二次函数的性质总结

二次函数的性质总结
二次函数是高中数学中一类研究较深的函数，它的性质研究内容涉及范围较广。

总的来说，二次函数的性质可以归纳为以下八条：
一、二次函数的定义
二次函数是指以二次项即x2作为最高项的多项式的函数，表示为y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数。

为了使二次函数更容易分析，我们引入一个概念叫做抛物线，把y=ax2+bx+c函数图像想象成一个抛物线，便于绘制图像，更好的研究它的性质。

二、抛物线特点
物线有着不同的特点：
1、a>0：抛物线是一个向上开口的曲线；
2、a<0：抛物线是一个向下开口的曲线；
3、抛物线的顶点是一个关于x轴对称的点，记为（x1，y1）；
4、抛物线的顶点的y坐标值为：y1=a*x1*x1+b*x1+c；
5、抛物线的焦点为（x2，y2），x2=-b/2a，y2=a*x2*x2+b*x2+c；
6、抛物线的焦点到顶点的距离为：x1-x2=b/2a；
7、抛物线的焦点到顶点的距离平方为：(x1-x2)2+y1-y2=b2/4a2。

三、二次函数的图像特点
从抛物线的特点可知，二次函数的图像也有自己特定的特点，如：
1、a>0时，在顶点向右的方向，函数的值单调递增；在顶点向左的方向，函数的值单调递减；
2、a<0时，在顶点向右的方向，函数的值单调递减；在顶点向左的方向，函数的值单调递增；
3、在抛物线开口的方向，函数值永远都不会超过顶点值；
4、函数的零点为凹点，此时切线平行x轴；
5、函数的导数有着自己特定的性质：当y=ax2+bx+c时，函数的导数为y′=2ax+b，同时，x=-b/2a时，函数的导数为零；
6、a>0时，函数的图像的最小值为顶点的 y标值，函数的图像的最大值为无穷大；a<0时，函数的图像的最大值为顶点的y坐标值，函数的图像的最小值为负无穷大；
7、函数的极值点为凹点。

、二次函数的特点
从图像可以看出，二次函数具有以下特点：
1、当a>0时，此函数是一个单调递增函数，有一个唯一的极大值，记为y=max；
2、当a<0时，此函数是一个单调递减函数，有一个唯一的极小值，记为y=min；
3、当a=0时，此函数是一个线性函数，没有极值点；
4、此函数向x轴对称，其对称轴为y轴；
5、把此函数图像想象成一个抛物线，给出的抛物线的特点可以
进一步用来描述此函数的性质。

五、二次函数的应用
二次函数的性质描述了二次函数各项参数在函数性质上的影响，它具有较广泛的应用，如：
1、二次函数可以应用于科学研究，比如力学中的弹性模型，热力学中的温度变化等；
2、二次函数也可以应用于商业的领域，比如商品的价格预测，客户的需求预测等；
3、二次函数也可以应用于社会生活中，比如政府的税收计算、企业的行为预测等；
4、二次函数也可以用于文学艺术等领域，比如画作、雕塑和平面设计等；
5、二次函数也可以应用于计算机领域，比如计算器、游戏、图像处理等等。

、总结
二次函数是一类非常重要的函数，它的性质很丰富，有着广泛的应用领域。

它具有以下抛物线特点：抛物线开口的形式是有参数a决定的，顶点即为抛物线的凹点，且抛物线的焦点到顶点的距离平方记为b2/4a2；此外，二次函数的图像特点也很明显，它恒等于顶点值，其极值点也为凹点，它的性质不言而喻。

二次函数的应用非常广泛，
由于它便于描述，在科学研究、商业、社会生活、文学艺术以及计算机领域得到了广泛的运用。