第六章积分学SECTION11

第六章 积 分 学

这一章综述了单变量函数的常义积分、广义积分、含参数积分的基本概念、性质和计算方法，收集了求不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分的有关公式，主要的积分不等式以及积分的某些近似计算公式，简要地列举了积分在实际中的各种应用；编制了不定积分表和定积分表.

§１单变量函数的积分

一、 积分基本概念

［不定积分（原函数）］ 如果在给定的区间[a ,b ]上

)()( x f x F ='

那末F (x )称为f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数.

如果f (x )有一个原函数F (x )，那末它一定有无穷多个原函数，它们是形如

F x C ()+ （式中C 是任意常数）的函数族，所以用记号

C x F x x f +=⎰)(d )(

表示f (x )的原函数全体，称为f (x )的不定积分.

［定积分·黎曼积分］ 设在区间[a ,b ]上给定了函数f (x ).用任意方法把区间[a ,b ]分成若干部分，其分点为b x x x x x x a n i i =<<<<<<<=+ 1210，并设λ是i i i x x x -=+1Δ (i =0,1,2,…,n －1)中最大的.在每一个小区间[1,+i i x x ]上任取一点1,+≤≤=i i i i x x x ξξ (i =0,1,2,…,n －1),作和∑-==1

0Δ)(n i i i x f ξσ（图6.1）.当λ→0时，如果极限

∑-=→→=1

Δ)(lim lim n i i i x f ξσλλ

存在，那末这个极限称为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作

⎰∑=-=→b

a

n i i i x x f x f d )(Δ)(lim 1

ξλ

此时，函数f (x )称为区间[a ,b ]上的可积函数（黎曼可积），a 和b 分别称为积分的下限和上限，f (x )称为被积函数，x 是积分变量，“⎰”是积分号.

［牛顿－莱布尼茨公式］ 若函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，或分段连续，则f (x )在[a ,b ]上有原函数，设F (x )是f (x )在[a ,b ]上的一个原函数，则

)()(d )(a F b F x x f b a

-=⎰

这称为牛顿－莱布尼茨公式，或微积分学基本定理，它指出了定积分与不定积分的内在联系. ［可积函数及其性质］

１° 若函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，则f (x )是可积的.

２° 若函数f (x )在[a ,b ]上有界，且只有有限多个间断点，则f (x )是可积的. ３° 单调有界函数一定是可积的. ４° 可积函数一定是有界的.

５° 若函数f (x )可积，则|f (x )|与kf (x )（k 为常数）也可积. ６° 若函数f (x )，g (x )可积，则其和、差、乘积也可积.

７° 若函数f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]中的任一部分区间[α,β]上也可积.反之，若把[a ,b ]分割成若干部分区间，并分别在每个部分区间上f (x )可积，则它在整个区间[a ,b ]上可积. ［积分中值定理］儍儍儍儍

１° 若函数f (x )在区间[a ,b ]上连续（图6.2），则在区间[a ,b ]内至少存在一个数ξ(a <ξ

)()(d )(ξf a b x x f b a

-=⎰

２° 若函数f (x )，g (x )在区间[a ,b ]上有界且可积，f (x )连续，g (x )在区间[a ,b ]内不变号，则在区间[a ,b ]内至少存在一个数ξ(a <

ξ

⎰⎰

=b

a

b a

x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ

这称为关于积分的第一中值定理. ３° 若函数f (x )，g (x )在区间[a ,b ]上有界且可积，而f (x )在[a ,b ]上是单调的，则在区间[a ,b ]

内至少存在一个数ξ(a <ξ

⎰⎰⎰

-++=b

a

b a

x x g b f x x g a f x x g x f ξ

ξd )()0(d )()0(d )()(

这称为关于积分的第二中值定理.

４° 除此条件而外，若f (x )非负单调下降（广义的），则

⎰⎰+=ξ

a

b a

x x g a f x x g x f d )()0(d )()( (a <ξ

若f (x )非负单调上升（广义的），则

⎰⎰

-=b

b a

x x g b f x x g x f ξ

d )()0(d )()( (a <ξ

二、 积分不等式

设f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积，则有下列不等式： １° 若在区间[a ,b ]上，f (x )≤g (x )，则

⎰

b a

x x f d )(≤

⎰

b a

x x g d )(

２° 设)(sup ),(inf x f M x f m b

x a b

x a ≤≤≤≤==，则

m ≤

⎰-b a

x x f a b d )(1

≤M

３°

⎰

b a

x x f d )(≤

⎰b a

x x f d |)(|

４° 施瓦兹不等式

[]

2

d )()(⎰

b a

x x g x f ≤

⎰⎰

b

a

b a

x x g x x f d )]([d )]([22

５° 赫尔德不等式 设ｋ>1，k '>１，11

1k k +='，则

⎰b

a x x g x f d )()(≤()()

k b

a

k k

b

a k

x x g x x f '

⎰⎰1

1d |)(|d |)(|'

等号只当f (x )g (x )符号固定且|()||()|'

f x c

g x k k =（ｃ为正常数）时成立，当ｋ＝ｋ＇＝２时，就

是施瓦兹不等式. ６° 闵可夫斯基不等式 设r >0，则 ()

r

b a

r

x x g x f 1d |

)()(|⎰+≤r

b

a r

r

b

a r

x x g x x f 11)d |)(|()d |)(|(⎰⎰+ (r ≥1)

⎰+b

a

r

r

x x g x f 1)d |)()(|(≥r

b

a

r

r

b

a

r

x x g x x f 11)d |)(|()d |)(|(⎰⎰+

（r <1, f (x )与g (x )在[a ,b ]上同号）

等号只当f (x )=cg (x )(c 为常数)时成立.

７° 贝塞耳不等式 设)(x f n （n 为正整数）在[a ,b ]上为一正规正交系：

⎩

⎨

⎧=≠=⎰

)(1)

(0d )()(n m n m x x f x f b a

m n 则

⎰

∑∞

=b a

n n x x f x g 2

1

)d )()((≤

⎰

b a

x x g d ))((2

８° 哈代不等式 设f (x )在［0，∞）上可微且上升，f '(x )连续，f (0)=0，p >１，则

⎰⎰∞∞-≤0

0d ))('()1(d ))((x x f p p x x x f p p p 等号只当f (x )≡０时成立.

三、 原函数的求法

１．不定积分法则

C x f x x f +=⎰)(d )( ',

C x f x x f +=⎰)(' d )( ''

⎰⎰⎰+=+x x g b x x f a x x bg x af d )(d )(d ))()(( (a ,b 为常数) (线性运算)

⎰⎰=t t t f x x f d )(' )]([d )(φφ

(变量替换)