平面向量文科数学高考试题

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第五章 平面向量一、选择题1. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,92. 【2015高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，“a b ab ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量()1,2a =,()3,1b =,则b a -=( )A .()2,1-B .()2,1-C .()2,0D .()4,34. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55. 【2014山东.文7】已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）（A ）3（B 3 （C ）0 （D ）36. 【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b •≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-7. 【2014全国2，文4】设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a，则=⋅b a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 58.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)9. 【2014全国1，文6】设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA.ADB.AD 21 C. BC 21D. BC10. 【2014年.浙江卷.文9】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 的最小值为1（ ）A.若θ确定，则|a |唯一确定B.若θ确定，则|b |唯一确定C.若|a |确定，则 θ唯一确定D.若|b |确定，则 θ唯一确定11. 【2015高考重庆，文7】已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（ ）(A)3π (B) 2π(C) 32π (D) 65π12. 【2014，安徽文10】设,a b 为非零向量，2ba =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 13. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）114.【2014福建,文10】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4A OM B OM C OM D OM15.【2015高考福建，文7】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）A ．32-B ．53-C ．53D ．3216.【2014湖南文10】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦， D.7-17+1⎡⎤⎣⎦， 17. 【2015四川文2】设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )618. (2014课标全国Ⅰ，文6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=()．A ．ADB ．12AD C ．BC D ．12BC 19. 【2015新课标2文4】已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．220. 【2014辽宁文5】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝二、填空题 1.【2015高考山东，文13】 过点13P （，）作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= .2. 【2014高考陕西版文第13题】设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.3. 【2014四川，文14】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = .4. 【2015高考浙江，文13】已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．5. 【2014高考重庆文第12题】已知向量=⋅=--=b a b a b a则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.6. 【2015高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

7. 【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅=，则λ的值为________.8. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知ABDC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 ． 9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=•OB OA ，则=||AB ________.10. 【2015高考湖北，文11】.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________．11. 【2014上海,文14】已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .三、解答题1. 【2014高考陕西版文第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.参考答案一、选择题1.【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 【答案】A【考点定位】充分必要条件、向量共线.【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．3.【答案】B【解析】由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=-,故选B . 【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题．解题时要注意对应坐标分别相减，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算，即若()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．4.【答案】D【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题．解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++，1212a b x x y y ⋅=+．5.【答案】B【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ⋅<>=⋅所以cos 6π=解得m =B .考点：平面向量的数量积、模与夹角.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m 的方程即得. 本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.6. 【答案】B【解析】因为|||||||cos ,|||||a b a b a b a b •=≤，所以A 选项正确；当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；22()()a b a b a b +-=-，所以D 选项正确，故答案选B .【考点定位】1.向量的模；2.数量积.【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【答案】A【解析】由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=． 【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8.【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 【考点定位】向量运算【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.9. 【答案】A考点：向量的运算【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.10.【答案】B考点：平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题，属于中档题目；11.【答案】C【解析】由已知可得020)2(2=•+⇒=+•b a a b a a ，设a b 与的夹角为θ，则有2142cos 022-==⇒=⋅+aa b a a θθ，又因为],0[πθ∈，所以32πθ=，故选C.【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.12.【答案】B ．考点：1．向量的数量积运算；2．分类讨论思想的应用．【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识，2个a 和3个b 排列所得的S 结果有几种，需要进行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系.13.【答案】C【解析】由数量积的定义知cos i i i AB AP AB AP PAB ⋅=⋅⋅∠，记为m ，从图中可看出，对25,P P ，0m =，对136,,P P P ，2m =，对47,P P ，4m =，故不同值的个数为3，选C. 【考点】向量的数量积及其几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos <a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．14.【答案】D考点：平面向量的线性运算，相反向量.【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.15.【答案】A【解析】由已知得(1,2)(1,1)c k =+(1,2)k k =++，因为b c ⊥，则0b c ⋅=，因此120k k +++=，解得k=32-，故选A．【考点定位】平面向量数量积．【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知,a b的坐标计算c的坐标，再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，即0b c⋅=，2a b kb⋅+=，再引入坐标运算，属于中档题．16【答案】D【考点定位】参数方程；圆；三角函数【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件CD得到对应点C的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.17.【答案】B【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.18.答案：A解析：由于D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以()()1122EB FC BA BC CA CB +=-+-+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+=⨯=，故选A. 名师点睛：本题考查平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，容易题.19.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选 C.【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则22211,x y =+a1122x y x y ⋅=+a b .20.【答案】A【考点定位】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.二、填空题 1.【答案】32【解析】如图，连接PO ，在直角三角形PAO 中，1,3,OA PA ==所以，3tan 3APO ∠=，222231)1tan 13cos 1tan 231()APO APB APO --∠∠===+∠+，故13||||cos 3322PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠== .【考点定位】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积. 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积及数形结合思想，解答本题的关键，是结合图形特征，灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”.本题属于小综合题，以突出考查圆、直线与圆的位置关系为主，考查平面向量的数量积的定义、计算方法，同时也考查了数形结合思想，本题的“几何味”较浓.2. 【答案】12 【解析】 试题分析：因为0a b ⋅=，所以2sin 21cos 0θθ⨯-=，即2sin 2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=； 因为20πθ<<，所以cos 0θ≠，故2sin cos θθ=，所以sin 1tan cos 2θθθ==，故答案为12. 考点：共线定理；三角恒等变换.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于容易题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．解决此题的关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．3.【答案】 2.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.4.【答案】233【解析】由题可知，不妨1(1,0)e =，213(,)22e =，设(,)b x y =，则11b e x ⋅==，213122b e x y ⋅=+=，所以3(1,)3b =，所以123133b =+=. 【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定12,e e 的坐标形式，利用向量的数量积的坐标表示得到b 的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能力.5.【答案】10【解析】试题分析：()()()222,6,26210a a =--∴=-+-=1cos6021010102a b a b ∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=,所以答案应填：10. 考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，本题属于基础题，注意计算的准确性.6.【答案】①④⑤【考点定位】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.【名师点睛】熟练掌握平面向量的单位向量、共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.7. 【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅=，则λ的值为________.【答案】2【解析】试题分析：建立如图所示直角坐标系，则12313(1,0),(0,3),(1,0),(0,3),(,),(,3)33A B C D E F λλ----，由1AE AF ⋅=得：42313(,)(1,3)1, 2.33λλλ-⋅+-== 考点：向量坐标表示【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量坐标运算解题，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等关系，列方程组，解出未知数的值.向量问题考查有两种，一是借助向量的加法、减法、数乘、数量积运算，多考查向量的夹角、向量的模、数量积，另一种是考查向量的坐标运算.8. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知ABDC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 ． 【答案】2918【考点定位】平面向量的数量积.【名师点睛】高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.9. 【答案】52xo考点：平面向量的数量积，向量的模的求法，容易题.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的数量积和向量的模.10. 【答案】9.【解析】因为向量OA AB ⊥，所以0OA AB ⋅=，即()0OA OB OA ⋅-=，所以20OA OB OA ⋅-=，即29OA OB OA ⋅==，故应填9. 【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.11.【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos <a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解三、解答题1. 【答案】（1）22；（2）m n y x -=-，1.试题解析：（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C(1,2)AB∴=，(2,1)AC =OP mAB nAC=+又23m n==22(2,2)33OP AB AC∴=+=||=22OP∴（2）OP mAB nAC=+(,)(2,2)x y m n m n∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x-=-令y x t-=，由图可知，当直线y x t=+过点(2,3)B时，t取得最大值1，故m n-的最大值为1.yＣＢＡ12345–1–2–3–4–5123–1–2–3O考点：平面向量的线性运算；线性规划.【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的线性运算；线性规划.简单的应用，属于中档题；向量问题与线性规划问题的结合不是太常见，特别是在大题中，解题是要充分理解题意，将向量问题转化为线性规划问题是解题的关键。