债券价格及收益率

t 1
t 1
0
套利行为通过借款，抬高市场借款利率，从而压低债券
理论价格。通过购买债券，推动债券价格上涨。这两方
面都促使被低估的债券市场价格趋向理论价格。
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债券价格表达式
• 当债券的市场价格B(i)大于理论价格，即
T
t
B(i) B0 ct[1 i(0,t)]
t 1
借款笔数共T笔，分别是1年期借款，
2年期借款，∙∙∙，T年期借款。其中，1
年期借款的数额是 kc1[1+i(0,1)]-1，2年 期借款的数额是 kc2[1+i(0,2)]-2， ∙∙∙，T 年期借款的数额是kc2[1+i(0,T)]-T。
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债券价格表达式
√第二步，预测各期债券的现金流，以及需要归还的借款本息， 并计算净现金流。
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债券价格表达式
于票是息，c1后第，1年净年利底润套是利：者得到的贷款本息和是kc1，在偿还了债券出借者的
kc1-c1=c1(k-1)
同理，第t 年年底的净利润是：
kc t -c t =c t (k-1) √第三步，在第T 期期末，套利者用得到的现金kc t买回债券（价
T
t
B(i) B0 ct[1 i(0,t)]
t 1
用k(0<k<1)表示债券市场价格与理论价格的比例，则B(i)=kB0。 此时，套利者借入一笔相当于债券市场价格的资金，然后用它
购买债券并持有到期，就可获得无风险利润。
√第一步，确定借款总额、借款笔数 及每笔数额。借款总额是：
T
B(i) kB0 kct[1 i(0,t)]t t 1
这里，cT=c+BT
c i
1
1 (1 i)T
BT (1 i)T
• 因此，债券价格B(i)与利率i呈反比关系。
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债券价格与时间、利率的关系
• 债券价格的B封(闭i)形式c / BT
BT
i
1
1
(1
i)T
1 (1 i)T
• 等式左边称为债券的相对价格。右边式子中的c/BT就是票息率。该等式 的直观意义有3点：
❖ 当债券的市场价格偏离理论价格时，就会存在套
利行为，套利活动会使市场价格回归到理论价格。
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债券价格表达式
❖ 如果第1年至第10年的即期利率分别为4.5%，4.75%， 4.95%，5.1%，5.2%，5.3%，5.4%，5.45%，5.5%， 5.5%，则对于一个剩余期限为10年的票息率为7%的债券， 其理论价格为：
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债券价格表达式
• 一般意义
• 债券的价格，从理论上讲，就是债券带来的现金流的贴现之和
• 零息债券
• 零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特征是仅发生两笔现金流
到期偿付
当前价格
零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向 上表示收到现金流
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债券价格表达式
• 零息债券的价格表达式
B0 BT [1 i(0,T )]T
❖例如：某零息债券剩余期限为两年，如果 当前两年期的即期利率是4%，则 B0=100[1+4%]-2=92.46。
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债券价格表达式
√如果当前零息债券的市场价格B(i)小于B0，即
B(i) B0 BT [1 i(0,T )]T
• 1.债券相对价格始终在[（c/ BT）/i]和1之间波动 • 2.票息率和市场利率之间的关系决定债券相对价格
• 3.随着到期日的临近（令T趋向于零），等式右边趋向于1，即债券价格 趋近于面值
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债券价格与时间、利率的关系
• 债券价格与时间、利率关系示意图
• ——仅时间变动
√设想某2年期零息债券当前的价格79.72，则79.72×（1+i）2=100,得到 i=12%，意味着2年期市场的即期利率是（平均每年）12%。
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利率 • 远期利率 • 远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 • 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、资金借出 日为t,偿还日为T的远期利率水平。
获得无风险收益
导致债券供不应 求，价格上涨， 利率上涨。
则可以按照利率i 在（0，T)期间内借款B(i)，用此借款按市场
价格购买一张债券并持有到期。到期时得到金额BT，此时需
要偿还的借款本息和为B(i)[1+i(0,T)]T。
获得无风险收益
√如果当前零息债券的市场价格B(i)大于B0，即
B(i) B0 BT [1 i(0,T )]T
导致债券供过于
求，价格下跌， 利率下降。
则可以借出一张债券，得到金额B(i)，将其按利率i 在(0,T)期 间投资，到期时本息和为B(i)[1+i(0,T)]T。
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债券价格表达式
• 附息债券
• 附息债券现金流的特点是中途有票息支付，到期归还本金和最后一次票
息
本金+最后的
000896国债交易价格
130 7%
125 6%
120
115
110
105 3%
100
2% 95
90
26
1997-6-27 1997-8-20 1997-10-14 1997-12-4 1998-2-10
1998-4-1 1998-5-22 1998-7-13
1998-9-1 1998-10-23 1998-12-15
第二章 债券价格与收益率
内容提要
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1 利率 2 债券价格表达式 3 债券价格与时间利率的关系 4 收益率 5 债券价格变动与套利机制
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利率
• 利率是人们贷出货币所要求的回报率 。 √按照货币借贷交易达成的时间与借款开始的时间之间的关系，利率可以
分为即期利率与远期利率。 √三个重要日期：议定日、借出日、偿还日
B0
(1
7 4.5%)
(1
7 4.75%)2
(1
7 4.95%)3
(1
7 5.1%)4
(1
7 5.2%)5
(1
7 5.3%)6
(1
7 5.4%)7
7 (1 5.45%)8
(1
7 5.5%)9
(1
107 4.5%)10
111.83
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债券价格表达式
• 当债券的市场价格B(i)小于理论价格，即
格为c t ）还给出借者。 √第四步，计算套利结果。每期净现金流的贴现值是：
T
NVP (k 1)ct[1 i(0,t)]t (k 1)B0 B(i) B0 t 1
0
套利行为通过借入债券并抛售，促使债券市场价格下降，
通过贷出资金，导致利率下降，从而提高债券理论价格。
这两方面都促使被高估的债券市场价格趋向理论价格。
到期债券
短期债券
长期债券
0
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利率
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债券价格与时间、利率的关系
96国债8 经历了中国从1996年到2003年之间利率变动的周期。 以该国债为例，分析利率波动和时间效应对其价格的影响。
96国债8的基本信息
挂牌代码 000896
期限
7
挂牌名称 96国债⑻
到期日
2003-11-01
1 i(0,T ) [1 i(0, t)]t /T [1 f (0, t,T )](T t) /T
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利率 • 利率与金额回报 把tn来时代间表段这（些0，小T的）时划间分区成间n个上小的区时间间，点分，别则由市t1场，套t2，利t机3，制…， 使得下面的式子成立
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利率 • 如何计算远期利率
已知3年期即期利率为5%，两年期即期利率为4%，则第2 年到第3年之间的远期利率为
[1 5%]3
[1 5%]3
f (0,2,3) 32
1
1 7.03%
[1 4%]2
[1 4%]2
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利率 • 利率与金额回报 把“1+利率”看作是某个投资期实现的金额回报。T期即 期金额回报就是组成T期的两个远期金额回报的几何加权 平均数，权重是每段时间占总时段的比重。
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债券价格与时间、利率的关系
• 假设各个期限的即期利率都相同，则债券价格表达式是：
B(i)
c 1 i
c (1 i)2
c (1 i)T
BT (1 i)T
c 1 i
1
1
1
i
(1
1 i)T
1
BT (1 i)T
c 1 i
1 (1 i)T 1 (1 i)1
BT (1 i)T
同样令B(i)=kB0，则k>1。此时，套利者借入借入债券并立即
抛售，然后获得的资金用于投资，就可获得无风险利润。
T
√第一步，借入债券并抛售，所得资金为： B(i) kB0 kct [1 i(0, t)]t t 1
√第二步，按照下列方式投资并计算净收益：
将金额为 kc1[1+i(0,1)]-1的货币按利率 i(0,1)投资1年，将金额为 kc2[1+i(0,2)]-2的 货币按利率 i(0,2)投资2年， ∙∙∙ ，将金额为 kc2[1+i(0,T)]-T的货币按利率 i(0,T)投资T 年。
第1年收到的债券现金流为c1，需要归还的借款本息是kc1，净现金流为：
c1-kc1=c1(1-k)
第t 年收到的债券现金流为c t，需要归还的借款本息是kc t，净现金流为：
c t -kc t =c t (1-k) √第三步，计算套利结果。每期净现金流的贴现值是：
T
T
NVP (1 k)ct[1 i(0,t)]t (1 k) ct[1 i(0,t)]t B0 kB(i)
√如果等号左边大于等号右边：借一笔期限为T的长期资金， 立即投资t期，同时签订一个T-t的远期贷款合同,就可获 得无风险利润。 √如果等号左边小于等号右边：借一笔期限为t的短期资金 并立即按照T期贷出，同时签订一个远期借款协议（期限 为T-t）,就可获得无风险利润。
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利率 • 远期利率的表达式 f (0,t,T ) T t [1 i(0,T )]T 1 [1 i(0,t)]t
债券价格 溢价债券
B(i) BT
c / BT i
1
1
(1
i)T
1 (1 i)T
100 平价债券
折wk.baidu.com债券
0
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T
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时间
债券价格与时间、利率的关系
• 债券价格与时间、利率关系示意图
• ——仅利率变动
债券价格
B(i) BT
c / BT i
1
(1
1 i)T
1 (1 i)T
票息=CT
C1 C2 C3 C4
CT-2
CT-1
当前价格
附息债券的现金流特点。与零息债券不同的是中途有多笔现金流发生。
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债券价格表达式
• 附息债券的理论价格是所有现金流的贴现和，故 附息债券的价格表达式是：
T
t
B0 ct [1 i(0, t)]
t 1
对于利率固定的附 息债券，i(0,t)=i
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利率
• 即期利率
• 即期利率就是人们根据零息债券的价格计算出来的利率水平 。用i(0,t)表 示偿还期为t的当前时刻的即期利率。
√如果市场上期满日为三个月的零息债券的价格是99元（面值100元），在 意味着（年度化的）即期利率=[（100-99）/99]/（1/4）=4.04%
议定日
0
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贷款日
t
f(0,t,T)
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偿还日
T
利率 • 即期利率和远期利率的关系 √即期利率可以表示为：i(0,t)=f(0,0,t)。 √金融市场套利机制的存在使得即期利率与远期利率存在 如下关系：
[1 i(0,t)]t [1 f (0,t,T )]T t [1 i(0,T )]T
国债全称 九六年记帐式(八期)票面利率 8.56%
国债
实际发行量 200亿
国债付息方式按年付息
发行价格 100
计息日期 1996-11-01
发行方式 记帐式
上市日期 1996-11-21
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债券价格与时间、利率的关系
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96国债8净价平均价格与1年期定期存款利率的走势
1999-2-4 1999-4-14
1999-6-4 1999-7-26 1999-9-14 1999-11-11
[1 i(0, t1 )]t1 [1 f (0, t1, t2 )]t2 t1 [1 f (0, tn1, tn )]tn tn1 [1 i(0, tn )]tn
n
(t j t j 1 ) / tn
1 i(0,tn ) [1 f (0,t j1,t j )]
j 1
tn期限内的即期金额回报是该区间内各个小的时间 段的远期金额回报的几何平均数。