(完整word版)信息安全数学基础试题

一、单项选择题
1、设a ， b 都是非零整数。

若a b ，b a,则【 】 A.a ＝b B.a ＝ b C.a ＝－b D 。

a 〉 b
2、设a ， b ， c 是三个整数，c 0且c a ，c b,如果存在整数s ， t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】
A 。

(a ， b)= c B. c ＝1 C 。

c ＝sa ＋tb D 。

c ＝ 1
3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A 。

a p ＝1 (mod p ） B 。

a (p)＝1 （mod a ） C. a （p ）＝a (mod p ） D. a p ＝a (mod p ）
4、已知模41的一个原根是6,则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C 。

46 D. 56
5、已知，),(88 z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. ［1] 是生成元 B 。

有3阶子群 C 。

[0] 是单位元 D 。

有真子群
6、设〈R ，+， >是环，则下列不正确的是【 】 A 。

〈F ，+ 〉是可换群 B 。

<F ， >是半群 C 。

对+是可分配的 D 。

+对 是可分配的
7、模30的简化剩余系是【 】
A. －1， 0， 5， 7， 9， 19, 20， 29
B. －1, －7, 10， 13, 17， 25, 23, 29
C 。

1， 7， 11, 13, 17， 19, 23, 29
D 。

－1, 7, 11， 13， 17, 19， 23， 29
8、设n 是整数，则 (2n ， 2（n ＋1))＝【 】 A.1 B.2 C 。

n D 。

2n 9、模17的平方剩余是【 】 A.3 B.10 C 。

12 D.15
10、整数5模17的指数ord 17（5）＝【 】 A.3 B.8 C 。

16 D 。

32
11、下面的集合和运算是群的是【 】
A.<N ，＋〉 （运算“＋”是自然数集N 上的普通加法)
B.〈R ，×〉 （R 是实数集，“×”是普通乘法）
C.<Z ，＋> （运算“＋”是整数集Z 上的普通加法）
D. <P （S ）,∩〉 （P(S)是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）
12、一次同余式234x ≡ 30(mod 198)的解数是【 】 A.18 B 。

6 C.9 D.0 13、集合F 上定义了“＋”和“ · "两种运算。

如果（ )，则<F, “＋”，“ · ”〉构成一个域。

【 】
A 。

F 对于运算 “＋”和 “ · "构成环，运算“＋”的单位元是e,且F\{e}对于 “ · "构成交换群
B. F 对于运算 “＋"构成交换群，单位元是e;F\｛e ｝对于运算“ · "构成交换群
C. F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
D. F 对于运算“＋"构成交换群，单位元是e ；F\{e ｝对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律
14、群是一种代数结构,下列说法错误的是【 】 A 。

群运算必是封闭的 B.群必有单位元
C 。

群必是满足消去律的
D 。

群必是满足交换律的 15、3次对称群S3的元素个数是【 】 A 。

1 B 。

3
C 。

6 D.4 二、填空题
16、)16(ϕ=_______。

17、设 m 是一个正整数, ad ≡bd (mod m ）,如果 ,则a ≡b （mod m ）。

18、一次同余式:ax b (mod m)有解的充分必要条件是 。

19、设(F,+,·）是一个域,则(F-{0｝,·)是__________。

20、如果G 是一个含有9个元素的群，那么，G 的真子群的阶只能是___________。

三、计算题
21、令1613,a = 3589b =。

用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。

22、计算3模19的指数。

23、计算Legendre 符号
24、已知,,στγ 是}5,4,3,2,1{=S 上的5元置换,且 (134),(235),(254)στγ===，
求 στ,1-σ,τσ，γστ)(。

25、考虑GF （23）上的椭圆曲线E ：)23(mod 132++≡x x y ，令P1=（3，10）,P2=（9,7），计算P1+P2。

四、解同余方程
26、求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡.
27、解同余方程组2(mod 3)
3(mod 5)2(mod 7)x x x ≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩
五、证明题
28、证明：如果是整数，则能被3整除。

29、证明:模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。

六、应用题
30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq.选择两个正整数e和d，满足:ed=1（mod()n )。

Bob的公钥是(n，e），对外公布.Bob 的私钥是d,自己私藏。

如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257,试求出Bob的私钥d。