浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考(数学文)

浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷
数学（文科）
命题者：龙游中学 汪晓华、陈柏成
考生须知：
1．全卷分试题卷、和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卡相应的位置、答题卷密封区内，填写学校、姓名、准考证号、学号. 3．所有答案必须写在答题卷第Ⅰ卷(答题卡)、第Ⅱ卷上指定的位置，写在试题卷上无效.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：(本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填入答题卷上指定的位置)
1.已知全集,U R =集合{{,.M x R y N y R y =∈==∈=则M C N U =( ） A ．∅ B.{}
01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {}
11x x -≤< 2.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=53，则b = （ ）
A ．（－1，2）
B ．（－3，6）
C ．（3，－6）
D ．（－3，6）或（3，－6） 3. 若直线==++=-++a y ax ay x a 则垂直与直线,01202)1(2
（ ）
A ．－2
B ．0
C ．－2或0
D ．222±
4.在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -= ( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-
5.命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件； 命题q ：函数)23(log 2
1-=
x y 的定义域是]1,(-∞，则 （ ）
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真 6.下列函数中,值域为()+∞,0的函数是
（ ）
A ．x
y 1
2=
B ．12-=x y
C ．12+=x y
D ．x
y -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=221
7. 若函数y =f （x ）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线3
π
=x 对称；（3）
在区间]3
,6[π
π-上是增函数，则y =f （x ）的解析式可以是 （ ）
A ．)6
2sin(π
+=x y B ．)32cos(π+=x y
C ．)6
2sin(π-=x y D ．)62cos(π
-=x y
8. 现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ）
A ．35种
B ． 50种
C ．60种
D ．70种
9.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，在平面11B ABA 内有一点P ，则过P 在平
面11B ABA 内可作与棱AC 所成角为600
的直线的条数不可能只有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
10.已知椭圆19
162
2=+y x 的两个焦点为21,F F ,P 是椭圆上任意一点, 若521=⋅PF PF ,21PF F ∆的面积为 ( )
A. 6
B.
2
7
5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷 ( 非选择题，共100分)
二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中指定的横线上)
11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生人数为_______________ 12．若n x
x )3(3-
展开式中的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为
13.过点)0,4(-A 作直线l 与圆2
224200x
y x y ++--=交于M 、N
=8，则l 的方程为
________（写成一般式）．
14.如图，函数)sin(ϕω+=x A y ),,0,0(R x A ∈≤<-><πϕπω的图象经过点)0,6(π
-
、)0,6
7
(π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为________________(结果要求
πϕπω≤<-><,0,0A )
15. 已知实数x,y 满足y x z x y x y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≤+3,13492则的最大值是
16. 已知函数⎩
⎨⎧≥<+-=1,ln 1
,2)(x x x x x f ，则不等式0)1(<-x xf 的解集为____________
17. 将4个相同的球全部放到5个编有1、2、3、4、5五个号码的盒子中,假设每个球放入哪个盒子是等
可能性的,并且每个盒子能容纳的球不限,则2号盒子放有1个球的不同的放法有______ (用数字作答)种; 1号和2号盒子各放一球的概率为_______ (用最简分数作答) 三、解答题：（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（本小题满分14分）
设A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c . 若＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1=⋅． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.
19.(本小题满分14分)
如图，正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为a ，侧棱长为
a 2
2
，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面于1DB
(Ⅰ)试确定点D 的位置，并证明你的结论； (Ⅱ)求二面角D AB A --11的大小. 20．（本小题满分14分） 已知函数223
241)(23
4--++-=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, (1)求实数a 的值
(2)若关于x 的方程m f x
=)2(有三个不同实数解,求实数m 的取值范围. 21．（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，
过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.
（1）若︒=∠6021F AF ，且,021=⋅AF 求椭圆的离心率； （2）若,1,2==b a 且F F 112-=.求直线l 的方程.
22．（本小题满分15分）
已知二次函数2
()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*
(0)2,()f n n N '=∈ （1）求()f x 的解析式； （2）若数列{}n a 满足
111
()n n
f a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，求证： ∑=<++++=n
k n k
a a a a a
1
3216
浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷数学（文科）评分标准
一、选择题(每小题5分,共50分)
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B B
C A A
D C B D A
二、填空题（每小题4分，其中第17题每格2分，共28分）
11. _30，45，15____ 12._____90_____ 13. 04020125=+=++x y x 或
14.)4323sin(2π--=x y 15. __17__ 16. (-∞，0) 17. _20__、625108
(即42245
3⋅A ) 三、解答题
18、解：（Ⅰ）∵＝
()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1
=
⋅n m
∴ 2
1
sin sin cos cos =⋅-⋅C B C B ……………………………………3分 ∴ ()21
cos =
+C B ……………………………………4分 即 ()21
cos =-A π ……………………………………5分
即－21cos =A ，又()π,0∈A ，∴π32
=A …………………………7分
（Ⅱ）33
2
sin 21sin 21=⋅=⋅=∆πbc A bc S ABC ，∴4=bc …………………9分
又由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=-+=2
20222120cos 2……………12分
∴16＝()2
c b +，故4=+c b ………14分
19、解：(Ⅰ)D 为A 1C 1的中点(D 也可以是△A 1B 1C 1的边A 1C 1中线上任一
点).
连结A 1B 与AB 1交于E ，
则E 为A 1B 的中点，DE 为平面AB 1D 与平面A 1BC 1的交线， ∵BC 1∥平面AB 1D
∴BC 1∥DE ，∴D 为A 1C 1的中点. ………………… 7分 (Ⅱ)过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，
由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1， 连结EF ，DE ，在正三角形A 1B 1C 1中，
∵D 是A 1C 1的中点，∴B 1D ＝
32A 1B 1＝3
2
a ， 又在直角三角形AA 1D 中， ∵AD ＝AA 21＋A 1D 2
＝32
a ，∴AD ＝B 1D .
∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，
则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角. ………10分
可求得DF ＝3
4
a ，
∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，
得EF ＝34a ，∴∠DEF ＝π
4
，即为所求. ……………14分
(Ⅱ)解法(二)(空间向量法)
建立如图所示空间直角坐标系，则
A (0，－12a,0)，
B 1(0，12a ，2
2
a )，
C 1(－32a,0，22a )，A 1(0，－12a ，2
2a )， D (－
34a ，－14a ，22
a ). ∴AB 1＝(0，a ，
22a )，B 1D ＝(－34a ，－3
4
a,0). 设n 1＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 的一个法向量，
则可得 ⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·AB 1＝0
n 1·B 1D ＝0
，即⎩⎪⎨
⎪⎧
ay ＋2
2az ＝0－34ax －3
4
ay ＝0.
∴n 1＝(－3，1，－2). ………………10分
又平面ABB 1A 1的一个法向量
n 2＝OC ＝(－3
2a,0,0)，设n 1与n 2的夹角是θ，
则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2
2
.
又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角.
∴二面角A 1－AB 1－D 的大小是4π
……………14分 20、解: (1)由函数223
241)(2
34--++-=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递
增, 1=x 取得极小值∴0)1(='f ………………………………………………3分
∵222)(2
3
-++-='ax x x x f ∴=')1(f 2
1
02221=⇒=-++-a a ………………………………………………6分 (2)由(1)知22213241)(2
34--++-
=x x x x x f , ∴22)(2
3-++-='x x x x f =)2)(1)(1(-+--x x x , 令0)(='x f 得1=x ,1-=x ,2=x
x
(-∞,-1)
-1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ∞) )
(x f '
+
-
+
-
)
(x f
增
12
5)1(-
=-f
减
12
37)1(-
=f
增
3
8)2(-
=f
减
所以函数)(x f 有极大值125
)1(-
=-f ,38)2(-=f ,极小值12
37)1(-=f ………………………10分
作出)(x f 的示意图如图
因关于x 的方程m f x
=)2(有三个不同实数解,令)0(2>=t t x
即关于t 的方程m t f =)(在),0(+∞∈t 上有三个不同实数解,即)(t f y =的图象与直线m y =在
),0(+∞∈t 上有三个不同的交点.而)(t f y =的图象与)(x f y =的图象一致.又2)0(-=f 由图可知381237-<<-m ……………………………14分 21、解：（1） 021=⋅AF AF ，21AF AF ⊥∴
,6021 =∠F AF 1212AF F F =∴，123AF AF =…………………………3分
212AF AF a +=∴，212F F c =
132
121-=+==∴AF AF F F a c
e 离心率………………………………………6分
（2）1,2==
b a ，)0,1(),0,1(,121F F
c -=∴点.
1°若AB 垂直于x 轴，则)2
2,1(),22,
1(---B A ， F F 11-=,显然不满足F F 112-= ………………8分
2°若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为 )1(+=x k y 由⎩
⎨⎧=-++=022)1(2
2y x x k y 得 0)1(24)21(2
222=-+++k x k x k
0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根. 设),(11y x A ，),(22y x B .
2
2
21214k k x x +-=+……………① 2
22121)
1(2k k x x +-=⋅………………② ………………11分
∵F F 112-=
∴),1(2),1(2211y x y x +-=+
即⎩⎨⎧-=--=+④y y ③x x 21
212221 由③得3221--=x x
代入①、②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅--+-=--222222221)1(2)32(2143k k x x k k x 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=
⋅--++-=++-=22
222222221)1(2)32(213
22143k k x x k k k k x 由两式消去2x 得
22222221)1(2)2132()2132(k k k k k k +-=++-⋅++- 即)21)(22(942
24k k k +-=-
即722
=k ,∴2
14±
=k ∴直线l 的方程为
2
14
214+
=
x y 或214214--=x y ………………15分 法2：1,2==b a ，)0,1(),0,1(,121F F c -=∴点.
1°若AB 垂直于y 轴,则)0,2(,)0,2(-B A 或)0,2(,)0,2(B A -
)0,12(1+=A F ,)0,12(1+-=B F 或)0,12(1+-=A F )0,12(1+=B F
显然不满足B F A F 112-=………………7分
2°若AB 与y 轴不垂直,设直线AB 的方程为 1-=my x
⎩⎨⎧=-+-=0
221
2
2y x my x 得012)2(2
2=--+my y m
0882>+=∆m ，∴方程有两个不等的实数根. 设),(11y x A ，),(22y x B .
则22221+=+m m
y y …………①
2
1
2
21+-=m y y …………② ………………10分 ∵F F 112-=
∴),1(2),1(2211y x y x +-=+ 即⎩⎨⎧-=--=+④y y ③x x 21
212221 由④代入①、②得⎪⎩
⎪⎨
⎧
+-=-+=-21
2222
2222m y m m y 消去2y 得21)22(22
22+-=+--m m m ，即272
=m 所以7
14
±=m
所以直线l 的方程为 17
14
-=
y x 或1714--=y x 即2
14
214+=x y 或214214--=x y ………………15分 22、解（1）由
b ax x f +='2)(，∴⎩⎨⎧=-=0
41622
nb a n n b 解之得n b a 2,21
== 即2
*1()2()2
f x x nx n N =
+∈； ……………………………5分 （2）由
111()n n
f a a +'=得n a a n n 2111+=+ ∴n a a n n 2111=-+ 由累加得
n n a n -=-24
1
1 ∴*2
4
()(21)
n a n N n =∈-； ……………………………10分
（3）)2()121
321(2)
12)(32(4)12(42≥---=--<-=
k k k k k k a k
当1n =时，显然成立； 当2≥n 时,
)]121321()5131()3111[(241
---++-+-⋅+≤∑=n n a
n
k k =61
22
6<--n
综上知
∑=<++++=n
k n k
a a a a a
1
3216 ……………………………15分
浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷
数学（文科）
命题者：龙游中学 汪晓华、陈柏成
考生须知：
1．全卷分试题卷、和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卡相应的位置、答题卷密封区内，填写学校、姓名、准考证号、学号. 3．所有答案必须写在答题卷第Ⅰ卷(答题卡)、第Ⅱ卷上指定的位置，写在试题卷上无效.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：(本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填入答题卷上指定的位置)
1.已知全集,U R =集合{{,.M x R y N y R y =∈==∈=则M C N U =( ） A ．∅ B.{}
01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {}
11x x -≤< 2.若平面向量与向量=（1，－2）的夹角是180°，且||=53，则= （ ）
A ．（－1，2）
B ．（－3，6）
C ．（3，－6）
D ．（－3，6）或（3，－6）
3. 若直线==++=-++a y ax ay x a 则垂直与直线,01202)1(2
（ ） A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．222±
4.在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -= ( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-
5.命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件； 命题q ：函数)23(log 2
1-=
x y 的定义域是]1,(-∞，则 （ ）
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真 6.下列函数中,值域为()+∞,0的函数是
（ ）
A ．x
y 1
2=
B ．12-=x y
C ．12+=x y
D ．x
y -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=221
7. 若函数y =f （x ）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线3
π
=x 对称；（3）
在区间]3
,6[π
π-上是增函数，则y =f （x ）的解析式可以是 （ ）
A ．)6
2sin(π
+=x y B ．)32cos(π+=x y
C ．)6
2sin(π-=x y D ．)62cos(π
-=x y
8. 现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ） A ．35种 B ． 50种 C ．60种 D ．70种
9.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，在平面11B ABA 内有一点P ，则过P 在平
面11B ABA 内可作与棱AC 所成角为600
的直线的条数不可能只有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
10.已知椭圆19
162
2=+y x 的两个焦点为21,F F ,P 是椭圆上任意一点, 若521=⋅PF PF ,21PF F ∆的面积为 ( )
A. 6
B.
2
7
5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷 ( 非选择题，共100分)
二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中指定的横线上)
11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生人数为_______________ 12．若n x
x )3(3-
展开式中的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为
13.过点)0,4(-A 作直线l 与圆2
224200x
y x y ++--=交于M 、N
=8，则l 的方程为
________（写成一般式）．
14.如图，函数)sin(ϕω+=x A y ),,0,0(R x A ∈≤<-><πϕπω的图象经过点)0,6(π
-
、)0,6
7
(π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为________________(结果要求
πϕπω≤<-><,0,0A )
15. 已知实数x,y 满足y x z x y x y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≤+3,13492则的最大值是
16. 已知函数⎩
⎨⎧≥<+-=1,ln 1
,2)(x x x x x f ，则不等式0)1(<-x xf 的解集为____________
17. 将4个相同的球全部放到5个编有1、2、3、4、5五个号码的盒子中,假设每个球放入哪个盒子是等
可能性的,并且每个盒子能容纳的球不限,则2号盒子放有1个球的不同的放法有______ (用数字作答)种; 1号和2号盒子各放一球的概率为_______ (用最简分数作答) 三、解答题：（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（本小题满分14分）
设A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c . 若＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1=⋅． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.
19.(本小题满分14分)
如图，正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为a ，侧棱长为
a 2
2，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面于1DB (Ⅰ)试确定点D 的位置，并证明你的结论；
(Ⅱ)求二面角D AB A --11的大小.
20．（本小题满分14分） 已知函数223
241)(234--++-
=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, (1)求实数a 的值
(2)若关于x 的方程m f x =)2(有三个不同实数解,求实数m 的取值范围.
21．（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分） 如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.
（1）若︒=∠6021F AF ，且,021=⋅AF 求椭圆的离心率；
（2）若,1,2==b a 且F F 112-=.求直线l 的方程.
22．（本小题满分15分）
已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*(0)2,()f n n N '=∈
（1）求()f x 的解析式；
（2）若数列{}n a 满足111()n n
f a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：
∑=<++++=n k n k a a a a a 13216。