基本初等函数复习

基本初等函数复习

一、知识梳理

1．知识网络

2．要点归纳 (1)分数指数幂

①m n

a ＝n

a m (a >0、m 、n ∈N *、且n >1)． ②1m n m n

a

a

-=

(a >0、m 、n ∈N *、且n >1)．

(2)根式的性质 ①(n

a )n ＝a .

②当n 为奇数时、n

a n ＝a ；

当n 为偶数时、n

a n ＝|a |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

a ，a ≥0，

－a ，a <0.

(3)指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋

s (a >0、r 、s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a >0、r 、s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0、b >0、r ∈R )． (4)指数式与对数式的互化式

log a N ＝b ⇔a b ＝N (a >0、且a ≠1、N >0)． (5)对数的换底公式

log a N ＝log m N

log m a

(a >0、且a ≠1、m >0、且m ≠1、N >0)．

推论：log m n

a b ＝n m log a b (a >0、且a ≠1、m 、n >0、且m ≠1、n ≠1、b >0)．

(6)对数的四则运算法则

若a >0、且a ≠1、M >0、N >0、则 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N ＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (7)指数函数

①理解指数函数概念及单调性．

②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点． (8)对数函数

①理解对数函数概念及单调性．

②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点． ③了解y ＝a x 、y ＝log a x (a >0、且a ≠1)互为反函数． (9)幂函数

①了解幂函数的概念．

②结合y ＝x α、α＝－1、1

2

、1、2、3的图象、了解它们的性质．

二、专题讲解

1、 指数、对数的运算

1、化简：(1)293

2

)-⨯ (2)2log 32－log 332

9＋log 38－5log 325.

2、已知22

(x

x

a a -+=为常数、)x Z ∈、求88x x -+的值

3、计算80.25×4

2＋(3

2×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．

4、

22

(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5++⋅= 5、设,,a b c 都是正数、且346a b c ==、则下列正确的是（ ）

111.A c a b =+ 221.B c a b =+ 122.C c a b =+ 212.D c a b =+ 6、已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28=

2、函数的解析式

1、函数(

)

x

a a a 33y 2

+-=是指数函数、求a 的值。 2、已知函数21

()(1)a a f x a x +-=-⋅、

①当a ＝______时、()f x 为正比例函数； ②当a ＝______时、()f x 为反比例函数； ③当a ＝______时、()f x 为二次函数； ④当a ＝______时、()f x 为幂函数.

3、为了保证信息安全、传输必须使用加密方式、有一种方式其加密、解密原理如下：

明文――→加密密文――→发送密文――→解密

明文

已知加密为2x

y a =- (x 为明文、y 为密文)、如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”、再发送、接收方通过解密得到明文“3”、若接收方接到密文为“14”、则原发的明文是________．

4、通常候鸟每年秋天从北方飞往南方过冬、若某种候鸟的飞行速度y (m/s) 可以表示为函数

2

5log 10

x

y =、其中x 为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数. （1） 该种候鸟的耗氧量是40个单位时、它的飞行速度是多少？ （2） 该种候鸟的飞行速度为15m/s 时、它的耗氧量是多少个单位？

3、定义域和值域

1、函数()x

f x a =（0a >、且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值的和为6、则a 的值

为 .

2、函数

y = ）

1.(,)2A +∞ [).1,B +∞ 1.,12C ⎛⎤

⎥⎝⎦

.(,1)D -∞

3、已知函数22

()lg (1)(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦、若()f x 的定义域为R 、求实数a 的取值

范围。

4、已知函数2

lg(1)y x ax =++的值域是R 、求实数a 的取值范围。 5、设全集{

}3x

U x y ==、集合{}3

log P x y x ==、12

{}Q x y x ==、则(P Q)U

C

⋂等于

( )

A ．{}0

B ．(0,)+∞

C ．(,0)-∞

D ．(,0]-∞

4.过定点问题

1、函数log (21)2a y x =+-的图像恒过定点

2、已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1、2)、求a 、b 的值．

5、比较大小

1、比较下列各组数的大小：

①27、82； ②log 20.4、log 30.4、log 40.4； ③1

3

2,-

log 21

3、12

1log .3

2、设x 、y 、z 为正数、且2x ＝3y ＝5z 、则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

3、已知a ＝log 23.6、b ＝log 43.2、c ＝log 43.6、则( )

A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．b ＞a ＞c

D ．c ＞a ＞b

4、已知a ＝log 0.70.8、b ＝log 1.10.9、c ＝1.10.9、则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b 6、单调性问题

1、已知函数21x

f x a =（）（﹣）、当m n ＞时、()()f m f n ＜、则实数a 的取值范围是 2、已知关于x 的不等式222

1122x ax

x a ++-⎛⎫

⎛⎫< ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

恒成立、则a 的取值范围是 ．

3、函数212

()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）

A. (1,)+∞

B. (2,)+∞

C. (,1)-∞

D. (,0)-∞