情况下满足第二个，然后在不改变前两个条件的基础上满足第3个……
解：除以5余3的数：
3，8，13，18，23，28，……
除以7余2的数：
2，9，16，23，30，37，……
同时满足以上两个条件的数：
23，58，……
满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23
答：符合条件物体个数是23。

我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，
除百零五便得知。

意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。

如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。

具体解法是——
2×70+3×21+2×15
=140+63+30
=233
233-105×2
=233-210
=23
例3：我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。

问：这队士兵至少有多少人？
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

如果从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。

例如我们从用3除余2这个条件开始。

满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。

要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。

当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

最后一个条件是用7除余4。

8不满足这个条件。

我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。

因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。

于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。

当试到m=3时，得到8+15 m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。

我国古代学者早就研究过这个问题。

例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。

"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使
之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。

加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，这队士兵至少有53人。

在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；21是3与7的倍数，而用5除余1；15是3与5的倍数，而用7除余1。

因而70×2是5与7的倍数，用3除余2；21×3是3与7的倍数，用5除余3；15×4是3与5的倍数，用7除余4。

如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。

所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。

一般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。

除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。

我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。

5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。

为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。

3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。

为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。

3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。

3、5、7的最小公倍数是105，所以"除百零五便得知"。

依照上面的思路，我们可以举一反三。

例4：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。

解我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。

我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。

最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。

利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。

由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。

用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。

一般地，105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数;( 105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。

上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。

如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

35+196×2+120×5=1027就是符合题意的数。

1027=7×140+47，由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。

《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。

留给读者自己去编吧。

凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。

上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。

下面介绍另外两种解法：
一、用提倍（化带）法解：
这是一道变形后的较难的韩信点兵问题。

例5：已知三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。

那么，这三个自然数中最小的一个是。

分析与解：设中间数为N，13/（N-1）；15/N，17/（N+1），“/”表示整除，那么都可以把N 表示成带余除法形式。

由N-1=13A，N=15B，N+1=17C，可得：N=13A+1，N=15B，N=17C-1，（A，B，C是非0自然数）
这种形式同学们一定非常的熟悉，这在余数、同余这一章最常见。

因此要解决原题，我们就可以根据这三个式子另出一个题铺垫一下：
有一个自然数除以13余1，除以15余0，除以17余16（当然可以换成“加1后又是17的倍数”）求这个小于2002的自然数是多少？
下面的解法是大家非常熟悉的，本题所求的数有三个要求，我们采取逐个满足的方法。

因为 13A+1=15B 得：
13
1213121313115-+=-+=-=B B B B B A 这种变形是解不定方程及数论题中极重要的方法，可避免逐个试验，而直接抓住式子的特点，看出B 或A 的取值。

我给这种方法命名为“提倍法”意思是把分子是分母的整倍数部分提出来，也就是化假分数为带分数，可简称“化带”。

由上
式可看出B 最小取7，13
12-B 可得整数1，则当B 取7时，A=8。

此时N=105，这时已经满足前两个要求，但105除以17不余16，接着我们可以给105不断的加13与15的最小公倍数的倍数，（想想为什么加13与15的最小公倍数的倍数？目的是为了使前两个要求不变，加13的倍数，除以13还余1，加15的倍数除以15还整除）直至找到有一个是除以17余16的数，这个数就是最小的一个。

当然一个个试105+195Q 是否能除以17余16还是比较麻烦的，可仍然用我们第一次的提倍的办法。

因为：105+195Q=17C-1得
17
486111741768111717106195+++=+⨯++⨯=+=Q Q Q Q Q C ，看最后一个分式由于数据较小，8Q+4要是17的倍数就较易确定，8Q+4是偶数，因此只能是17的偶数倍。

34不行，68时，Q 为8有解。

甚至我们还可以接着把这个式子变形来确定Q ，
8Q+4=17R 8
4284168417-+=-+=-=R R R R R Q ，现在总可以看出R 最小取4，则Q 取8，则C 取11×8+6+（8×8+4）÷17=98，则N=17×98-1=1664
二、利用辗转相除法解：
例6：有一个数，除以61余以13；除以67余5；除以97余4。

求这数最小是多少？ 解：如果使用“大衍求一术”太麻烦。

（1）先满足：除以67余5，除以97余4这个条件的最小整数。

67x+5=97y+4 （1）
67x=97y-1 （2）（利用辗转相除法）
67x1=30y-1 (3)
7x1=30y1-1 (4)
7x2=2y1-1（可以看出当x2=1时y1=4）
取y1=4代入（4）式，得x1=17代入（3）得y=38代入（1）得出3690可知3690满足后两个条件
再让给3690+97*67的倍数再满足除以61余13
61z+13=3690+97*67w （再利用辗转相除法）
（3677/61=60 (17)
97*67/61=106…33）
61z1=17+33w(2)
28z1=17+33w1(3)
28z2=17+5w1(4)
3z2=2+5w2(5)
3z3=2+2w2=2(1+w2)
取z3=2则w2=2代入（5）则z2=4代入（4）则w1=19代入（3）则z1=23代入（2）则w=42代入（1）则此数为276648经验证此数满足上面三个条件，小于97*67*61=396439。

故此数是最小的满足条件之数。

答：此数是276648。

能看懂上面的两种方法吗？
三、不定方程训练
例7：A、B、C、D这4人都常去电影院，A每隔2天去一次，B每隔4天去一次，C每隔6天去一次，D每隔10天去一次。

今天他们4人都去电影院，将来会有连续2天恰好都有2人去电影院。

如果今天算第一天，那么最早出现的具有上述性质的连续2天是第几天和第几天？
解析：A每隔2天去一次，即每3天去一次；B每隔4天去一次，即每5天去一次；C每隔6天去一次，即每7天去一次；D每隔10天去一次，即每11天去一次；
A、B最小公倍数3*5=15，即A、B同去为15的倍数加1天；C、D最小公倍数7*11=77，即C、D同去为77的倍数加1天；
如A、B先去，C、D后去，则15m+1+1=77n+1，最小解为m=41、n=8，得到第15*41+1=616天和617天；如A、B后去，C、D先去，则15m+1=77n+1+1，最小解为m=36、n=7，得到第15*36+1=541天和540天；
A、C最小公倍数3*7=21，即A、C同去为21的倍数加1天；
B、D最小公倍数5*11=55，即B、D同去为55的倍数加1天；
如A、C先去，B、D后去，则21m+1+1=55n+1，最小解为m=34、n=13，得到第21*34+1=715天和716天；
如A、C后去，B、D先去，则21m+1=55n+1+1，最小解为m=21、n=8，得到第21*21+1=442天和441天；
A、D最小公倍数3*11=33，即A、D同去为33的倍数加1天；
B、C最小公倍数5*7=35，即B、C同去为35的倍数加1天；
如A、D先去，B、C后去，则33m+1+1=35n+1，最小解为m=18、n=17，得到第33*18+1=595天和596天；
如A、D后去，B、C先去，则33m+1=35n+1+1，最小解为m=17、n=16，得到第33*17+1=562天和561天；
所以，最早出现的具有上述性质的连续2天是第441天和第442天。

试一试：华数思维导引一题五下余数与同余：
1、一个自然数除以19余9，除以23余7。

那么这个自然数最小是多少？
上面的几种方法都可用，自己试试：
N=19A+9=23B+7
19A=23B-2
19A=19B+（4B-2）
知道4B-2可以整除19，B至少是10，N=237
答：这个自然数最小是237。

2、四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数，这四个连续自然数的和最小是。

（全国小奥比赛试题）
参考答案：642
3、有学生在操场上列队做操，只知人数在90～150之间.如果排成3列不多也不少；如排成5列则少2人；如排成7列则少4人.问共有学生多少人？
参考：共有学生108人.排成5列少2人，就是被5除余3.排成7列少4人，就是被7除余3.因此是3+ 35×整数是3，38，73，108，143，…这串数.在90至150之间能被3 整除的数是108.
4、已知三个连续的偶数，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被19整除。

那么，这三个自然数中最小的一个是。

1
2
3
4。