离散数学第二章集合

2.3 集合的容斥原理 ——有限集合的计数问题
设A、B为任意两个集合， 则 A∪B= A + B- A∩B
A∪B∪C= A + B+ C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C
例1：在一个班级50个学生中，有26人在第一次 考试中得到A，21人在第二次考试中得到A，假 如有17人两次考试都没有得到A，有多少学生 在两次考试中都得到A? 解:设第一次考试得A的是集合A1，第二次考试得 A的是集合A2。则 A1∪A2=50-17=33 但A1∪A2=A1+A2-A1∩A2 所以，A1∩A2= A1+A2- A1∪A2 =26+21-33=14。 答：两次考试得A的14人。
A B 250 / 2 3 41, A C 250 / 2 5 25, B D 250 / 3 7 11, C D 250 / 5 7 7,
A C D 250 / 2 5 7 3, B C D 250 / 3 5 7 2, A B C D 250 / 2 3 5 7 1 A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D 125 83 50 35 41 25 17 16 11 7 8 5 3 2 1 193
3、 空集：不含任何元素的集合，用表示。 4、幂集：给定集合A，由A的所有子集为元素构成的集合称 为A的幂集，记为P(A)或ρ (A)或2A。 例如：A={1，2，3}， 则P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
n n n (1 1) n 2 n 0 1 n
若A有n个元素，则A的幂集有2n个元素。 5、有限集合和无限集合：含有有限个元素的集合为有限集合。 6、基数或势：有限集合的元素个数称为集合的基数或势。
记作A
Байду номын сангаас
2.2 集合的运算 1、集合的交∩
2、集合的并∪
3、集合的补（相对补A-B，绝对补~A即全集E-A） 其中相对补又称为A与B的差 4、集合的对称差（环和 + ） (A-B) ∪ (B-A)
第二章 集合
重点：
1. 集合的基本概念及基本运算 2. 包含容斥原理的应用 3. 序偶及笛卡尔积
2.1 集合的概念 1、集合和元素：具有共同性质的一些东西汇集成一个整体 就形成一个集合，组成集合的事物称为元素。 集合用大写字母表示，元素用小写字母表示 集合与元素的关系：a∈A 或 a A 2、集合相等：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元 素。 记作A=B 3、子集：设任意集合A,B，若集合A的每个元素都是B的元 素，则称A是B的子集。
环积× (A ∩ B) ∪(~A ∩ ~B)
2.4 集合的序偶和笛卡儿乘积 1.序偶： 一对有次序的元素a，b称为序偶，记为<a,b>.
如平面上点的坐标是序偶。 一般地，<a,b>≠<b,a>. <x,y>=<u,v>当且仅当x=u,y=v. 2.笛卡儿积 定义：设A，B是任意两个集合，AB={<x,y>∣x∈A,y∈B} 例：A={1，2，3}，B={a，b}，则 AB={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>} AB=A*B 一般地，AB≠BA 定理 2.5-1 (见教材P.85)
例 2：求1~250之间能被2，3，5，和7任何一个 整除的整数个数。(P.69 习题21) 解：设1~250之间能被2整除的整数集合是A；能 被3整除的整数集合是B；能被5整除的整数集 合是C；能被7整除的整数集合是D。则
A 250/ 2 125 B 250/ 3 83, , C 250/ 5 50, D 250/ 7 35.
A D 250 / 2 7 17, B C 250 / 3 5 16,
A B C 250 / 2 3 5 8, A B D 250 / 2 3 7 5,
P.69习题22 注意:题目问仅会两门的有几人?